第20章 专题4 利用勾股定理解决最值或最短路径问题-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

第二十章勾股定理Y 专题4利用勾股定理解决最值或最短路径问题 [答案] 类型1平面图形中的最值问题 类型2立体图形中的最短路径问题 【模型】 模型】 两点之间，线段最短 A →B 圆柱 B 力 轴对称最值 D E F 长方体 垂线段最短 阶梯 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC= 4.如图是楼梯的一部分，若AD=2,BE=1,AE=3, 4,P是边AC上的一个动点，则线段BP长度的最 一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁 小值为 ( 吃到糖所走的最短路程为 () A.3 B.2.5 C.2.4 D.2 4题图 1题图 2题图 A.5 B.3 C.√13 D.25 2.如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2,Q5.如图，ABCD是长方形地面，长AB=20,宽AD= 为BC的中点，P为边AC上一动点，则△PBQ周 10,中间有一堵砖墙高MW=2.若一只蚂蚁从点A 长的最小值为 爬到点C,过程中必须翻过中间那堵墙，则它爬行 3.如图，高速公路MW的同一侧有A,B两个城镇，它 的最短路程为 () 们到高速公路的距离分别为AA'=2km,BB'= 0 4km,且A'B'=8km.现要在高速公路上的A',B 之间建一个出口P,使A,B两个城镇到出口P的 距离之和最小，求AP+PB的最小值. 5题图 A.20 B.24 C.25 D.26 B'N 6.(教材母题变式)如图，圆柱的底面 B 3题图 周长为6cm,AC是底面圆的直径， 高线BC的长为6cm,P是高线BC 上一点且PC 号8C,一只蚂蚊从点 6题图 A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离 是 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自自 29 全程导练·数学八年级·下册 7.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为 类型3数形结合求最短路径的长 32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂 10.【知识运用】 蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3c (1)如图，铁路上A,B两点（看作直线上的两，点） 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁 相距40千米，C,D为两个村庄（看作两个 B处的最短距离为 cm.(杯壁厚度不计) 点)，AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B, B5 AD=35千米，BC=5千米，则两个村庄的距 蚂蚁A 20 离为 千米； B蜂蜜 10 15 7题图 8题图 8.如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为 B 20cm,点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长 10题图 方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要 (2)在(1)的背景下，若AB=40千米，AD=24千 爬行的最短距离是 米，BC=16千米，现要在AB上建造一个供 9.跨学科葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多 应站P,使得PC=PD,请用尺规作图在图中 的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短 作出点P的位置，AP=千米； 路线盘旋而上.如图，如果把树干看成圆柱体，它 【知识迁移】 的底面周长是12dm,当一段葛藤绕树干盘旋1圈 (3)借助上面的思考过程与几何模型，则代数式 升高9dm时，这段葛藤的长是多少？ √x2+25+√(9-x)2+49(其中0<x<9) 的最小值为 9题图 30 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自11-a-1l=lal, 1 SAABG=2-x8x lal=4lal, .△ABC的面积S=4|a(a≠0). 专题3利用勾股定理解决折叠向题 1.D2.C 3.C[解析]∠ACB=90°，AC=2,BC= 2,AB= √AC+BC-子由翻折，得B=AB=各CB=A- AC=-2=7 495.4 6.2.5[解析]在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8, .AC=√AB2+BC2=10.:CE垂直平分AC,.AE=CE,AD =CD=子AC=5,∠CDB=90设AB=CB=x,则BE=8- x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2,即62+(8-x)2=x2,解 得x=6.25.:点C关于EF的对称点为点C',.CE=CE= 6.25.在Rt△CDE中，DE=√CE2-CD=√6.252-57= 3.75,.CD=CE-DE=6.25-3.75=2.5. 7.解：设FG=x,由折叠的性质，得BE=EG,DF=FG. 正方形ABCD的边长为3，BE=1, ∴.EG=1,EC=3-1=2,CF=3-x,∴.EF=1+x. 在Rt△ECF中，EF2=EC2+CF2, 六(1+x)2=22+(3-x)2,解得x=2, 1+含子 8.解：(1)△AEC是等腰三角形. 证明：由折叠的性质可知∠BAC=∠DAC. .OC∥AB,.∴.∠OCA=∠BAC,∴.∠EAC=∠ACE, .AE=CE,即△AEC是等腰三角形. (2)过点D作DF⊥y轴于点 ◆y F,如答图. 令AE=CE=x,则OE=8-x ----7B 在Rt△OEA中，由勾股定理， D 得(8-x)2+42=x2, 解得x=5,∴.AE=CE=5. 由折叠的性质，得CD=BC=4, 0 AD=AB=8, .'DE=AD-AE=3. 8题答图 :Saoe=cD:DB=2c8·0P0F=号 ·点D的横坐标为- 5 专题4利用勾股定理解决最值或最短路径问题 1.C2.1+5 3.解：如答图，作点A关于直线MN对称的点C,连接CB交 MN于点P,连接AP,则点P为所建的出口，此时A,B两个 城镇到出口P的距离之和最小，最小距离为BC的长 过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D. 