2026年寒假结业测试卷01-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

2026年寒假结业测试卷01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第二册全册+选择性必修第三册第六章计数原理； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·广东清远·月考）计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 【答案】B 【解题思路】根据排列数和组合数运算法则计算即可 【解答过程】． 故选：B． 2．（5分）（25-26高二上·河北邢台·月考）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【解答过程】将数列改写为：，，，，，…， 所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式. 故选：D. 3．（5分）（24-25高二下·四川绵阳·期末）的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【解题思路】写出该二项式展开式的通项，令，代入系数求解即可. 【解答过程】展开式的通项为：， 令得含项的系数为. 故选：D. 4．（5分）（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【解答过程】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 5．（5分）（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可. 【解答过程】，可得，又， 是首项为，公比为的等比数列，，， ，① 则，② ①②可得， . 故选：D. 6．（5分）（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求得，得到恒成立，转化为在恒成立，即，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【解答过程】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以. 故选：A. 7．（5分）（25-26高二上·河南驻马店·月考）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 【答案】D 【解题思路】先从10张书签中选出4张，其中两张相同，另外两张各不相同，再分配给4位同学. 【解答过程】第一步，先从10张书签中选出4张，由题可知选到的4张书签中有两张汉字相同，其余两张各不相同， 共有种不同的选法； 第二步，将抽到的4张书签分给4位同学有种不同的分法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有：种. 故选：D. 8．（5分）（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【解答过程】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时 时 ， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏连云港·月考）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 【答案】AD 【解题思路】根据平均变化率得平均速度即可判断A；根据导数的概念求解时质点的瞬时速度，与质点运动的速度，即可判断B，C；根据速度与时间的关系求加速度即可判断D. 【解答过程】对于A，在内质点的平均速度为，故A正确； 对于B，时质点的瞬时速度为 ，故B错误； 对于C，质点运动的速度为 ，故C错误； 对于D，质点运动的加速度为 ，故D正确. 故选：AD. 10．（6分）（24-25高二下·安徽合肥·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】由赋值法求系数和及奇偶项系数可判断ACD，对于B，根据，接着求的系数即可. 【解答过程】当时，，故A错误； ，则的系数为 ，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，， 又，所以， 则，故D正确； 故选：BCD. 11．（6分）（25-26高二上·浙江宁波·月考）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．取得最小值时，或5 D．时，的最小值为10 【答案】BCD 【解题思路】对于：因为等差数列是递增数列，即可判断公差的正负； 对于：利用等差数列的通项公式，可化简为，即可判断的正负； 对于：利用的公式，结合可得：，再结合数列的性质，即可得取得最小值时，的取值； 对于：令，解得的取值范围，结合，即可得出时，的最小值； 【解答过程】对于：因为等差数列是递增数列，所以公差，故选项错误； 对于：，因为，所以，故选项正确； 对于：，将代入得：， 因为，根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 又因为，所以当或者时，取得最小值，故选项正确； 对于：因为，令得或， 又因为，所以时，的最小值为10，故正确. 故选：. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·陕西西安·月考）若，则 ． 【答案】 【解题思路】对求导，再令，解出，则确定，代入即可得解. 【解答过程】，则，得， 故，则. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·河北秦皇岛·月考）已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 【答案】 【解题思路】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质先求出及，再根据即可求出 【解答过程】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·江苏南京·月考）将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有 不同的涂色方法. 【答案】 【解题思路】根据题意，分类讨论，若、同色．若、不同色，由分类加法原理，计算可得答案. 【解答过程】图中区域分别为，，，，，则分类讨论， 若、同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有种，最后涂、， 共有种不同方法． 若、不同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有， 最后涂、只有种方法，所以若、不同色时共有种不同方法， 综上，所有的涂法共有种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·天津·期中）（1）已知，求实数的值 （2）解方程：. 【答案】（1）或；（2） 【解题思路】（1）根据组合数的性质计算即可； （2）利用排列数公式计算即可. 【解答过程】（1）因为， 所以或， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； （2）由， 得， 化简得，解得或（舍去）， 所以. 16．（15分）（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【解题思路】（1）根据题意，求得，结合和的解集，即可得到函数的单调区间； （2）由（1）中，函数的单调性，列表，求得函数的极值. 【解答过程】（1）由函数，可得， 令，可得或；令，可得， 则函数的增区间为和，减区间为. （2）解：由（1）可得 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数的极大值为，极小值为. 17．（15分）（25-26高二上·广东清远·月考）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【解题思路】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【解答过程】（1）因为， 所以， （2）因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 18．（17分）（24-25高二下·天津·期末）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)1 (2)180 (3) 【解题思路】（1）依据题意得到，然后令计算； （2）写出二项式的通项公式，然后令计算； （3）根据二项式系数的对称性可知结果. 【解答过程】（1）由题意知，或（舍去），所以， 故令，可得展开式中各项系数的和为． （2）由于二项式的通项公式为， 令，求得， 故展开式中的常数项为． （3）要使二项式系数最大，只要最大，故， 故二项式系数最大的项为第6项． 19．（17分）（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求的单调区间． (2)若有两个不同的零点．求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间，单调递减区间； (2) 【解题思路】（1）求出函数导数，再解不等式即得单调区间. （2）由函数零点的意义分离参数，构造函数，再利用导数求出最小值即可得解. 【解答过程】（1）当时，函数定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数的定义域为， 由，得， 令，求导得， 令， 求导得，函数在上单调递增， 又，函数在上有唯一零点， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 作出函数的大致图象如下： 函数有两个不同的零点， 当且仅当直线与函数的图象有两个交点，此时， 所以的取值范围是. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假结业测试卷01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第二册全册+选择性必修第三册第六章计数原理； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·广东清远·月考）计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 2．（5分）（25-26高二上·河北邢台·月考）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二下·四川绵阳·期末）的展开式中含项的系数为（   ） A．10 B．5 C． D． 4．（5分）（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·河南驻马店·月考）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 8．（5分）（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏连云港·月考）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 10．（6分）（24-25高二下·安徽合肥·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（25-26高二上·浙江宁波·月考）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．取得最小值时，或5 D．时，的最小值为10 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·陕西西安·月考）若，则 ． 13．（5分）（25-26高二上·河北秦皇岛·月考）已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 14．（5分）（24-25高二下·江苏南京·月考）将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有 不同的涂色方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·天津·期中）（1）已知，求实数的值 （2）解方程：. 16．（15分）（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 17．（15分）（25-26高二上·广东清远·月考）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 18．（17分）（24-25高二下·天津·期末）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 19．（17分）（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求的单调区间． (2)若有两个不同的零点．求的取值范围. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $