第20章 专题2 利用勾股定理探究两点间距离公式&专题3 利用勾股定理解决折叠问题-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

全程导练·数学八年级·下册 (2)证明：如答图，连接PQ, .PA=PC=1,AP =CQ, ∴.PC=CQ=1. :BP=BQ,∠PBQ=60°， ∴.△BPQ是等边三角形， ∴PQ=PB=V2, 0 ..PC2 +C02=PQ2, 15题答图 .∠PCQ=90°，.PC⊥CQ. 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 【知识要点分类练】 1.D2.B3.不垂直4.2.4cm,3.2cm,4cm5.C6.C 7.90°8.6√3 9.解：连接AC,如答图所示. ∠B=90°，AB=20m,BC=15m, .AC=√AB2+BC=√202+152= 25(m). .AC =25 m,CD =7 m,AD=24 m, ..AD2 +DC2 =AC2 D ∴，△ACD是直角三角形， 且∠ADC=90°， B 1 9题答图 SAABC=2×ABXBG 1 =2×20×15=150(m2), SMam=7×CDxA0=7×7×24=84(m2), 1 .S四边形ABCD=S△ABc+S△ACD=234m2. 【能力提升综合练】 10.C11.0.4 12.上午11时50分[解析]：AC=20海里，AB=12海里， BC=16海里，122+162=202，即AB2+BC2=AC2 .△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.，MN⊥CE,,走 私艇C到达直线MW的最短距离是CE的长度.由S△ABC =之B·BC=方4C·BE,得E=9.6海里.由CR2+ BE2=162,得CE=12.8海里，.走私艇C到达直线MN需 要的时间为12.8÷6.4=2（小时），.走私艇C最早会在 上午11时50分到达直线MN. 13.(1)证明：：AC=300km,BC=400km,AB=500km, AC2+BC2=AB2,.△ABC是直角三角形， .∠ACB=90°. (2)解：海港C会受台风影响. 理由：如答图，过点C作CD LAB于点D. Sc=2AC·BC=2AB:CD, ÷CD=4CBC_300X400=240(km. AB 500 :250>240,.海港C会受台风影响。 E D F B 13题答图 (3)解：在直线AB上取点E,F,且EC=250km,FC=250km ·6… 在Rt△CED中，由勾股定理， 得ED=√EC2-CD2=√2502-2402=70(km), ..EF=140km. :台风的速度为40km/h,.140÷40=3.5(h). .·.台风影响该海港持续的时间为3.5h. 【素养探究创新练】 14.(1)解：锐角钝角 (2)解：>< (3)证明：若△ABC是锐角三角形，则有a2+2>c2 理由：如答图①，过点A作AD⊥BC,垂足为D. 设CD=x,则有BD=a-x. 根据勾股定理，得2-x2=AD2=c2-(a-x)2, 即2-x2=c2-a2+2ax-x2,则a2+b2=c2+2ax. a>0,x>0,.2ax>0,.a2+b2>c2 若△ABC是钝角三角形，则有a2+b2<c2. 理由：如答图②，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D. 设CD=x,则有AD2=b2-x2. 根据勾股定理，得(a+x)2+2-x2=c2,即a2+b2+2ax=c2. a>0,x>0,∴.2ax>0,∴.a2+b2<c2. B DC 14题答图① 14题答图② (4)解：画法不唯一，示例如答图③④⑤所示 E + D 7 B B: :Bi 14题答图③ 14题答图④ 14题答图⑤ 专题2利用勾股定理探究两点间距离公式 1.A[解析]P(-2,5),原点0(0,0)，.0P= √（-2-0)2+（√5-0）2=5=3，即，点P(-2,5)到原 点的距离是3.故选A. 2.B3.2√5 4.解：(1)MN=√(4-2)2+(2+1)2=√13， .点M(4,2)和点N(2,-1)之间的距离是√13. (2)M0=√(4-0)2+(2-0)7=25， N0=√(2-0)2+(-1-0)2=5， .△MN0的周长=MN+M0+N0=13+3√5. 5.解：(1).点A(2,3),B(4,2), .AB=√(4-2)2+(2-3)2=√5 .A,B两点间的距离为5.】 (2):点A,B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为7， 点B的横坐标为-5， ∴.AB=7-(-5)=12,∴.A,B两点间的距离为12 (3).A(1,4),B(1,-4), .点A和点B在平行于y轴（或垂直于x轴）的直线x=1上， .AB=4-(-4)=8. 当1-a=1,即a=0时，点C(1-a,5)在直线x=1上，此时 A,B,C三点共线，不能构成三角形； 当1-a≠1，即a≠0时，点C(1-a,5)到直线AB的距离为 11-a-1l=lal, 1 SAABG=2-x8x lal=4lal, .