第19章 二次根式 课前导学-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

第十九章二次根式卫 第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 [答案P41] 知识要点 对点训练之 知识点①二次根式的概念 1.下列各式是二次根式的是 般地，我们把形如va(a① 0)的 A.√-2 B.3 式子叫作二次根式.二次根式也是代数式。 C.9 D.a2 拓展： 2.下列各式是二次根式的是 (1)二次根式的概念是从形式上界定的，必须含 A.w-1 B.√a 有二次根号“√厂”，“√厂”的根指数为2， C√（-3) D.5 即“厂”，我们一般省略根指数2，写作 3.若√a是二次根式，则a的值不可以是( “√一”.如5可以写作√5 (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也 A.0 B号 可以是一个含有字母的代数式 C.90 D.-2.1 知识点②使二次根式有意义的条件 4.要使二次根式3x-6有意义，求x的取值 (1)√a有意义台a≥2 范围 (2)在具体问题中，如果已知二次根式√ā，就意 味着给出了a≥0这一隐含条件. (3)式子√a表示非负数a的算术平方根. 知识点③二次根式的实际应用 5.“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看 一个物体从高处自由落下，落到 得远.若观测点的高度为h,观测者视线能到 地面所用的时间t(单位：s)与开始落 达的最远距离为d,则d=√2hR,其中R是地 下时离地面的高度h(单位：m)满足 球的半径（通常取6400km).小明站在海边 关系h=5t2.如图，有一铁球从20m 块岩石上，眼睛距离海平面20m,他观测到远 高的建筑物上自由下落，到达地面需 地面 处一艘船刚露出海平面，则此时d= 要3 s 第2课时 二次根式的性质 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①√a≥0(a≥0) 1.a(a≥0)的算术平方根记作 (1)符号语言：（双重非负性）a≥0(a≥0). 2.比较二次根式a与0的大小： (2)文字语言：一个非负数的算术平方根是 3.若式子√x-2有意义，则实数x的值可能是 工 (3)注意：√a(a≥0)的最小值为2 A.-1 B.0 C.1 D.2 全程导练·数学八年级·下册 知识点2（√a)2=a(a≥0） 4.计算： (1)符号语言：（√a)2=圆 (a≥0) (1)(4)2= 2 (2)文字语言：一个非负数先开平方再平方，结 果为④ 2- (3)(0)2= 知识点3√a=a 5.计算： (1)符号语言：√(=⑤ (1)2= (2)文字语言：一个数先平方再开平方，结果为 这个数的⑥ 2-引- (3)√0= 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时 二次根式的乘法 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①√a·√6=√ab(a≥0，b≥0) 1.计算下列各式： (1)符号语言：一般地，二次根式的乘法法则是 (1)4×√5= ,√4x9= √a·√6=回 (a≥0，b≥0) (2)√/16×√25= (2)文字语言：二次根式相乘，把被开方数相乘， √/16×25= 根指数不变 2.计算： (3)在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽 略其被开方数a,b均为非负数这一条件. (1)3×5; (4)乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中 仍然适用. 知识点2√ab=√a·√b(a≥0，b≥0) 3.化简： (1)符号语言：√ab=2 (a≥0，b≥0). (1)9×49; (2)8; (2)文字语言：积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根的积 (3)利用这个性质可以把二次根式化简，在进行 二次根式的化简运算时，先将被开方数进行 (3)√(-2)×(-12)；(4)√32x(x≥0). 因式分解，然后再将能开得尽方的因式或因 数开方后移到根号外. (4)注意：公式中的a,b可以是数，也可以是代 数式，但必须满足a≥0，b≥0. 2 第十九章二次根式 第2课时 二次根式的除法 [答案P41] 知识要点 对点训练 0-√(a=06>0) 1.计算下列各式： (1) 4 = (1)符号语言：一般地，二次根式的除法法则是 √⑨ 9 -回 (a≥0，b>0) (2)16 16 r8 25 W25 (2)文字语言：二次根式相除，把被开方数相除， 36 根指数不变. (3)36 v49 W49 (3)a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立 2.计算： (4)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数， (5)在二次根式的计算中，最后结果应不含能开 (1)20 得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次 ； 25√厚 根式 a-a(a≥0，b>0) 3.化简： 知识点2 Dg: 2 1)符号语言：√合=回 (a≥0，b>0) (2)文字语言：商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根。 (3)公式中的a,b可以是数，也可以是代数式， 但必须满足a≥0，b>0. 知识点③最简二次根式 4.下列各式是最简二次根式的是 最简二次根式满足的条件： (1)被开方数不含分母； A.√8 B月 (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式； C.13 (3)分母不含二次根式 D I 5 19.3 二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加法与减法 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①可以合并的二次根式 1.