20.2 第1课时 勾股定理的逆定理-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

【素养探究创新练】 14.解：(1)在Rt△0AB中， AB=15米，0A=12米， .0B=√AB2-0A=√152-122=9（米）， .BE=0B+OE=9+3=12(米). 答：B处与地面的距离是12米. (2)在Rt△OCD中， .·CD=15米，0D=0B+BD=9+3=12(米)， .0C=√CD2-0D2=√152-122=9（米）， .AC=0A-0C=12-9=3(米). 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为3米 第3课时利用勾股定理作图、计算 【知识要点分类练】 1.A 2.解：(1)5[解析]：正方形OEBC的边长为1，.0B= √2+12=√2，.图中的点A表示的数是2. (2)0D=√12+(2)2=5， 如答图所示，点M即为所求 B M, -2 (0)0 (E)1 A2 2题答图 3.B4.C 5.解：如答图所示，AB,CD,EF即为所求（答案不唯一）. E 5题答菌 6.C7.A8.23-29.32 【能力提升综合练】 10.A11.<12.6 13.解：(1)△BED为等腰三角形.理由如下： ·四边形ABCD为长方形， .∠A=∠C=∠C'=90°，AB=CD=CD. 又.·∠AEB=∠CED,∴.△AEB≌△C'ED, ∴.BE=DE,∴△BED为等腰三角形 (2)设BE=DE=x,则AE=24-x 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2=AB2+AE2, 即x2=122+(24-x)2,解得x=15,即BE的长为15. (3)Sm影=20E·MB=7×15×12=90. 1 【素养探究创新练】 14.解：(1)-√2√2 (2),·长方形面积为5 正方形边长为5，如答图①②所示， 14题答图① 14题答图② 参考答案及解析 a=5. (3)如答图③所示. -5-4-3-2-1N012M345 14题答图③ 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 【知识要点分类练】 1.B2.A3.A4.C5.26.90 7.解：(1)52+122=132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形. (2)(合广+()厂1，不符合勾股定理的递定理，不是 直角三角形. 8.解：AD=6,AE=8,ED=10,.ED2=AD2+AE2, .△ADE是直角三角形，∴.AD⊥AB. ∠C=90°，BD平分∠ABC,.CD=AD=6. 9.D10.C 【能力提升综合练】 11.C12.m2+1 13.(1)证明：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=2, .AC=√AB2+BC=√32+22=√3. 在Rt△EDC中，∠D=90°，CD=6,DE=4, .CE=√CD2+DE2=√62+42=213. :AC2=13,CE2=52,AE2=65, .AE2 =AC2 +CE2, ·△ACE是直角三角形，AE是斜边，·∠ACE=90° （2)解2y 14.(1)证明：连接CE,如答图. .·D是BC的中点，DE⊥BC, ∴.CE=BE. ·BE2-EA2=AC2 .CE2 -EA2 =AC2, D 即EA2+AC2=CE2, 14题答图 ∴.△ACE是直角三角形，即∠A=90°. (2)解：DE=3,BD=4, ∴.CE=BE=√DE2+BD2=5, .AC2=EC2-AE2=25-EA2. .BC=2BD=8, .在Rt△BAC中，由勾股定理可得BC2-BA2=64-(5+ EA)2=AC2, 64-(5+AE)2=25-EA,解得AE=5 7 【素养探究创新练】 15.(1)解：AP=CQ. 理由：：△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠ABC=60° .∠PBQ=60°，.∴.∠ABP=∠CBQ. rAB =CB, 在△ABP和△CBQ中，{∠ABP=∠CBQ, BP=BO, .△ABP≌△CBQ(SAS),.AP=CQ. ·5… 全程导练·数学八年级·下册 (2)证明：如答图，连接PQ, .PA=PC=1,AP =CQ, ∴.PC=CQ=1. :BP=BQ,∠PBQ=60°， ∴.△BPQ是等边三角形， ∴PQ=PB=V2, 0 ..PC2 +C02=PQ2, 15题答图 .∠PCQ=90°，.PC⊥CQ. 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 【知识要点分类练】 1.D2.B3.不垂直4.2.4cm,3.2cm,4cm5.C6.C 7.90°8.6√3 9.解：连接AC,如答图所示. ∠B=90°，AB=20m,BC=15m, .AC=√AB2+BC=√202+152= 25(m). .AC =25 m,CD =7 m,AD=24 m, ..AD2 +DC2 =AC2 D ∴，△ACD是直角三角形， 且∠ADC=90°， B 1 9题答图 SAABC=2×ABXBG 1 =2×20×15=150(m2), SMam=7×CDxA0=7×7×24=84(m2), 1 .S四边形ABCD=S△ABc+S△ACD=234m2. 【能力提升综合练】 10.C11.0.4 12.上午11时50分[解析]：AC=20海里，AB=12海里， BC=16海里，122+162=202，即AB2+BC2=AC2 .△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.，MN⊥CE,,走 私艇C到达直线MW的最短距离是CE的长度.由S△ABC =之B·BC=方4C·BE,得E=9.6海里.由CR2+ BE2=162,得CE=12.8海里，.走私艇C到达直线MN需 要的时间为12.8÷6.4=2（小时），.走私艇C最早会在 上午11时50分到达直线MN. 13.(1)证明：：AC=300km,BC=400km,AB=500km, AC2+BC2=AB2,.△ABC是直角三角形， .∠ACB=90°. (2)解：海港C会受台风影响. 理由：如答图，过点C作CD LAB于点D. Sc=2AC·BC=2AB:CD, ÷CD=4CBC_300X400=240(km. AB 500 :250>240,.海港C会受台风影响。 E D F B 13题答图 (3)解：在直线AB上取点E,F,且EC=250km,FC=250km ·6… 在Rt△CED中，由勾股定理， 得ED=√EC2-CD2=√2502-2402=70(km), ..EF=140km. :台风的速度为40km/h,.140÷40=3.5(h). .·.台风影响该海港持续的时间为3.5h. 【素养探究创新练】 14.(1)解：锐角钝角 (2)解：>< (3)证明：若△ABC是锐角三角形，则有a2+2>c2 理由：如答图①，过点A作AD⊥BC,垂足为D. 设CD=x,则有BD=a-x. 根据勾股定理，得2-x2=AD2=c2-(a-x)2, 即2-x2=c2-a2+2ax-x2,则a2+b2=c2+2ax. a>0,x>0,.2ax>0,.a2+b2>c2 若△ABC是钝角三角形，则有a2+b2<c2. 理由：如答图②，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D. 设CD=x,则有AD2=b2-x2. 根据勾股定理，得(a+x)2+2-x2=c2,即a2+b2+2ax=c2. a>0,x>0,∴.2ax>0,∴.a2+b2<c2. B DC 14题答图① 14题答图② (4)解：画法不唯一，示例如答图③④⑤所示 E + D 7 B B: :Bi 14题答图③ 14题答图④ 14题答图⑤ 专题2利用勾股定理探究两点间距离公式 1.A[解析]P(-2,5),原点0(0,0)，.0P= √（-2-0)2+（√5-0）2=5=3，即，点P(-2,5)到原 点的距离是3.故选A. 2.B3.2√5 4.解：(1)MN=√(4-2)2+(2+1)2=√13， .点M(4,2)和点N(2,-1)之间的距离是√13. (2)M0=√(4-0)2+(2-0)7=25， N0=√(2-0)2+(-1-0)2=5， .△MN0的周长=MN+M0+N0=13+3√5. 5.解：(1).点A(2,3),B(4,2), .AB=√(4-2)2+(2-3)2=√5 .A,B两点间的距离为5.】 (2):点A,B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为7， 点B的横坐标为-5， ∴.AB=7-(-5)=12,∴.A,B两点间的距离为12 (3).A(1,4),B(1,-4), .点A和点B在平行于y轴（或垂直于x轴）的直线x=1上， .AB=4-(-4)=8. 当1-a=1,即a=0时，点C(1-a,5)在直线x=1上，此时 A,B,C三点共线，不能构成三角形； 当1-a≠1，即a≠0时，点C(1-a,5)到直线AB的距离为第二十章勾股定理 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 勾股定理的逆定理 [答案P5] 知识要点分类练单， 7.（教材母题变式)判断由线段a,b,c组成的三角形 是不是直角三角形 知识点1勾股定理的逆定理 (1)a=5,b=12,c=13; 1.下列长度的三条线段首尾相接能组成直角三角形 (2a=2b=1c- 的是 ( A.32,42,52 B.1,1,2 C.6,8,11 D.5,12,23 2.（重庆江津区期末)在△ABC中，∠A,∠B,∠C所 对的边分别为a,b,c,且满足b2-a2=c2,则下列 判断正确的是 () A.∠A与∠C互余 B.∠B与∠C互余 C.∠A与∠B互余 D.△ABC是等腰三角形 3.下列说法中不正确的是 （)8.如图，四边形ABCD中，∠C=90°，BD平分 A.三个角度数之比为3：4：5的三角形是直角三 ∠ABC,AD=6,E为AB上一点，AE=8,ED=10, 角形 求CD的长 B.三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形 C.三个角度数之比为1：2：3的三角形是直角三 角形 D.三边之比为1：2：3的三角形是直角三角形 8题图 4.已知三角形的三边长a,b,c满足(a-2)2+ √6-3+c-万=0，则该三角形的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定 5.（四川达州期末)已知一个三角形的三边长分别 知识点2勾股数 为2cm,√6cm,2cm,则这个三角形的面积为 9.下列四组数中，是勾股数的是 cm2. A.2.5,6,6.5 B.6,7,8 6.如图，在△ABC中，AC=3,BC= C.1,2,5 D.8,15,17 4,以点A为圆心，AC的长为半径 10.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数一 画弧，交AB于点D.若BD=2,则 定还是勾股数的是 () ∠ACB= A.a+1,b+1,c+1 B.a2,b2,c2 6题图 C.2a,2b,2c D.3a,4b,5c 见此图标器微信扫码进人初屮智慧学园鱼 全程导练·数学八年级·下册 能力提升综合练中， 14.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC,垂 足为D,交AB于点E,且BE2-EA2=AC2 11.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现 (1)求证：∠A=90°； 将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确 (2)若DE=3,BD=4,求AE的长 的是 25 20 24 24 14题图 15 A B 24 20 24 20 15 25 C D 12.(黄风中考)勾股定理最早出现在《周髀算经》： “勾广三，股修四，径隅五.”观察下列勾股数：3， 4,5;5,12,13;7,24,25;…这类勾股数的特点是： 勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶 数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10：8， 素养探究创新练学， 15,17;…若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正 15.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA, 整数)，则其弦是 PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ,连 13.如图，已知C是线段BD上的一点，∠B=∠D= 接CQ. 90°，AB=3,BC=2,CD=6,DE=4,AE=√65. (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说 (1)求证：∠ACE=90; 明理由； (2)△ACE的斜边AE上的高的长为 (2)若PA=PC=1,PB=2,求证：PC⊥CQ. B 13题图 15题图 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自