△ABC的面积S=4|a(a≠0). 专题3利用勾股定理解决折叠向题 1.D2.C 3.C[解析]∠ACB=90°，AC=2,BC= 2,AB= √AC+BC-子由翻折，得B=AB=各CB=A- AC=-2=7 495.4 6.2.5[解析]在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8, .AC=√AB2+BC2=10.:CE垂直平分AC,.AE=CE,AD =CD=子AC=5,∠CDB=90设AB=CB=x,则BE=8- x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2,即62+(8-x)2=x2,解 得x=6.25.:点C关于EF的对称点为点C',.CE=CE= 6.25.在Rt△CDE中，DE=√CE2-CD=√6.252-57= 3.75,.CD=CE-DE=6.25-3.75=2.5. 7.解：设FG=x,由折叠的性质，得BE=EG,DF=FG. 正方形ABCD的边长为3，BE=1, ∴.EG=1,EC=3-1=2,CF=3-x,∴.EF=1+x. 在Rt△ECF中，EF2=EC2+CF2, 六(1+x)2=22+(3-x)2,解得x=2, 1+含子 8.解：(1)△AEC是等腰三角形. 证明：由折叠的性质可知∠BAC=∠DAC. .OC∥AB,.∴.∠OCA=∠BAC,∴.∠EAC=∠ACE, .AE=CE,即△AEC是等腰三角形. (2)过点D作DF⊥y轴于点 ◆y F,如答图. 令AE=CE=x,则OE=8-x ----7B 在Rt△OEA中，由勾股定理， D 得(8-x)2+42=x2, 解得x=5,∴.AE=CE=5. 由折叠的性质，得CD=BC=4, 0 AD=AB=8, .'DE=AD-AE=3. 8题答图 :Saoe=cD:DB=2c8·0P0F=号 ·点D的横坐标为- 5 专题4利用勾股定理解决最值或最短路径问题 1.C2.1+5 3.解：如答图，作点A关于直线MN对称的点C,连接CB交 MN于点P,连接AP,则点P为所建的出口，此时A,B两个 城镇到出口P的距离之和最小，最小距离为BC的长 过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D. 参考答案及解析 AA'=2 km,BB'=4 km,A'B'=8 km, .'BD =A'B'=8 km,A'D =BB'=4 km,AC=4 km, ∴.AD=2km,.CD=6km, .在Rt△CDB中，CB=√62+82=10(km), .这个最小距离为10km B Dr------- A M A B D 3题答图 4题答图 4.D[解析]将台阶展开，如答图.因为DC=AE+BE=3+1= 4,AD=2,所以AC2=DC2+AD2=20,所以AC=25.故选D. 5.D6.5cm7.20 8.25cm[解析]把长方体的右侧面剪开与前面所在的平面 形成一个长方形，如答图①.：长方体的宽为l0cm,高为 20cm,点B离点C的距离是5cm,.BD=CD+BC=10+ 5=15(cm),AD=20cm.在直角三角形ABD中，根据勾股定 理，得AB=√BD2+AD=√152+202=25(cm);把长方体 的右侧面剪开与上面所在的平面形成一个长方形，如答图② 长方体的宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm, ∴.BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=10cm在直角三角形 ABD中，根据勾股定理，得AB=√BD2+AD2=√252+102 =5√29(cm);把长方体的上面剪开与后面所在的平面形 成一个长方形，如答图③.长方体的宽为10cm,高为 20cm,点B离，点C的距离是5cm,∴.AC=AD+CD=20+10 =30(cm).在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得AB= √AC2+BC2=√302+52=5/37(cm).:25<5√29< 5√37，.蚂蚁爬行的最短距离是25cm. B5C D 20 10 10 B5C20 8题答图① 8题答图② B 20D10C 8题答图③ 9.解：如答图，展开图中AC=12dm,BC=9dm. 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√/122+92=15(dm). 答：这段葛藤的长是l5dm B 9题答图 7第二十章勾股定理 专题2利用勾股定理探究两点间距离公式 [答案P6] 方法指导：在平面直角坐标系中，已知任意两点 4.