第09讲 组合（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第09讲 组合 【苏教版】 模块一 组合 1．组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2．组合概念的理解 (1)组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质. (2)两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 3．排列与组合的联系与区别 (1)联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. (2)区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 【题型1 判断是否为组合问题】 【例1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【变式1.1】（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【变式1.2】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【变式1.3】（24-25高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 模块二 组合数 1．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 2．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 【题型2 组合数的计算与证明】 【例2】（24-25高二下·山东东营·期末）（   ） A．25 B．35 C．70 D．1050 【变式2.1】（24-25高二下·福建福州·期末）计算的值是（   ） A．48 B．76 C．148 D．176 【变式2.2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【变式2.3】（2025高三·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 【题型3 组合数方程和不等式】 【例3】（25-26高三上·北京·月考）满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 【变式3.1】（24-25高二下·江西景德镇·期中）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或2 D．2或3 【变式3.2】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）解下列方程或不等式： (1)； (2). 【变式3.3】（24-25高二下·山东泰安·月考）（1）已知，计算：； （2）解方程：． （3）解不等式：． 【题型4 组合数的性质及应用】 【例4】（24-25高二下·浙江·期中）（   ） A．100 B．110 C．120 D．130 【变式4.1】（24-25高二下·上海·期中）根据组合数的性质可知，（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 模块三 组合的应用问题 1．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 2．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【题型5 实际问题中的组合计数问题】 【例5】（24-25高二下·广东阳江·期中）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C．30 D．20 【变式5.1】（24-25高二下·新疆·期末）某节目要从三名男演员和六名女演员中选出两人，并安排一人做领唱，另一人做领舞，且领唱者或领舞者至少有一人是女性，则不同的安排方法种数为（    ） A．64 B．66 C．68 D．72 【变式5.2】（24-25高二下·广东广州·期末）在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 【变式5.3】（24-25高二下·河北邢台·期末）某校组织学生参加羽毛球､乒乓球､网球三种球类比赛，该校某班要求每个学生只能报名其中一种球类比赛，且每种球类比赛至少有1人参加．若该班有5名学生报名，其中甲､乙都不参加网球比赛，则该班这5名学生不同的报名方案共有（    ） A．72种 B．62种 C．60种 D．48种 【题型6 代数中的组合计数问题】 【例6】（24-25高二下·江苏南京·期中）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．144 B．168 C．156 D．192 【变式6.1】（24-25高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 【变式6.2】（24-25高二下·广东东莞·月考）从数字1，2，3，4，5，6中取两个数相加，所得的和共有（   ）个不同的偶数 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6.3】（2025·浙江金华·三模）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（    ） A．36 B．54 C．60 D．72 【题型7 几何组合计数问题】 【例7】（24-25高二下·广东汕头·期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 【变式7.1】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）正八边形的对角线的条数是（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 【变式7.2】（24-25高二下·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（2025·宁夏吴忠·一模）在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．141种 B．144种 C．147种 D．149种 【题型8 分组分配问题】 【例8】（24-25高二下·湖南郴州·期末）2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 【变式8.1】（24-25高二下·河北·期末）春节期间，小明要将封面分别写有“福”“禄”“寿”“喜”的四个红包分给甲、乙、丙三位亲友，要求每位亲友至少得到一个红包，且红包全部分配完，若“福”字红包不能分给甲，那么不同的分法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【变式8.2】（24-25高二下·山东·期中）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. (1)若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ (2)若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 【变式8.3】（24-25高二下·湖北宜昌·期中）实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教. (1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？ (2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？ (3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？ 一、单选题 1．（24-25高二下·广东清远·月考）计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 2．（24-25高二下·甘肃定西·期末）从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 3．（24-25高二下·广西来宾·月考）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 4．（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 5．（24-25高二下·江苏南通·月考）甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“你和乙都不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你的名次比甲差点.”从这两个回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（ ） A．54种 B．60种 C．36种 D．120种 6．（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 7．（24-25高二下·新疆喀什·期末）某市科技馆在国庆假期期间需派遣5名志愿者到3个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排1人.则不同的安排方法种数为（　 　） A．120 B．210 C．150 D．180 8．（24-25高二下·江苏南通·月考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 二、多选题 9．（2023高二·全国·专题练习）下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合. 10．（24-25高二下·河北保定·月考）下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 11．（24-25高二下·湖北武汉·期中）某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是（　　） A．每人都只安排到一个社区的不同方法数为625 B．每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480 C．每人都只安排到一个社区，如果社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D．每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去社区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案的种数是126 三、填空题 12．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知，则 . 13．（24-25高二下·广东深圳·期末）将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有 ．（用数字作答） 14．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为 . 四、解答题 15．（24-25高二下·福建泉州·月考）计算下列各式． (1)解方程：. (2)证明： 16．（24-25高二下·湖北·月考）有5个不同的小球，3个不同的盒子． (1)将所有小球都放进盒子，求有多少种放置方法（答案用数字作答）； (2)如果每个盒子至少放一个球，求有多少种放置方法（答案用数字作答）． 17．（24-25高二下·新疆喀什·期末）某课题组有研究人员7人（男4，女3），选4人参加学术会议，求下列情况的选法有多少种不同的选法. (1)至少2女生； (2)至少2男生 (3)至多1女生. 18．（24-25高二下·新疆喀什·期中）（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 19．（24-25高二下·河北衡水·月考）有男运动员名，女运动员名，其中男、女队长各人.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法? (1)至少有名女运动员； (2)队长中至少有人参加； (3)既要有队长，又要有女运动员. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 组合 【苏教版】 模块一 组合 1．组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2．组合概念的理解 (1)组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质. (2)两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 3．排列与组合的联系与区别 (1)联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. (2)区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 【题型1 判断是否为组合问题】 【例1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【解题思路】根据排列和组合的概念可确定选项. 【解答过程】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【变式1.1】（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【解题思路】根据组合的定义分别判断即可. 【解答过程】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 【变式1.2】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【解题思路】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解题思路】根据排列、组合的定义判断即可. 【解答过程】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B. 模块二 组合数 1．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 2．