第10讲 二项式定理（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第10讲 二项式定理 【苏教版】 模块一 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 2．二项展开式的规律 (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 【题型1 求二项展开式】 【例1】（24-25高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2025·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式 . 【变式1.3】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．6 B． C．12 D． 【变式2.1】（24-25高二下·江苏连云港·期末）展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 【变式2.2】（24-25高二下·广西河池·月考）在的展开式中，的系数为40，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二下·湖北武汉·月考）二项式的展开式中常数项为（    ） A．160 B． C． D． 模块二 二项式系数的性质及应用 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,…时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=21，第二行的三个数之和为4=22，…，第六行的各数之和为26，…， 第n行的(n+1)个数之和为2n. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 【题型3 用赋值法求系数和问题】 【例3】（24-25高二下·浙江·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则为（    ） A． B．1 C．32 D．243 【变式3.2】（24-25高二下·湖北荆州·期中）若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 【变式3.3】（24-25高二下·河北保定·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 多项式积的展开式中的特定项问题】 【例4】（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．14 C． D．9 【变式4.1】（24-25高二下·宁夏银川·月考）展开式中常数项的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·湖南邵阳·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B．4 C．20 D． 【变式4.3】（24-25高二下·重庆渝中·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．80 D．100 【题型5 求展开式中系数最大（小）的项】 【例5】（24-25高二下·安徽滁州·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式5.1】（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【变式5.2】（24-25高三上·云南昆明·月考）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式5.3】（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【题型6 三项展开式的系数问题】 【例6】（24-25高二下·山东济南·期末）的展开式中，常数项为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【变式6.1】（24-25高二下·陕西西安·期末）的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【变式6.2】（24-25高二下·福建三明·期中）的展开式中含项的系数为（   ） A．240 B．160 C．-60 D．-160 【变式6.3】（24-25高二下·江苏苏州·期中）的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（   ） A． B．75 C．135 D．165 【题型7 利用二项式定理解决整除和余数问题】 【例7】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【变式7.1】（24-25高二下·山东滨州·期末）被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【变式7.2】（24-25高二下·河南郑州·期末）若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【变式7.3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）下列能整除的数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型8 近似计算问题】 【例8】（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【变式8.2】（2025·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高二·全国·单元测试）的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 【题型9 证明组合恒等式】 【例9】（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【变式9.1】（24-25高二·全国·课后作业）求证：． 【变式9.2】（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【变式9.3】（24-25高二·全国·课后作业）求证：． 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽·月考）在的展开式中，常数项为（   ） A． B．40 C． D．80 2．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 3．（24-25高二下·河南·月考）除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（24-25高二下·江苏淮安·期中）设，则（    ） A．2 B． C． D．0 5．（24-25高二下·新疆喀什·期中）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A．1 B．15 C．-15 D．-1 6．（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数是（   ） A．10 B．5 C． D． 7．（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 8．（24-25高二下·天津南开·期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数和为2186 B．第4项与第5项的系数相等 C．的项的系数为21 D．二项式系数最大为35 二、多选题 9．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 10．（24-25高二下·江苏南通·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·山东济南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．第34行中第15个数与第16个数之比为 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 三、填空题 12．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为 ． 13．（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期 ． 14．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为 . 四、解答题 15．（24-25高二下·浙江杭州·期末）在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 16．（24-25高二下·广东·期末）已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2． (1)求的值； (2)求展开式中含的项． 17．（24-25高二下·重庆万州·期中）设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； 18．（24-25高二下·全国·课后作业）（1）证明：能被7整除． （2）求精确到0.01的近似值． 19．（24-25高二下·河南郑州·期末）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二项式定理 【苏教版】 模块一 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 2．二项展开式的规律 (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 【题型1 求二项展开式】 【例1】（24-25高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由二项式定理求解. 【解答过程】二项式 ， . 故选：B. 【变式1.1】（2025·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按照二项式定理直接展开判断即可. 【解答过程】由二项式定理可知，，故不是展开式的项. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式 . 【答案】 【解题思路】直接根据二项式定理展开求解即可. 【解答过程】因为的展开式的通项为， 所以. 故答案为：. 【变式1.3】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【答案】 【解题思路】根据二项式定理可得答案. 【解答过程】 ． 故答案为：． 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）的展开式中的系数为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【解题思路】根据二项展开式的通项公式即可求解． 【解答过程】的展开式通项为， 令，所以展开式中的系数为， 故选：D． 【变式2.1】（24-25高二下·江苏连云港·期末）展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【解题思路】由二项式定理写出括号展开式的通项公式，利用赋值法，可得答案. 【解答过程】由的展开式通项为， 则令，即，常数项为. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二下·广西河池·月考）在的展开式中，的系数为40，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二项展开式通式得，再令，解出后即可得到方程，解出即可. 【解答过程】的展开式通项为， 令，可得，所以的系数为，解得． 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二下·湖北武汉·月考）二项式的展开式中常数项为（    ） A．160 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二项式的通项公式展开，结合常数项的特征，即可求解. 【解答过程】因为二项式的展开式的通项为，令，得， 所以常数项为. 故选：C. 模块二 二项式系数的性质及应用 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,…时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=21，第二行的三个数之和为4=22，…，第六行的各数之和为26，…， 第n行的(n+1)个数之和为2n. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 【题型3 用赋值法求系数和问题】 【例3】（24-25高二下·浙江·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，可得出的值. 【解答过程】因为， 令可得. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则为（    ） A． B．1 C．32 D．243 【答案】B 【解题思路】利用赋值法令计算可得. 【解答过程】因为， 令可得. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二下·湖北荆州·期中）若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，令，求得，再令，可得，进而求得的值，得到答案. 【解答过程】由， 令，可得， 再令，可得， 所以. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高二下·河北保定·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，.然后去绝对值，令，即可得出所求代数式的值. 【解答过程】的展开式通项为， 所以， 故当为偶数时，；当为奇数时，. 所以 . 故选：A. 【题型4 多项式积的展开式中的特定项问题】 【例4】（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．14 C． D．9 【答案】A 【解题思路】先确定二项式展开式的通项，再根据分配律运算得的系数即可. 【解答过程】因为中二项式展开式的通项为， 所以的展开式中，的系数是． 故选：A． 【变式4.1】（24-25高二下·宁夏银川·月考）展开式中常数项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【解答过程】的展开式通项为， 因为， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 因此，展开式中的常数项为. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二下·湖南邵阳·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B．4 C．20 D． 【答案】B 【解题思路】根据二项式的展开式，求出特定项的系数. 【解答过程】由题意得的展开式为， 当时； 当时，； 则含的项为， 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二下·重庆渝中·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．80 D．100 【答案】A 【解题思路】先求出展开式的通项，从而得到展开式中的系数为.. 【解答过程】因为， 其中展开式的通项为， 当时，， 故，其他项均不合要求， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 【题型5 求展开式中系数最大（小）的项】 【例5】（24-25高二下·安徽滁州·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【解题思路】利用二项式系数的性质求解最大项即可. 