2026年寒假结业测试卷02-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

2026年寒假结业测试卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第二册全册+选择性必修第三册第六章计数原理； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·河北衡水·期末）已知是的导函数，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二下·宁夏银川·月考）展开式中常数项的系数为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高三上·安徽黄山·月考）已知是公差不为的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二下·江苏徐州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用6种颜色给5个小区域（）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（    ）    A．480种 B．720种 C．1080种 D．1560种 5．（5分）（25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数的导数为，且有，若 ，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2025高二下·山东青岛·竞赛）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人，且甲、乙不能被安排在同一个舱内，则不同的方案数为（   ） A．15 B．18 C．24 D．32 7．（5分）（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 8．（5分）（25-26高三上·福建厦门·月考）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·安徽·月考）记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高二下·海南海口·月考）2025海南国际康养产业博览会设有“气候治疗和气候康养产业合作”“食品营养健康”“森林康养产业发展”“医药大健康企业跨境出海”四大平行论坛．已知某医药公司的4位人员参与论坛，且每个人只能选一个论坛，则下列结论正确的有（    ） A．每个论坛都有人员参与的情况共有24种 B．有论坛没人参与的情况共有256种 C．恰有1个论坛没人参与的情况共有144种 D．4人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况有20种 11．（6分）（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知函数，则（   ） A．当函数是单调函数时， B．若，则的最小值为 C．若恰有两个零点，则 D．当时，曲线有且仅有1条过原点的切线 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，，则的值为 . 13．（5分）（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 14．（5分）（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知函数恰有一个零点，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 16．（15分）（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知. (1)求该二项展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 17．（15分）（24-25高二上·宁夏·期末）设为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求的值． 18．（17分）（24-25高二下·山东济宁·期中）从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有多少种站队方法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 19．（17分）（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假结业测试卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第二册全册+选择性必修第三册第六章计数原理； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·河北衡水·期末）已知是的导函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义及简单极限运算法则求解即可. 【解答过程】由导数的定义得， 所以． 故选：D． 2．（5分）（24-25高二下·宁夏银川·月考）展开式中常数项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【解答过程】的展开式通项为， 因为， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 因此，展开式中的常数项为. 故选：B. 3．（5分）（25-26高三上·安徽黄山·月考）已知是公差不为的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设等差数列的公差为，利用等比中项的性质及等差数列基本量运算求得，可求得. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为 成等比数列， 所以，即，整理得到； 因为，解得.所以. 故选：C. 4．（5分）（24-25高二下·江苏徐州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用6种颜色给5个小区域（）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（    ）    A．480种 B．720种 C．1080种 D．1560种 【答案】D 【解题思路】根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【解答过程】分4步进行分析： （1）对于区域，有6种颜色可选； （2）对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选； （3）对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选； （4）对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种. 故选：D. 5．（5分）（25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数的导数为，且有，若 ，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，根据条件判断出的正负，由此可知的单调性，再根据结合的单调性可判断出大小关系. 【解答过程】设，所以， 因为，所以，所以在上单调递增， 因为，，， 且，所以，所以， 故选：A. 6．（5分）（2025高二下·山东青岛·竞赛）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人，且甲、乙不能被安排在同一个舱内，则不同的方案数为（   ） A．15 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【解题思路】先求总的排法，然后减去甲乙同舱的排法即可. 【解答过程】第一步，从5人中任选2人安排在天和核心舱，有种方法； 第二步，从剩下的3人中任选2人安排在问天实验舱，有种方法； 第三步，将最后1人安排在梦天实验舱，有1种方法. 所以，天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人的方法有种. 若甲、乙在同一个舱内，先安排甲乙有2种方法，然后从剩余3人中安排1人在梦天实验舱， 最后2人安排在最后一个舱，共有， 所以满足题意的方法种数为种. 故选：C. 7．（5分）（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【解题思路】根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可. 