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 【题型2 组合数的计算与证明】 【例2】（24-25高二下·山东东营·期末）（   ） A．25 B．35 C．70 D．1050 【答案】C 【解题思路】运用组合公式进行计算 【解答过程】，故C正确. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二下·福建福州·期末）计算的值是（   ） A．48 B．76 C．148 D．176 【答案】B 【解题思路】根据排列数和组合数的计算公式得到答案. 【解答过程】. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】代入阶乘公式，化简证明. 【解答过程】（1）根据组合数公式，可以得到． （2）根据组合数公式，可以得到 ． 【变式2.3】（2025高三·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】利用组合数公式和性质计算推导即可. 【解答过程】（1） ． （2） ． 【题型3 组合数方程和不等式】 【例3】（25-26高三上·北京·月考）满足条件的正整数的个数是（    ） A．10 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【解题思路】用阶乘表示组合数，化简求出范围. 【解答过程】由可得， 整理得，解得，且， 所以，又，所以. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二下·江西景德镇·期中）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．1或2 D．2或3 【答案】D 【解题思路】由组合数的运算性质即可求解. 【解答过程】由， 可得：或， 解得：或， 验证符合题意，所以的值为2或3， 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）解下列方程或不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用组合数的性质，得到，求得或，结合，即可求得的值. （2）由不等式，求得，结合且，即可得到答案. 【解答过程】（1）解：由组合数的性质，可得，且， 即，则， 整理得，解得或， 又因为，即，所以. （2）解：由不等式， 可得， 化简得，解得， 又因为且，所以， 所以原不等式的解集是. 【变式3.3】（24-25高二下·山东泰安·月考）（1）已知，计算：； （2）解方程：． （3）解不等式：． 【答案】（1）126（2）（3） 【解题思路】（1）由组合数的对称性得，代入所求式子中结合组合数的运算性质即可得解； （2）利用组合数的定义得到关于的方程，解方程并注意的范围即可得解； （3）将排列数不等式转换为关于的不等式组，解不等式组即可得解. 【解答过程】（1）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （2）由，得，所以， 即， 而由，知，，解得，所以原方程的解为． （3）因为， 所以，化简可得， 解得，所以不等式解集为． 【题型4 组合数的性质及应用】 【例4】（24-25高二下·浙江·期中）（   ） A．100 B．110 C．120 D．130 【答案】B 【解题思路】根据组合数的性质公式，可得答案. 【解答过程】 . 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二下·上海·期中）根据组合数的性质可知，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由,利用组合数性质计算即可. 【解答过程】, 故选:C. 【变式4.2】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用组合数的性质可得出的值，再利用组合数公式可求得的值. 【解答过程】由题意可知，因为，则，解得， 因此，. 故选：C. 【变式4.3】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解. 【解答过程】由，得，解得， 所以 . 故选：B. 模块三 组合的应用问题 1．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 2．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【题型5 实际问题中的组合计数问题】 【例5】（24-25高二下·广东阳江·期中）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C．30 D．20 【答案】C 【解题思路】从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，即可求出甲、乙两人都入选的不同选法的种数. 【解答过程】由题意， 甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有， ∴甲乙两人都入选的不同选法有（种）. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二下·新疆·期末）某节目要从三名男演员和六名女演员中选出两人，并安排一人做领唱，另一人做领舞，且领唱者或领舞者至少有一人是女性，则不同的安排方法种数为（    ） A．64 B．66 C．68 D．72 【答案】B 【解题思路】应用间接法求2人至少有一人是女性的不同选法数，再将2人全排列，并应用分步乘法求结果. 【解答过程】从9人任选2人有种，若所选2人都是男性有种，故2人至少有一人是女性有种， 所以不同的安排方法种数为. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二下·广东广州·期末）在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 【答案】B 【解题思路】利用分类计数原理和分步计数原理结合组合列式计算即可. 【解答过程】根据题意，抽出的3件产品中至少有1件是次品包含1件次品、2件正品和2件次品、1件正品两个事件， 当抽取的为1件次品、2件正品时，抽法有种， 当抽取的为2件次品、1件正品时，抽法有种， 所以抽出的3件产品中至少有1件是次品共有种. 故选：B. 【变式5.3】（24-25高二下·河北邢台·期末）某校组织学生参加羽毛球､乒乓球､网球三种球类比赛，该校某班要求每个学生只能报名其中一种球类比赛，且每种球类比赛至少有1人参加．若该班有5名学生报名，其中甲､乙都不参加网球比赛，则该班这5名学生不同的报名方案共有（    ） A．72种 B．62种 C．60种 D．48种 【答案】B 【解题思路】根据网球比赛报名人数1人，2人，3人分情况讨论计算. 【解答过程】这5名学生中，若网球比赛只有1人报名，则报名方案有种； 若网球比赛有2人报名，则报名方案有种； 若网球比赛有3人报名，则报名方案有种． 故该班这5名学生不同的报名方案共有种． 故选：B. 【题型6 代数中的组合计数问题】 【例6】（24-25高二下·江苏南京·期中）由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（    ） A．144 B．168 C．156 D．192 【答案】C 【解题思路】分个位上的数字为0和个位上的数字为2或4两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得结果. 【解答过程】若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 若个位上的数字为2或4，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 故可以组成60＋96＝156个符合条件的数． 故选：C． 【变式6.1】（24-25高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 【答案】A 【解题思路】分最高位是5和最高位是4两种情况，结合排列组合知识求解． 【解答过程】若最高位是5，则个位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有种， 若最高位是4，则个位可以是0或2，其它位任意排列，共有种， 所以比400000大的偶数的排列方法一共有种． 故选：A． 【变式6.2】（24-25高二下·广东东莞·月考）从数字1，2，3，4，5，6中取两个数相加，所得的和共有（   ）个不同的偶数 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】根据所取两个数的特征，利用分类和分步计数原理，即可求解. 【解答过程】六个数中，1，3，5是奇数，2，4，6是偶数，两个数相加，所得和为偶数， 则所取得两个数都为偶数，或者两个数都为奇数，则和为偶数共有个， 其中，， 综上所知，所得的和共有4个不同的偶数. 故选：B. 【变式6.3】（2025·浙江金华·三模）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（    ） A．36 B．54 C．60 D．72 【答案】D 【解题思路】利用分步计数原理与插空法即可求解. 【解答过程】根据题意，完成这件事可分三部： 第一步，选数字，有种； 第二步，将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种； 第三步，安排这三个数字在三个位置上，且相邻数位上的数字不同， 即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字取插空，则有种排序方法； 由分步计数原理可得这样的四位数共有个. 故选：D. 【题型7 几何组合计数问题】 【例7】（24-25高二下·广东汕头·期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 【答案】D 【解题思路】应用组合数求从8个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，即可得. 【解答过程】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面）， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）正八边形的对角线的条数是（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 【答案】B 【解题思路】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，利用组合数计算可得得到线段的数目，再排除其中正八边形的8条边即可得对角线条数． 【解答过程】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，则可以得到条线段，其中包括了正八边形的8条边，则正八边形对角线的条数为条. 故选：B． 【变式7.2】（24-25高二下·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合间接法可得结果. 【解答过程】在正六边形中，为其中心，如下图所示： 从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 所以，能构成的三角形的个数为个， 其中，构成的等边三角形分别为、、、、、 、、，共个， 所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个. 故选：A. 【变式7.3】（2025·宁夏吴忠·一模）在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．141种 B．144种 C．147种 D．149种 【答案】A 【解题思路】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【解答过程】如下图，共有10个点任选4个有种， 每个侧面的6个点都共面，任选4个有种，共4个面，则有60种共面情况， 如分别构成一个平面，有3种， 如分别构成一个平面，有6种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取4个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：A. 【题型8 分组分配问题】 【例8】（24-25高二下·湖南郴州·期末）2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（   ） A．120 B．150 C．180 D．300 【答案】B 【解题思路】根据题意可知有，两种分配方案，进而求解即可. 【解答过程】由题意，按分配，方案的种数为, 按分配，方案的种数为, 所以不同的志愿者分配方案的种数是. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高二下·河北·期末）春节期间，小明要将封面分别写有“福”“禄”“寿”“喜”的四个红包分给甲、乙、丙三位亲友，要求每位亲友至少得到一个红包，且红包全部分配完，若“福”字红包不能分给甲，那么不同的分法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】B 【解题思路】分成两种情况：甲分得除写有“福”的另外两个红包和甲分得除写有“福”的另外一个红包计算即可. 【解答过程】按照题意，可以分为两类. 第一类，甲分得除写有“福”的另外两个红包，共有种分法； 第二类，甲分得除写有“福”的另外一个红包，共有种分法， 所以不同的分法共有种. 故选：B. 【变式8.2】（24-25高二下·山东·期中）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. (1)若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ (2)若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）相同元素分配问题用“隔板法”，从个元素中间的个空中插入块板隔成份即可，利用组合数公式计算可得； （2）分为，两种情况，先分组，再分配，部分平均分组需除以组数（平均的组）的全排列. 【解答过程】（1）相同元素分配问题用“隔板法”， 只需从个元素中间的个空中插入块板隔成份即可， 所以共有种不同的分配方法； （2）将本不同的数分成份，每个班至少本，可分为，两种情况； 若为，则有种不同的分配方法； 若为，则有种不同的分配方法； 综上可得一共有种不同的分配方法. 【变式8.3】（24-25高二下·湖北宜昌·期中）实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教. (1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？ (2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？ (3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？ 【答案】(1)60 (2)90 (3)540 【解题思路】（1）按照分步乘法计数原理计算可得结果； （2）按照分组分配的方式计算可得结果； （3）可分为三类，在每一类中再利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【解答过程】（1）6名教师选1名到甲学校任教有种方法， 从剩余的5名教师中选2名到乙学校有种方法， 剩余3名教师都分配到丙学校去任教有种方法， 则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有种分配方法； （2）6名教师按，，分为三个组，有种方法， 则三所学校中一校4人，另外两校各1人共有种分配方法. （3）由题可得教师的分配方案可以是：①，，；②1，1，4；③2，2，2， ①6名教师按，，分为三个组有种方法， 则6人分配到三所学校共有种分配方法； ②6名教师按，，分为三个组有种分法， 则6人分配到三所学校共有种分配方法； ③6名教师平均分配到3所学校有种方法 则6人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法. 一、单选题 1．（24-25高二下·广东清远·月考）计算（    ） A．252 B．126 C．84 D．63 【答案】B 【解题思路】根据排列数和组合数运算法则计算即可 【解答过程】． 故选：B． 2．（24-25高二下·甘肃定西·期末）从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【解题思路】利用直接法求满足条件的组合个数. 【解答过程】满足条件的选法有：种. 故选：B. 3．（24-25高二下·广西来宾·月考）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【答案】B 【解题思路】根据组合数性质列出关于x的方程和不等式组求出，再根据组合数定义即可求解. 【解答过程】由，得或，且， 解得或， 当时，， 当时，. 故选：B． 4．（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【解题思路】先将论文分成3组，再分配给专家. 【解答过程】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D. 5．（24-25高二下·江苏南通·月考）甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“你和乙都不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你的名次比甲差点.”从这两个回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（ ） A．54种 B．60种 C．36种 D．120种 【答案】C 【解题思路】根据排列组合，结合分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】由于甲乙都不是最差的，且乙的名次比甲差，所以甲乙均在前4名中，且甲在乙的前面， 故从前4名中选择两个名次安排甲乙的名次，共有种方法，接下来将剩下3个人全排列得种方法， 故总的安排方法有. 故选：C. 6．（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【答案】B 【解题思路】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【解答过程】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 7．（24-25高二下·新疆喀什·期末）某市科技馆在国庆假期期间需派遣5名志愿者到3个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排1人.则不同的安排方法种数为（　 　） A．120 B．210 C．150 D．180 【答案】C 【解题思路】根据题意，分为两类情况：按照进行分配和按照进行分配，利用排列组合数计算后，运用分类加法计数原理即得. 【解答过程】因每个展区至少安排1人，故有两类情况： ① 将5名志愿者按照进行分配，有种方法； ② 将5名志愿者按照进行分配，有种方法. 由分类加法计数原理，不同的安排方法种数为. 故选：C. 8．（24-25高二下·江苏南通·月考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 【答案】B 【解题思路】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解. 【解答过程】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列， 所以不同的跟岗分配方案有种； 若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生， 所以不同的跟岗分配方案有种； 综上所述：不同的跟岗分配方案共有种. 故选：B. 二、多选题 9．（2023高二·全国·专题练习）下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合. 【答案】BCD 【解题思路】抓住组合问题的核心是 “只选不排”（不考虑选取元素的顺序），排列问题则 “既选又排”（需考虑元素顺序），依次分析选项即可. 【解答过程】选项A，组成三位数时，数字顺序会影响结果（如 123 和 321 是不同的数），属于排列问题； 选项 B，选 5 人组成篮球队，只需确定人员，无需考虑队员的顺序，属于组合问题； 选项 C，抽样调查只需确定 2 人，无需考虑这 2 人的顺序，属于组合问题； 选项 D，集合中的元素具有无序性，选 2 个数组成集合不考虑顺序，属于组合问题； 故选：BCD. 10．（24-25高二下·河北保定·月考）下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AB 【解题思路】利用排列数与组合数公式依次计算即可判断各选项. 【解答过程】对于选项A，显然 ，故 正确； 对于选项B，因为 ，所以 或 ， 计算可得 (舍去) 或 ，故 正确； 对于选项C，由 ，计算可得 ， 所以 (舍) 或 或 ，故 不正确； 对于选项D， ，故 D 不正确. 故选：AB. 11．（24-25高二下·湖北武汉·期中）某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是（　　） A．每人都只安排到一个社区的不同方法数为625 B．每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480 C．每人都只安排到一个社区，如果社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D．