下列二次根式中，可以与√5合并的是( (1)将二次根式化成最简二次根式，若工 A.W10 B.15 相同，则这样的二次根式可以合并， C.25 D.W/25 (2)合并的方法与合并同类项类似，把根号外的 因数（式）② 根指数和被开方数 2.(1)在二次根式4，√12，√27中，可以与5合 不变 并的是 (3)合并的依据是乘法分配律，如： (2)若最简二次根式√2m-1与√3能够合并， m√a+n√a=(m+n)a. 则m= 3 全程导练·数学八年级·下册 知识点②二次根式的加法与减法 3.计算： (1)二次根式加减时，先将二次根式化成最简二 8+√18 次根式，再将被开方数③ 的二次根 (化成最简二次根式) 式合并. (分配律) (2)二次根式的加减的运算步骤 ①化成最简二次根式； 4.计算： ②找出被开方数相同的二次根式； (1)6+√24； (2)48-√12； ③合并被开方数相同的二次根式 (3)注意事项 ①在运算过程中要注意，根号外的因式就是 这个二次根式的系数，如果系数是带分 数，还要化成假分数； (3)23+53-73;(4)32-(3+2). ②被开方数不同的二次根式不能合并，但是 绝不能丢弃，它们也是结果的一部分； ③在进行二次根式的加减运算时，整式加法 的交换律、结合律及去括号、添括号法则 仍然适用 第2课时 二次根式的混合运算 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①二次根式的混合运算 1.按下列步骤计算： (1)二次根式的混合运算是指二次根式的加、 102÷(W5)2+32 减、乘、除、工 的混合运算 =102÷5+32 (2)二次根式的混合运算顺序 +3√2 二次根式的混合运算顺序与实数的混 合运算顺序一样，先算② ,再算 3 ,最后算④ ,有括号的 2.计算：W6×√2+√6÷√2. 先算括号内的运算（或先去掉括号） (3)口诀 二次根式混合算，弄清顺序是关键， 先乘方来后乘除，最后再去算加减。 知识点2二次根式与乘法公式 3.计算： (1)二次根式混合运算的结果应写成最简二次 (1)(⑧+5)×6；(2)(42-3√6)÷22. 根式的形式 (2)回顾多项式的乘法公式 平方差公式： (a+b)(a-b)=5 完全平方公式： 4.按下列步骤计算： (a+b)2=⑥ (1)(3+2)(3-2)=( 2 (a-b)2=⑦ ( )2= (2)(3+2)2=(5)2+ +(2)2 —4参 第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 知识要点 ①≥2032 对点训练 1.B2.C 3.D 4.解：由3x-6≥0，得x≥2，∴.x的取值范围为x≥2. 5.16km 第2课时 二次根式的性质 知识要点 1非负数 203a④它本身⑤Ial6绝对值 对点训练 1.√a2.√a≥03.D 4(1)42)号 (3)05.(1)2(2)号(3)0 19.2 二次根式的乘法与除法 第1课时 二次根式的乘法 知识要点 ▣ab②a·√b 对点训练 1.(1)66(2)2020 2.解：(1)√15.(2)3. 3.解：(1)21.(2)22 (3)26(4)4x2/2x. 第2课时 二次根式的除法 知识要点 四，号 ②@ 对点训练 1()号 2 (2号 (3号 6 5 2.解：(1)2.(2)2. 3解：(1)22 3 (2)② 4.C 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加法与减法 知识要点 工被开方数②相加③3相同 对点训练 1.C2.(1)12,√27(2)2 3.22+32(2+3)252 4.解：(1)36.(2)23.(3)0.(4)22-5. 第2课时二次根式的混合运算 知识要点 工乘方2乘方3乘除④加减⑤a2-b2 6a2+2ab+b27a2-2ab+b2 对点训练 1.2252 2.解：3√3. 3解：1)45+32.(2)2-多5。 4.(1)3√21(2)2×5×25+26 参考答案 答案 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理 知识要点 ①4243849⑤16⑥25 ⑦A的面积+B的面积=C的面积⑧a2⑨b2Cc2 ☐√a2+6回√c-bB√c-a4169 对点训练 1.(1)2b2b(2)c 1 (3)(b-a)2+4x7b=ed+=6 2.53.A4.(1)213(2)53 5.S1=S2+S3 第2课时勾股定理的应用 知识要点 ①521232 对点训练 1.2323 2.解：在Rt△ABC中，BC=5m,AC=13m, .AB=√AC2-BC2=√132-52=12(m). 答：梯子的顶端离地面的距离AB的值为12m. 第3课时利用勾股定理作图、计算 知识要点 ①V2260m知识点2D 对点训练 1.-√5 2.解：AB=√32+32=32，BC=√22+3=√13， CD=√22+42=25，AD=√12+22=5， ∴.四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD =32+√13+25+5=32+13+35. 3.解：根据题意，得AC=51-21=30(mm), BC=61-21=40(mm), 所以AB=√AC2+BC=√302+402=50(mm), 即两孔中心的距离是50mm. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 知识要点 四直角2a2+c2=b2B62+c2=a 对点训练 1.证明：在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13, .AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169, .'AC2 BC2 =AB2, ∴.△ABC是直角三角形. 2.(1)5(2)8(3)5(4)25 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 知识要点 知识点1 1.解：AC2=132=169,AB2+BC=122+52=169, .AC2=AB2+BC2,.∠ABC=90°. A地在B地的正东方向， .C地在B地的正北方向.