【解答过程】因为展开式中共有7项，所以展开式中间项的二项式系数最大， 则第4项的二项式系数最大，故B正确. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【答案】B 【解题思路】利用展开式的通项得不等式组可得答案. 【解答过程】设的展开式的通项为，， 由题意可得， 解得，因为 所以， 所以的展开式中系数最大的是的系数. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高三上·云南昆明·月考）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【解题思路】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【解答过程】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 【变式5.3】（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【解题思路】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【解答过程】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 【题型6 三项展开式的系数问题】 【例6】（24-25高二下·山东济南·期末）的展开式中，常数项为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【解题思路】先将三项式变为两项式，再利用展开式的通项可得. 【解答过程】， 通项为， 令，所以常数项为. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高二下·陕西西安·期末）的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】D 【解题思路】根据二项式展开的通项公式来求解展开式中项的系数. 【解答过程】多项式展开式的通项为 令，可得 由展开式通项为 当时，可得 所以展开式中项的系数为 故选：D. 【变式6.2】（24-25高二下·福建三明·期中）的展开式中含项的系数为（   ） A．240 B．160 C．-60 D．-160 【答案】D 【解题思路】先将变形为，那么，再根据二项式展开式的通项公式求出含项的系数. 【解答过程】因为，所以. 对于，则其展开式的通项公式为： （）. 令，解得. 将代入到通项公式中，可得含项为.即含项的系数为. 故选：D. 【变式6.3】（24-25高二下·江苏苏州·期中）的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（   ） A． B．75 C．135 D．165 【答案】D 【解题思路】求出展开式的通项，进而求出，再利用组合计数问题求出即可. 【解答过程】展开式的通项， 则， 的展开式中的项为，则， 所以. 故选：D. 【题型7 利用二项式定理解决整除和余数问题】 【例7】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【解题思路】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【解答过程】因为 ， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 【变式7.1】（24-25高二下·山东滨州·期末）被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】利用二项式定理求解. 【解答过程】， 显然中每一项都是8的倍数，因此代数和能被8整除，而除以8后余数为6， 所以被8除的余数为6， 故选：C. 【变式7.2】（24-25高二下·河南郑州·期末）若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【解题思路】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案. 【解答过程】因为， 所以该二项展开式的通项为， 当时，能被9整除， 但时，不能被9整除， 要使能被9整除，则能被9整除， 因为，所以， ，即. 故选：A. 【变式7.3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）下列能整除的数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】通过二项式定理展开进行计算判断即可. 【解答过程】 ，能被8整除. 故选：D. 【题型8 近似计算问题】 【例8】（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【解答过程】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【解题思路】利用二项式定理进行估值即可. 【解答过程】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C. 【变式8.2】（2025·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二项式定理即可估算近似值. 【解答过程】由题意可知 故选：C. 【变式8.3】（24-25高二·全国·单元测试）的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 【答案】C 【解题思路】由二项式定理求解 【解答过程】. 故选：C. 【题型9 证明组合恒等式】 【例9】（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】逆用二项式定理即可证明. 【解答过程】由二项式定理知，，. 令，，得. 【变式9.1】（24-25高二·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用二项式定理的展开式再令可证明. 【解答过程】由二项式定理：， 令得： ， 化简得：. 【变式9.2】（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析. 【解题思路】利用二项式定理直接证明. 【解答过程】左边= =1=右边. 即证. 【变式9.3】（24-25高二·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】由得是的展开式中的系数，是的展开式中的系数，由组合数的性质可得证. 【解答过程】证明:因为， 所以， 而是的展开式中的系数，是的展开式中的系数， 所以． 因为，所以． 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽·月考）在的展开式中，常数项为（   ） A． B．40 C． D．80 【答案】B 【解题思路】由通项公式即可求解. 【解答过程】通项公式 令，得， 所以在的展开式中，常数项为. 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【解题思路】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【解答过程】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 3．（24-25高二下·河南·月考）除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解题思路】应用二项式展开式计算得出余数即可. 【解答过程】， 又， 所以， 所以除以8的余数为3. 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏淮安·期中）设，则（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【解题思路】根据赋值法令计算求出系数和. 【解答过程】因为，令，得出， 令，得出， 则. 故选：C. 5．（24-25高二下·新疆喀什·期中）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A．1 B．15 C．-15 D．-1 【答案】B 【解题思路】先求出，再利用二项展开式的通项即可求出其常数项. 【解答过程】由题意，，解得， 则二项式的通项为， 由可得，即其展开式的常数项为. 故选：B. 6．（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数是（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二项展开式的通项公式，讨论两种情况求解即可. 【解答过程】因为的展开式的通项公式为， 令，可得； 令，可得； 所以的系数是. 故选：C. 7．（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 【答案】D 【解题思路】利用二项式定理求解. 【解答过程】， 这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现， 所以的系数为， 故选：D. 8．（24-25高二下·天津南开·期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数和为2186 B．第4项与第5项的系数相等 C．的项的系数为21 D．二项式系数最大为35 【答案】D 【解题思路】对于A，赋值即可判断；对于BC，由二项式定理即可验算；对于D，由二项式系数的增减性即可判断. 【解答过程】对于A中，令，可得，即展开式各项系数和为，所以A错误； 对于B中，二项式展开式的通项为， 可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为， 所以展开式的第4项和第5项的系数不相等，所以B错误； 对于C中，由二项式展开式的通项为， 可得的项的系数为，所以C错误； 对于D中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大， 二项式系数的最大值为，所以D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 【答案】ABD 【解题思路】根据二项式系数和的性质列式求得，判断A，令得各项系数之和判断B，根据二项式系数的性质判断C，求出展开式的通项，令得，代入即可求常数项判断D. 【解答过程】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确． 令，则各项系数之和为，B正确． 因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误． 的展开式的通式为， 令得，故所求的常数项为，D正确． 故选：ABD. 10．（24-25高二下·江苏南通·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】利用赋值法，令得，即可判断选项A；由展开式的通项公式，令求得的值，即可判断选项B；令得，即可判断选项C；令得，两式相减即可判断选项D. 【解答过程】∵，∴令得，故选项A正确； 由展开式的通项公式， 令得，所以，故选项B不正确； 令得，故选项C正确； 令得，两式相减得，故，故选项D不正确. 故选：AC. 11．（24-25高二下·山东济南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．第34行中第15个数与第16个数之比为 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 【答案】ABD 【解题思路】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错即可. 【解答过程】对于A，图中第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28，它们的和等于36， 而第9行的第8个数是，故A正确； 对于B，因图中第2023行是二项式的展开式的二项式系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，因，故B正确； 对于C，图中第34行是的展开式的二项式系数， 所以第15个数与第16个数之比为，故C错误； 对于D，因“杨辉三角”第行是二项式的展开式的二项式系数，则， 于是，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二下·云南曲靖·期末）二项式展开式中的第3项为 ． 【答案】 【解题思路】由二项式展开式通项可得答案. 【解答过程】二项式展开式的第r+1项为：. 则展开式中的第3项为：． 故答案为：. 13．（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期 ． 【答案】三 【解题思路】利用二项式定理的整除问题即可求得结果. 【解答过程】因为, 前10个数除以7都能除尽，最后的那个数1即是余数，故天后是星期三. 故答案为：三. 14．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为 . 【答案】12 【解题思路】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【解答过程】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为12. 故答案为：12. 四、解答题 15．（24-25高二下·浙江杭州·期末）在的展开式中，第项为常数项． (1)求的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和． 【答案】(1)，常数项的值为 (2) 【解题思路】（1）利用二项展开式的通项公式，结合条件，得到，可得，即可求解； （2）通过赋值，令，即可求解. 【解答过程】（1）因为的展开式的通项公式为， 由题知时，，得到，解得， 所以常数项的值为. （2）由（1）知，令，得到， 所以展开式中所有项的系数之和为. 16．（24-25高二下·广东·期末）已知在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2． (1)求的值； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用展开式的二项式系数，列出方程，即可求解； （2）由（1），求得展开式的通项，确定的值，代入计算，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为的展开式中，第4项与第3项的二项式系数的比值为2， 可得，解得. （2）解：由（1）知，二项式， 可得展开式的通项为， 令，解得，所以展开式中的项为. 17．（24-25高二下·重庆万州·期中）设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）写出项的系数解方程即可得； （2）利用赋值法求出各项系数的和，再利用计算可得结果. 【解答过程】（1）根据二项式定理可得， 所以，解得； （2）由（1）知， 令得， 再令得， 所以. 18．（24-25高二下·全国·课后作业）（1）证明：能被7整除． （2）求精确到0.01的近似值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解题思路】（1）先对目标式合理变形，再利用二项式定理证明整除性即可. （2）对目标式合理变形，再利用二项式定理将其展开，忽略掉其他项，进而估值即可. 【解答过程】（1）由二项式定理得 ， 因为上式中每一项均能被7整除，所以能被7整除． （2）由二项式定理得， 可得第三项，以后各项的绝对值更小， 故． 19．（24-25高二下·河南郑州·期末）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）根据二项式系数公式，结合组合数的计算公式进行求解可得，再求出展开式的通项公式求解； （2）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【解答过程】（1）由题，可得，即， 得，又，所以， 因为展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. （2）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $