14.3 角的平分线 寒假巩固讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】角平分线的性质 1 【题型2】角平分线的判定 5 【题型3】角平分线性质与判定的综合 8 【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 12 【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 15 【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 19 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【题型1】角平分线的性质 【典型例题】如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：连接，过作于， 平分，， ， ， ， 在与中， ， ， 在与中， ， ， 与的差为， ， ． 【举一反三1】如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP=8，若点Q是射线OB上一点，OQ=6，则△ODQ的面积是 A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】C 【解析】过点D作DH⊥OB于点H，如图， ∵OC是∠AOB的平分线，DP⊥OA，DH⊥OB， ∴DH=DP=8， ∴△ODQ的面积=OQ·DH=×6×8=24. 【举一反三2】如图，AD是的角平分线，于点E，ABC的面积是10，CD∶BD=2∶3，DE=2，则AC的长是（   ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】过D作于F，如图所示， ∵AD是△ABC的角平分线，，， ∴DF=DE=2， ∵ABC的面积是10，CD∶BD=2∶3， ∴ ∴， 解得AC=4． 【举一反三3】如图，将一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，BC,BD为折痕，点E′在A′B上，则∠CBD的度数为    ． 【答案】90° 【解析】根据折叠的性质可得, ∠ABC=∠A′BC=∠ABA′， ∠EBD=∠E′BD=∠EBE′， 所以∠CBD=∠A′BC+∠E′BD =(∠ABA′+∠EBE′) ＝180°=90°． 【举一反三4】已知：如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D. 证明：PC=PD. 【答案】证明　如图，过点P作PE⊥OB于点E，作PF⊥OC于点F. ∵PE⊥OB，PF⊥OC， ∴∠PED=∠PFC=90°. ∵OM是∠AOB的平分线， ∴PE=PF. ∵∠AOB=90°， ∴∠FPE=90°， ∴∠DPE+∠DPF=∠FPE=90°. ∵∠CPF+∠DPF=∠CPD=90°， ∴∠DPE=∠CPF. 又∵PE=PF，∠PED=∠PFC=90°， ∴△DPE≌△CPF(ASA)， ∴PC=PD. 【题型2】角平分线的判定 【典型例题】如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图，过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为． 【举一反三1】数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法，小旭说：我用两块含30°角的直角三角板就可以画角平分线，如图，取OM=ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是(　　) A.SAS B.ASA C.AAS D.HL 【答案】D 【解析】由题意可得∠PMO=∠PNO=90°， 在Rt△PMO和Rt△PNO中， ∴Rt△PMO≌Rt△PNO， ∴∠MOP=∠NOP， ∴射线OP是∠AOB的平分线. 【举一反三2】如图，已知，P为内部一点，过点P作于点A，于点B，，C为上一点，于点D，且，则点C到的距离是       ． 【答案】7 【解析】解：∵P为内部一点，，，， ∴平分， ∵， ∴C到的距离． 【举一反三3】如图，在中，D到和距离相等，，，则度数为      ．    【答案】 【解析】解：∵在中，D到和距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【举一反三4】如图所示，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E，BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上. 【答案】证明　∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴DE=DF. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴点D在∠BAC的平分线上. 【举一反三5】（教材改编）如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证：FD平分∠BFE. 【答案】证明：AB⊥CD，CE⊥AD， ， 在和中， ， ， 在Rt和Rt中， ， ∴， ∴FD平分∠BFE． 【题型3】角平分线性质与判定的综合 【典型例题】如图所示，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S．连接AP,若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP△CSP；④PQ∥AR，其中正确的是（    ） A.①③ B.②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】C 【解析】∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS， ∴AP是∠BAC的平分线， ∴△APR△APS， ∴AS=AR，故①②正确； ∵AQ=PQ， ∴∠BAP=∠QAP=∠QPA， ∴PQ∥AR，故④正确； 根据已知条件无法判断③成立，故③不成立． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=10cm，AC=BC=7cm，则△DBE的周长等于（　　） A.10cm B.9cm C.8cm D.6cm 【答案】A 【解析】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△ACD与Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC=BC，∴DE+BD=CD+BD=BC，∵AC=BC，∴BD+DE=AC=AE，∴△BDE的周长是BD+DE+BE=AE+BE=AB=10．故选A． 【举一反三2】如图，在中，，为边上两点，连接，，于点F，若，，，则的度数为（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵，，， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】(1)如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO=　　　　°. 【答案】15 【解析】∵OM⊥AB，ON⊥BC， 且OM=ON， ∴BO平分∠ABC， ∴∠ABO=∠ABC=×30°=15°. 【举一反三4】如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【答案】（1）解：∵∠ACB＝110°， ∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°， ∵EH⊥BD， ∴∠CHE＝90°， ∵∠CEH＝55°， ∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°， ∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°； （2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N， ∵BE平分∠ABC， ∴EM＝EH， ∵∠ACE＝∠ECH＝40°， ∴CE平分∠ACD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴AE平分∠CAF； （3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH， ∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC•EN+CD•EH＝（AC+CD）•EM＝21， 即， 解得EM＝3， ∵AB＝8.5， ∴S△ABE＝AB•EM＝． 【举一反三5】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN． 【答案】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN． 【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 【典型例题】如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【解析】解：（1）证明：作PH⊥AB于H， ∵AP是∠CAB的平分线， ∴∠PAE＝∠PAH， 在△PEA和△PHA中， ， ∴△PEA≌△PHA（AAS）， ∴PE＝PH， ∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD， ∴PF＝PH， ∴PE＝PF， ∴（1）正确； （2）与（1）可知：PE＝PF， 又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F， ∴点P在∠COD的平分线上， ∴（2）正确； （3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°， 又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°， ∴∠O+∠EPF＝180°， 即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°， 由（1）知：△PEA≌△PHA， ∴∠EPA＝∠HPA， 同理：∠FPB＝∠HPB， ∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°， 即∠O+2∠APB＝180°， ∴∠APB＝90°﹣， ∴（3）错误； 故选：C． 【举一反三1】如图，是的外角，，和的平分线相交于点，连接，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：过点E作交延长线于F，作于G，作于H，如图， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴． 【举一反三2】如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分线CF相交于点F.过F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长度为________. 【答案】5 【解析】∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACG. ∴∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠FCG， ∵DF∥BC, ∴∠CBF=∠BFD,∠GCF=∠EFC， ∴∠ABF=∠BFD,∠ACF=∠EFC， ∴BD＝DF，CE＝EF， ∴CE＝EF=DF-DE＝BD-DE=8-3=5. 【举一反三3】如图，BD是△ABC的外角∠ABP的角平分线，DA=DC，DE⊥BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长. 【答案】解：如图，过点D作DF⊥AB于F， ∵BD是∠ABP的角平分线， ∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△BDF中，， ∴△BDE≌△BDF（HL），∴BE=BF，在Rt△ADF和Rt△CDE中，， ∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL）， ∴AF=CE， ∵AF=AB-BF，CE=BC+BE， ∴AB-BF=BC+BE，∴2BE=AB-BC， ∵AB=5，BC=3， ∴2BE=5-3=2，解得BE=1． 【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 【典型例题】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，的面积是40，则的长为（    ） A.5 B.8 C.16 D.17 【答案】C 【解析】解：如图，过点D作于点E， 由作图可知，为的平分线， ， ， 的面积， 解得． 【举一反三1】观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　） A.OE是∠AOB的平分线 B.OC=OD C.点C、D到OE的距离不相等 D.∠AOE=∠BOE 【答案】C 【解析】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线． A.OE是∠AOB的平分线，A正确； B.OC=OD，B正确； C.点C、D到OE的距离相等，C不正确； D.∠AOE=∠BOE，D正确． 故选C． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　） A.15 B.30 C.45 D.60 【答案】B 【解析】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B． 【举一反三3】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为       ． 【答案】3 【解析】解：如图，过点作，则， ∵， ∴， 由作图可知，平分， 又∵，， ∴． 【举一反三4】如图，在中，．    (1)尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等； (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】解：（1）如图所示． （2）如图所示，过点作于点， 是的平分线，，， ， 设， 在中， ，，， ， ， 解得， 即的长为3． 【举一反三5】已知，如图，点C在的内部，且，是的角平分线．    (1)尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若射线分别表示从点O出发的正东、正北两个方向，则射线表示的方向是___________； (3)在图中找出互补的角是___________． 【答案】解：（1）如图，射线即为所求．    （2）∵， ∴射线表示南偏东的方向上， 故答案为：南偏东； （3）∵，平分， ∴， ∴与互补的角是 故答案为：． 【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 【典型例题】如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，过分别作于，于， 是的平分线， ， ，的面积为， ， 的面积． 【举一反三1】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线. 如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是(　　) A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D.以上均不正确 【答案】A 【解析】如图所示，过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上). 【举一反三2】三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建        处． 【答案】4 【解析】解：∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等，    ∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处． 【举一反三3】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有　　　　处. 【答案】4 【解析】如图所示，这个超市可以在△ABC三条角平分线的交点P1处及任意两外角的平分线的交点P2，P3，P4处，共4个地方. 【举一反三4】图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 【答案】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）． ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC． （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G． ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PG＝PQ＝6． ∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB•PQ+AC•PG， ∴AB×6+×9×6＝60． ∴AB＝11． 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3 角的平分线 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】角平分线的性质 1 【题型2】角平分线的判定 2 【题型3】角平分线性质与判定的综合 4 【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 5 【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 6 【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 8 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【题型1】角平分线的性质 【典型例题】如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，射线OC是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP=8，若点Q是射线OB上一点，OQ=6，则△ODQ的面积是 A.6 B.12 C.24 D.48 【举一反三2】如图，AD是的角平分线，于点E，ABC的面积是10，CD∶BD=2∶3，DE=2，则AC的长是（   ） A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三3】如图，将一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，BC,BD为折痕，点E′在A′B上，则∠CBD的度数为    ． 【举一反三4】已知：如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D. 证明：PC=PD. 【题型2】角平分线的判定 【典型例题】如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法，小旭说：我用两块含30°角的直角三角板就可以画角平分线，如图，取OM=ON，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线，小旭这样画的理论依据是(　　) A.SAS B.ASA C.AAS D.HL 【举一反三2】如图，已知，P为内部一点，过点P作于点A，于点B，，C为上一点，于点D，且，则点C到的距离是       ． 【举一反三3】如图，在中，D到和距离相等，，，则度数为      ．    【举一反三4】如图所示，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E，BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上. 【举一反三5】（教材改编）如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证：FD平分∠BFE. 【题型3】角平分线性质与判定的综合 【典型例题】如图所示，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S．连接AP,若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP△CSP；④PQ∥AR，其中正确的是（    ） A.①③ B.②③ C.①②④ D.①②③④ 【举一反三1】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=10cm，AC=BC=7cm，则△DBE的周长等于（　　） A.10cm B.9cm C.8cm D.6cm 【举一反三2】如图，在中，，为边上两点，连接，，于点F，若，，，则的度数为（    ）    A. B. C. D. 【举一反三3】(1)如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO=　　　　°. 【举一反三4】如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【举一反三5】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN． 【题型4】三角形内角平分线与外角平分线的综合 【典型例题】如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【举一反三1】如图，是的外角，，和的平分线相交于点，连接，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分线CF相交于点F.过F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，则CE的长度为________. 【举一反三3】如图，BD是△ABC的外角∠ABP的角平分线，DA=DC，DE⊥BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长. 【题型5】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 【典型例题】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，的面积是40，则的长为（    ） A.5 B.8 C.16 D.17 【举一反三1】观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　） A.OE是∠AOB的平分线 B.OC=OD C.点C、D到OE的距离不相等 D.∠AOE=∠BOE 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　） A.15 B.30 C.45 D.60 【举一反三3】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是30，则的长为       ． 【举一反三4】如图，在中，．    (1)尺规作图作射线，交于D，并使D到的距离相等； (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【举一反三5】已知，如图，点C在的内部，且，是的角平分线．    (1)尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若射线分别表示从点O出发的正东、正北两个方向，则射线表示的方向是___________； (3)在图中找出互补的角是___________． 【题型6】角平分线性质与判定的实际应用 【典型例题】如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线. 如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是(　　) A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D.以上均不正确 【举一反三2】三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建        处． 【举一反三3】如图，l1，l2，l3三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有　　　　处. 【举一反三4】图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 学科网（北京）股份有限公司 $