参考答案及解析 AA'=2 km,BB'=4 km,A'B'=8 km, .'BD =A'B'=8 km,A'D =BB'=4 km,AC=4 km, ∴.AD=2km,.CD=6km, .在Rt△CDB中，CB=√62+82=10(km), .这个最小距离为10km B Dr------- A M A B D 3题答图 4题答图 4.D[解析]将台阶展开，如答图.因为DC=AE+BE=3+1= 4,AD=2,所以AC2=DC2+AD2=20,所以AC=25.故选D. 5.D6.5cm7.20 8.25cm[解析]把长方体的右侧面剪开与前面所在的平面 形成一个长方形，如答图①.：长方体的宽为l0cm,高为 20cm,点B离点C的距离是5cm,.BD=CD+BC=10+ 5=15(cm),AD=20cm.在直角三角形ABD中，根据勾股定 理，得AB=√BD2+AD=√152+202=25(cm);把长方体 的右侧面剪开与上面所在的平面形成一个长方形，如答图② 长方体的宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm, ∴.BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=10cm在直角三角形 ABD中，根据勾股定理，得AB=√BD2+AD2=√252+102 =5√29(cm);把长方体的上面剪开与后面所在的平面形 成一个长方形，如答图③.长方体的宽为10cm,高为 20cm,点B离，点C的距离是5cm,∴.AC=AD+CD=20+10 =30(cm).在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得AB= √AC2+BC2=√302+52=5/37(cm).:25<5√29< 5√37，.蚂蚁爬行的最短距离是25cm. B5C D 20 10 10 B5C20 8题答图① 8题答图② B 20D10C 8题答图③ 9.解：如答图，展开图中AC=12dm,BC=9dm. 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√/122+92=15(dm). 答：这段葛藤的长是l5dm B 9题答图 7 全程导练·数学八年级·下册 10.解：(1)50[解析]如答图①，连接CD,作CE⊥AD于点 E.AD⊥AB,BC⊥AB,.AD∥BC,AB∥CE,.BC=AE= 5千米，CE=AB=40千米，∴.DE=AD-AE=35-5=30 (千米)，.CD=√DE2+CE2=√302+402=50（千米）， 即两个村庄的距离为50千米， 0 D E B B 10题答图① 10题答图② (2)点P的位置如答图②所示.16[解析]连接CD,作 CD的垂直平分线交AB于点P,点P即为所求设AP=x千 米，则BP=(40-x)千米.在Rt△ADP中，PD2=AP2+AD2 =x2+242.在Rt△BPC中，PC2=BP2+BC2=(40-x)2+ 162.PC=PD,.x2+242=(40-x)2+162,解得x=16, 即AP的距离为16千米. (3)15[解析]如答图③，AD⊥AB,BCD ⊥AB,AD=7,AB=9,BC=5.设BP= C x,则PC+PD=x2+25+ 5 P √(9-x)2+49.作，点C关于AB的对 9-x、x B 称点F,连接DF,过点F作FE LDA,Eg 5 交DA的延长线于点E,则DF是PC+ F 10题答图③ PD的最小值，即代数式√2+25+ √(9-x)2+49(0<x<9)的最小值.：AE=BF=5,EF= AB=9,DE=DA+AE=7+5=12,.代数式√x2+25+ √(9-x)2+49(0<x<9)的最小值为DF=√DE2+EF2 =√122+92=15. 第二十章易错强化训练 1.3或52.√7或53.4或√34 4.解：①当边长为8的边为斜边时，该直角三角形另一直角边 为27，故该直角三角形斜边上高为6×2万÷8=3，万， 2 ②当边长为8的边为直角边时，则根据勾股定理得，斜边长 为√62+82=10， 故该直角三角形斜边上高为6×8÷10=4.8. 5.3-56.(1)2-√2(2)22-22 7.解：过点M作x轴的垂线，垂足为N,则OW=2. 在Rt△OMN中，'∠MON=30°，∴.OM=2MN 设MN=x,则OM=2x.由勾股定理，得MN2+ON2=0M2, 即2+2=(2)2，解得x=子5（负值已舍去）， 0P=0M=号5，点P的坐标是(-号万，0 8.14或4 9.解：分两种情况： ①如答图①，：AD是BC边上的高， ∴.∠ADB=∠ADC=90°， .BD=√AB2-AD2=√172-82=15，CD=√AC2-AD2 ·8… =√102-82=6，.BC=BD+CD=15+6=21; B D 9题答图① 9题答图② ②如答图②，同①得BD=15,CD=6, ∴.BC=BD-CD=15-6=9. 综上所述，BC的长为21或9. 第二十章章未复习 【知识体系构建】 ①a2+b2=c2②c2-b2③c2-a2④直角⑤正整数 【常考题型训练】 1.C2.C3.D4.D5.B6.57.96 8.解：设AB=xm,则AC=(x+2)m,AE=（x-2)m ·CE⊥AB,∴.∠AEC=90. 在Rt△AEC中，根据勾股定理，得AE2+CE2=AC2, (x-22+102=(x+22,解得x=空A- 2 m. 答：旗杆AB的高度为空m 9.解：延长AD,BC,两条延长线相交于点E,如答图. 在Rt△ABE中，∠A=90°，∠ABC=60°， ∴.∠E=90°-60°=30°， D AB=2照 在Rt△DCE中， ∠E=30°，CD=10, ------->E .DE=2CD=20, .∴.AE=AD+DE=4+20= 9题答图 24. 在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2,解得AB=8√3， .在Rt△ABD中，BD=√(85)2+42=4√3. 10.D11.C12.15 13.(1)解：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边 长为c,那么a2+b2=c2 (2)证明：形=之(a+b)(a+b)=之a+b)2, S0w=SaE+SAe+Sam=Z+分ab+分b =22+, a+bj2=宁2+d2+8=2 1 (3)解：在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE2=20米， ∴.(16+12-20)×1000=8000（元）. 答：绕道后费用增加了8000元. 第二十一章四边形 21.1四边形及多边形 21.1.1四边形及其内角和 【知识要点分类练】 1.D2.B3.122 4.∠A,∠ABC,∠BCD,∠D∠DCE,∠CBF5.C