（河北石家庄期末) A(x1,y1)和B(x2,y2),如图，分别过点A,B作 (1)计算点M(4,2)和点N(2,-1)之间的距离； AA'⊥x轴、BB'⊥x轴，垂足为A',B';作AA”⊥ (2)在(1)的条件下，点O为原点，求△MN0的 y轴，垂足为A”,作BB”⊥y轴，垂足为B",且与AA' 周长 交于点C,则△ABC是直角三角形， .BC=x2-x,AC=ly2-y1, .AB2=BC+AC2=(x2-x1)2+(y2-y1)2, AB=V(x2-x)2+(y2-y)尸. 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式. 特别地，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于 坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可 简化为x2-x1或y2-y1 y A A(x1,y1) 5.（1)已知点A(2,3),B(4,2),试求A,B两点间的 距离。 B B(x2,y2) (2)已知点A,B在平行于x轴的直线上，点A的 B' 横坐标为7，点B的横坐标为-5，试求A,B 1.（云南昆明期末)在平面直角坐标系中，点 两点间的距离 P(-2,√5)到原点的距离是 (3)已知一个三角形的各顶点坐标为A(1,4), A.3 B.4 C.2 D.5 B(1,-4),C(1-a,5),试用含a的式子表示 2.在平面直角坐标系中，点A(2,-1),B(5,3),则 △ABC的面积S. AB的长为 ( A.√13 B.5 C.4 D.3 3.（教材母题变式)如图，在平面直角坐标系中， △ABC各顶点的坐标分别为A(1,2),C(5,2), B(5,4),则AB的长为 1 012345x 3题图 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自自 27 全程导练·数学八年级·下册 专题3利用勾股定理解决折叠问题 [答案7] 方法指导：折叠问题的关键是对称性.①折叠前后的5.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将 图形全等，找出相等的对应线段、对应角；②关注 △ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交 90°角，找到或构造一个直角三角形；③利用勾股 CD于点F.若AB=6,BC=4√6，则FD的长为 定理求解（常需要设x列方程）；④折叠还会产生 角平分线、垂直平分线，注意运用它们的性质 定理， 1.（凉山州中考)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC= 8,BC=6,将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重 5题图 6题图 合，则CE的长为 ( 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC A.9 B.2 D. 1 4 边的垂直平分线交BC于点E,交AC于点D,F为 8 AC上一点，连接EF,点C关于EF的对称点C恰 好落在ED的延长线上，则C'D的长为 7.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E,F分别 在边BC,CD上，将AB,AD分别沿AE,AF折叠，点 1题图 2题图 B,D恰好都落在点G处，已知BE=1,求EF的长. 2.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将 此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF, 则△ABE的面积为 ( A.3 cm2 B.4 cm2 E C.6cm2 D.12 cm2 7题图 3.如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°，AC= 8.如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系 中，使OA,OC分别落在x轴、y轴上，连接AC,将 2,BC=弓，将斜边AB翻折，使点B落在直角边 纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置， AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则CE的 AD与y轴交于点E,其中点B的坐标为(4,8). 长为 ( (1)△AEC是等腰三角形吗？请证明； A.1 D. 3 (2)求点D的横坐标. B. 4 2 B D 3题图 4题图 8题图 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=6, 将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕 交AC于点M,交BC于点N,则线段CN的长为 8 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自自