每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去社区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案的种数是126 【答案】CD 【解题思路】根据题意，利用排列数与组合数的计算公式，结合分类、分步计数原理，逐项分析计算，即可求解. 【解答过程】对于A中，若每人都只安排到一个社区， 由分步计数原理，可得不同方法数为种，所以A错误； 对于B中，若每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人， 先将5名老师分为4组，有种，则不同的安排方法数为种，所以B错误； 对于C中，每人都只安排到一个社区，如果社区不安排，其余三个社区至少安排一人， 先将5名老师分成3组，人数可为或， 若人数为时，则有种不同的安排方法； 若人数为时，则有种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有种不同的安排方法，所以C正确； 对于D中，每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去社区， 若社区安排两人，则有种不同的安排方法； 若社区只安排一人，则有种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有种不同的安排方法，所以D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知，则 . 【答案】2或7 【解题思路】根据组合数的性质来求解的值. 【解答过程】由组合数的性质， 则有或， 解得或. 故答案为：2或7. 13．（24-25高二下·广东深圳·期末）将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有 ．（用数字作答） 【答案】9 【解题思路】根据给定条件，利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式计算. 【解答过程】依题意，排数字0有种方法；排数字2有种方法；排数字6有1种方法， 所以组成的不同四位数的个数是. 故答案为：9. 14．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为 . 【答案】1560 【解题思路】分为按2，2，1，1和按3，1，1，1分发，再利用排列组合数计算即可. 【解答过程】若书本数按2，2，1，1分发，则有种不同的分配方法； 若书本数按3，1，1，1分发，则有种不同的分配方法. 故共有1560种不同的分配方法. 故答案为：1560. 四、解答题 15．（24-25高二下·福建泉州·月考）计算下列各式． (1)解方程：. (2)证明： 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据组合数的计算性质即可求解， （2）根据组合数的阶乘形式的公式即可化简求解. 【解答过程】（1）因为，由可得或，解得或. （2）证明： 16．（24-25高二下·湖北·月考）有5个不同的小球，3个不同的盒子． (1)将所有小球都放进盒子，求有多少种放置方法（答案用数字作答）； (2)如果每个盒子至少放一个球，求有多少种放置方法（答案用数字作答）． 【答案】(1)243 (2)150 【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理可求总的方法数； （2）将5个小球按3，1，1分组或2，2，1分为3个组，再放入3个盒子中，计算即可. 【解答过程】（1）每一个小球放入盒子中均有3种不同的放法， 故所有小球都放进盒子，共有种放置方法； （2）将5个小球按3，1，1分组或2，2，1分为3个组，再放入3个盒子中， 若按3，1，1分组再放入3个盒子中有种方法， 若按2，2，1分组再放入3个盒子中有， 综上所述：共有种不同的方法. 17．（24-25高二下·新疆喀什·期末）某课题组有研究人员7人（男4，女3），选4人参加学术会议，求下列情况的选法有多少种不同的选法. (1)至少2女生； (2)至少2男生 (3)至多1女生. 【答案】(1)22 (2)31 (3)13 【解题思路】（1）分2男2女，3女1男两种情况讨论即可； （2）分2男2女，3男1女，4男0女三种情况讨论即可； （3）分4个男生，1女3男两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）直接法： 2男2女：；3女1男：， 故至少2女生共种不同的选法. （2）直接法：2男2女：；3男1女：；4男0女：， 故至少2男生共有种不同的选法. （3）4个男生：；1女3男：， 故至多1女生共种不同的选法. 18．（24-25高二下·新疆喀什·期中）（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 【答案】（1）15；（2）90；（3）1560 【解题思路】（1）根据给定条件，利用部分平均分组列式计算. （2）利用分步乘法计数原理及组合计数问题列式计算. （3）按分组，再分配给4个人即可. 【解答过程】（1）无序部分均匀分组问题：共有（种）分法； （2）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （3）第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 由加法原理，知共有480+1080=1560种不同分法. 19．（24-25高二下·河北衡水·月考）有男运动员名，女运动员名，其中男、女队长各人.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法? (1)至少有名女运动员； (2)队长中至少有人参加； (3)既要有队长，又要有女运动员. 【答案】(1)246 (2)196 (3)191 【解题思路】（1）解法一：结合组合数的应用，根据分类加法计数原理求解； 解法二：结合组合数的应用，利用间接法求解即可； （2）解法一：结合组合数的应用，根据分类加法计数原理求解； 解法二：结合组合数的应用，利用间接法求解即可； （3）结合组合数的应用，按照有女队长和不选女队长两种情况分类讨论，再根据分类加法计数原理求解. 【解答过程】（1）解法一：至少有名女运动员包括以下几种情况: 女男， 女男， 女男， 女男. 由分类加法计数原理可得共有种选法. 解法二：“至少有名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”， 可用间接法求解.从人中任选人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种. 故“至少有名女运动员”的选法有 （种）. （2）解法一：可分类求解:“只有男队长”的选法有种；“只有女队长”的选法有种； “男、女队长都入选”的选法有种， 故共有种选法. 解法二：间接法:从人中任选人，有种选法，其中不选队长的方法有种， 故“至少有1名队长”的选法有 （种）. （3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法； 当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种， 因此，不选女队长时的选法共有种. 故既有队长又有女运动员的选法共有 （种）. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $