1.3乘法公式（第3课时 完全平方公式的认识）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

1.3 乘法公式 第3课时 完全平方公式的认识 第一章 整式的乘除 北师大版2025·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解完全平方公式的推导过程，掌握 和 的公式结构，能运用公式进行准确的整式乘法计算。 经历“多项式相乘—归纳公式—几何验证”的探究过程，体会从一般到特殊的数学方法，培养观察、归纳、应用的能力。 在公式推导和验证中感受数学的严谨性与直观性，激发对代数知识的探究兴趣，增强学习数学的自信心。 2.目标分析 1、多项式乘以多项式的 依据是什么？ 2、如何进行多项式与多项式乘法运算？ 3、 运用多项式乘法易错点有哪些？ 4、最后的计算结果要化简 ￣￣￣合并同类项． (m+b)(n+a)= mn + ma + bn ——分配率 知识回顾 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 要有序地逐项相乘，不要漏乘，并注意项的符号． 多项式乘多项式 + ba 知识回顾 平方差公式 由下面的两个图形你能得到哪个公式? (a + b)(a – b)= a2 – b2 a a-b b b a （1）（p+1）² = = （2）（m－2）² = = 导入新课 计算下列多项式的积，观察结果有什么规律？ （p+1） （p+1） （m－2） （m－2） m²－4m+1 p²+2p+1 这些式子的左边有什么特征？ 结果是几项式，右边的项数和各项与左边的底数有什么关系 你能发现计算规律吗？ 想一想 新知探究 探究点1 两个数的和的平方公式 议一议 （1）计算下列各式，并观察算式及其运算结果，你有什么发现? 学习任务单 计算下列各式 (1) (2) （1）(m+3)2 =m2+6m+9 =(m+3)(m+3) （2）(2+3x)2 =(2+3x)(2+3x) =4+12x+9x2 =m2+2·3m+9 =4+2·2·3x+9x2 两项和的平方 结果是二次三项式 头尾是原来两项的平方 中间是两项积的2倍 =m2+3m+3m+9 =4+2·3x+2·3x+9x2 新知探究 探究点1 两个数的和的平方公式 议一议 （1）计算下列各式，并观察算式及其运算结果，你有什么发现? 学习任务单 计算下列各式 (1) (2) （1）(m+3)2 =m2+6m+9 （2）(2+3x)2 =4+12x+9x2 =m2+2·3m+9 =4+2·2·3x+9x2 两项和的平方 结果是二次三项式 头尾是原来两项的平方 中间是两项积的2倍 （2）你能用自己的话言叙述这一现象吗？ 两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍 新知探究 探究点1 两个数的和的平方公式 议一议 （3）你能再举一些类似的例子吗?与同伴进行交流。 例如：（1）(2x + y)2 ; （2）(3a + 2b)2。 解：（1）(2x + y)2 =(2x + y)(2x + y) = 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y = 4x2 + 4xy + y2 （2）(3a + 2b)2 =(3a + 2b) (3a +2b) = 3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b = 9a2 +12ab + 4b2 （4）你能用字母表示你发现的规律吗? 字母表示为：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 结果是二次三项式 头尾是原来两项的平方 中间是两项积的2倍 新知探究 探究点2 用面积验证两个数的和的平方公式 拼一拼 b a a b （1）画一边长为 a 的大正方形，再将正方形边长延长b，得边长为（a+b）的大正方形， （2）这个大正方形的面积如何表示？你有几种方法？ 方法一：看整体 S大正方形= . (a + b)2 a+b 新知探究 探究点2 用面积验证两个数的和的平方公式 拼一拼 b a a b （1）画一边长为 a 的大正方形，再讲正方形边长延长b，得边长为（a+b）的正方形， （2）这个大正方形的面积如何表示？你有几种方法？ 方法二：拆分看 S大正方形= . = + + + a2 ab ab b2 新知探究 探究点2 用面积验证两个数的和的平方公式 拼一拼 由拼图可验证什么结论成立？ b a a b a2 ab ab b2 S大正方形= = . (a + b)2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍 完全平方公式 2 新知探究 探究点3 两个数的差的平方公式 议一议 （1）如何计算。 (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 1 (a – b)2 = [a+(– b)]2 = a2 +2a(– b)+(– b)2 = a2 – 2ab + b2 （2）观察以上算式及其运算结果，你有什么发现? 两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。 . （3）你能用自己的话言叙述这一公式吗？ 完全平方公式 新知探究 探究点4 用面积验证两个数的差的平方公式 拼一拼 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 画出边长为 a的大正方形，将其边减去b，得边长为（a-b）的小正方形，请尝试表示这个小正方形的面积？ a a b b a+b （a-b）2 ab ab b2 （a-b）2 (a – b)2 = a2 – ab – ab + b2 (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 首平方，尾平方， 首尾两倍中间放 （首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2 公式特征： 注意：1、积为二次三项式； 2、公式中的字母a，b不仅可以表示数，单个字母，也可以表示单项式或多项式. 新知探究 探究点5 辨析结构，深化理解 议一议 完全平方公式的结构特征 新知探究 探究点5 辨析结构，深化理解 议一议 总结完全平方公式的结构特征，填写下表： 公式形式 左边结构 右边结构 关键项 与平方差公式的区别 完全平方公式 平方差公式 整式乘法公式 (a + b)(a – b)= a2 – b2 两个数的和的平方 两个数的差的平方 平方和 + 积的2倍 平方和 - 积的2倍 完全平方公式右边是三项式， 平方差公式右边是二项式 典例分析 例1.利用完全平方公式计算： （1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2 解：（1） (2x–3)2 = (2x)2–2·2x·3+32 （2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2 ； （3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2 = m2n2 – 2amn + a2。 (a -b)2 a2 - 2ab + b2 = 4x2–12x+9； 典例分析 例2.利用完全平方公式计算： 解： 典例分析 例3.已知，求的值． 解：， ， ． 解得: . 新知巩固 1. 计算： （1）( x + 2y )2； （2）( 2xy – x )2； （3）(– 3m + n)2 。 解：（1） ( x + 2y )2 = x2 +2xy + 4y2； （2） ( 2xy – x )2 = 4x2y2 – x2y + x2 （3） (– 3m + n)2 = (n– 3m )2 = 9m2 – 6mn + n2 。 教材P21页 随堂练习 新知巩固 2. 已知 a+b=-3，求 2a2+4ab+2b2 的值。 解：2a2+4ab+2b2 =2 (a2+2ab+b2 ) =2 (a+b) 2 =2 ×(-3)2 =18 教材P21页 随堂练习 拓展提升 1．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）解：由图形面积得 ， （2）由（1）题所得：， ∴， ∴当，时， ， ∴或-2； (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值． (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． ； 拓展提升 1．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （3）解：设，， 则，， 又由，得 ， ∴图中阴影部分的面积为：． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值． (3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． ； 真题感知 1．（2025•成都）下列计算正确的是（　　） A．x+2y＝3xy B．（x3）2＝x5 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．2xy•3x＝6x2y 解：x与2y不是同类项，无法合并，则A不符合题意， （x3）2＝x6，则B不符合题意， （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则C不符合题意， 2xy•3x＝6x2y，则D符合题意， D 2．（2025•内江）已知实数a，b满足a+b＝2，则a2﹣b2+4b＝　 　 ． 解：∵a+b＝2， ∴a2﹣b2+4b ＝（a+b）（a﹣b）+4b ＝2（a﹣b）+4b ＝2a﹣2b+4b ＝2a+2b＝2（a+b）＝2×2＝4， 4 真题感知 3.（2025•成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 　　 （填一个即可）． 解：（1）∵4x2+4x+1＝（2x+1）2， ∴加上的单项式是：4x， 4x （答案不唯一） 解（2）∵4x2-4x+1＝（2x-1）2， ∴加上的单项式是：-4x， 解：（3）∵4x4+4x2+1＝（2x²+1）2， ∴加上的单项式是：4x4， 课堂小结 1. 知识总结： (4)应用场景：整式乘法运算、有理数简便计算。 完全平方公式： ，； (2)公式结构： 左边是两数和（差）的平方，右边是三项式（平方和 ± 积的2倍）； (3)几何意义： 用正方形面积的割补验证公式，体现数形结合思想； 课堂小结 (1)避免漏项错误： 不要写成 ，牢记中间的“2ab”项； (2)避免符号错误： 右边是“-2ab”，可转化为 计算； (3)避免系数漏平方： 如 要写成，而非 。 2. 方法总结: (1)推导公式的方法： 多项式乘多项式法则 + 几何割补法； (2)应用公式的步骤： → 确定 a 和 b → 套用公式结构 →计算化简。 3.易错提醒: 课后练习 3.计算： （1） (2x+5y)2； （4） (x+)2 ； （2）(m-)2； （5）(7ab+2)2 ； （3）(-2t-1)2； （6）(-cd+)2 。 解：（1）原式=4x2+20xy+25y2； （2）原式= m2-m+； （3）原式= 4t2+4t+1； （5）原式= 49a2b2+28ab+4 ； （4）原式= x2+y+y2； （6）原式= c2d2-cd+。 习题1.3 教材P25页 课后练习 4.一个圆的半径为r(r>2)cm，半径减少 2 cm 后，这个圆的面积减少多少? 解：πr2-π(r-2)2=πr2-π(r2-4r+4) =πr2-πr2+4πr-4π =(4πr-4π)cm2。 答：这个圆的面积减少了(4πr-4π)cm2。 习题1.3 教材P25页 课后练习 7. 一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm。如果它的高不变，底面正方形边长增加a cm，那么它的体积增加多少? 解： (5+a)2×6-52×6 =(25+10a+a2)×6-25×6 =150+60a+6a2-150 =(60a+6a2) cm3 答：它的体积增加了(60a+6a2)cm3。 习题1.3 教材P25页 课后练习 8.利用完全平方公式计算： （1）632； （2）9982。 解：（1） 632=(60+3)2 =602+2×60×3+32 =3969； （2） 9982=(1000-2)2 =10002-2×1000×2+22 =996004。 习题1.3 教材P25页 课后练习 教材习题1.3第9题. 9.借助几何图形可以直观解释平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是否也可以用几何图形直观解释呢? 请举例说明你的思考。 解： 例如 谢谢聆听 $