【解答过程】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， 所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和， 又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍， 所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和，令， 解得或， 因为，所以， 故选：A. 8．（5分）（25-26高三上·福建厦门·月考）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得恒成立，构造函数，求导根据函数单调性可得的最大值即可得答案. 【解答过程】因为函数， 在上恒成立， 所以恒成立， 令，则， 令，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减； 所以当时，取得极大值，也是最大值， 因为 ，所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·安徽·月考）记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断. 【解答过程】等差数列的公差为，， 对于A，，A正确； 对于B，的符号无法确定，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，则，D正确. 故选：AD. 10．（6分）（24-25高二下·海南海口·月考）2025海南国际康养产业博览会设有“气候治疗和气候康养产业合作”“食品营养健康”“森林康养产业发展”“医药大健康企业跨境出海”四大平行论坛．已知某医药公司的4位人员参与论坛，且每个人只能选一个论坛，则下列结论正确的有（    ） A．每个论坛都有人员参与的情况共有24种 B．有论坛没人参与的情况共有256种 C．恰有1个论坛没人参与的情况共有144种 D．4人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况有20种 【答案】AC 【解题思路】对于A，根据排列数，可得其正误；对于B，利用正难则反的解析思路，可得其正误；对于C，根据分步乘法原理以及分组分配的解题思想，可得其正误；对于D，根据分类加法原理以及分组分配，可得其正误. 【解答过程】对于A，每个论坛都有人员参与的情况数为，故A正确； 对于B，人参加四个论坛，每人只能去一个的总的情况数为， 则有论坛没人参加的情况数为，故B错误； 对于C，恰有1个论坛没人参与的情况数为，故C正确； 对于D，4人只参与“食品营养健康”“森林康养产业发展”两个论坛的情况数为，故D错误. 故选：AC. 11．（6分）（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知函数，则（   ） A．当函数是单调函数时， B．若，则的最小值为 C．若恰有两个零点，则 D．当时，曲线有且仅有1条过原点的切线 【答案】BCD 【解题思路】求出函数的导数，举例说明判断A；求出最小值判断B；利用导数结合零点个数求出范围判断C；设出切点坐标，利用导数探讨方程解的集数判断D. 【解答过程】函数的定义域为， 求导得， 对于A，当时，，函数是单调函数，A错误； 对于B，当时，，可得在上单调递减， 在上单调递增，，B正确； 对于C，当时，在上递减，函数至多有1个零点，不合题意； 当时，当时，；当时，，函数在 上递减，在上递增，， 由恰有两个零点，得，函数在上单调递增，， 因此，此时，令， 求导得，函数在上单调递增，， 即当时，， ，函数在与上各有1个零点，从而，C正确； 对于D，当时，函数，求导得， 令过点的直线与曲线相切的切点为， 则切线方程为，即有， 整理得，令，求导得， 当时，，令，求导得， 即函数在上单调递增，而，则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 即方程有唯一解，则曲线有且仅有1条过原点的切线，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，，则的值为 . 【答案】12 【解题思路】根据等差数列的下标和性质可求得的值，再根据即可计算出最后结果. 【解答过程】由题意得，结合等差数列的性质可知， 可得，即， 则. 故答案为：12. 13．（5分）（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 【答案】 【解题思路】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【解答过程】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知函数恰有一个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】将变为，令，则有一个根，然后按照和分类讨论，当时，分离参数，转化为和有一个交点，设，利用导数研究的单调性，数形结合求出的范围，即可得解. 【解答过程】， 令，易知是单调递增函数， 则有一个根，当时，等式，不符合题意， 故，等式转化为有两个根，即和有一个交点. 设，函数定义域为， 求得， 故当时，，在和上单调递减； 当时，，在上单调递增. 又时，时， 故的图象如下，    由图可得，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平均变化率的公式即可得到答案； （2）物体在时的瞬时速度即为物体在时的瞬时变化率，先求出在附近的平均变化率，进而再求出在时瞬时变化率即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以物体在到这段时间内的平均速度为． （2）因为， 所以， 则物体在时的瞬时速度为． 16．（15分）（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知. (1)求该二项展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题知，结合二项式系数最大项为中间项，从而可求解. （2）利用赋值法分别令和即可求解. 【解答过程】（1）由二项式通项公式可得：， 因为为偶数，所以二项式系数最大项为中间项，即第项， 所以， 综上：二项式系数最大项为. （2）由题可得令，则， 令，则， 所以. 17．（15分）（24-25高二上·宁夏·期末）设为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）将条件关系利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为的方程，解方程求，再结合公式求出答案； （2）根据等比中项的性质，结合（1）的结论列方程求即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以数列的通项公式为，数列的前项和为． （2）因为，，成等比数列，所以， 即，解得， 又，所以. 18．（17分）（24-25高二下·山东济宁·期中）从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有多少种站队方法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 【答案】(1)2880 (2)91 (3)120 【解题思路】（1）利用插空法可得答案； （2）男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法，第二种情况是甲乙选人选法，求和可得答案； （3）利用间接法可得答案. 【解答过程】（1）先安排4名女生，出现5个空位，再安排5名男生， 所以参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有 种方法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，包含两种情况， 第一种甲和乙都在内的选法有种， 第二种情况，甲乙选人，有种选法， 则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （3）如果人中必须既有男生又有女生，先从所有人中选人， 去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法. 19．（17分）（24-25高二下·贵州黔西·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间； （2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围； （3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式. 【解答过程】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令， . 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $