精品解析：上海市黄浦区2025-2026学年高二上学期期末数学试题

上海市黄浦区2025-2026学年高二上学期期末数学试题 2026.01 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题. 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1－6题每题3分，第7－12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果. 1. 半径为1的球的表面积为________. 2. 请写出公理2及其三个推论中的一条：______确定一个平面． 3. 已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率______________． 4. 某个随机试验，其出现两个等可能的结果，这个随机试验可以是______． 5. 若圆柱的底面半径与高均为3，则其侧面积为____________. 6. 某校高一年级共有500名学生，学校计划用随机数法抽取30名学生参加一项问卷调查.将500名学生按的顺序进行编号，用下列随机数表进行抽取，从第2行第4个数字开始，按从左到右、从上到下的顺序读取，依次选取符合条件的编号，第2个被选中学生的编号为____________. 7. 在球中，一条直径AB垂直于小圆所在的平面，垂足为.若，则小圆的半径为____________. 8. 一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________. 9. 已知一几何体有六个顶点，它们是某个正方体六个面的中心.若该几何体的体积为36，则这个正方体的棱长为____________. 10. 已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 11. 如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，点在底面的射影为BC的中点.若，点到AC的距离为，则该三棱柱的高____________ . 12. 在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13－14题每题3分，第15－16题每题4分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列随机试验的样本空间为无限集的是（ ）. A. 掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B. 从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C. 连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D. 做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 14. 以下是“我国2019-2024年居民人均服务性消费支出（单位：元）统计图”.关于2020-2024年的数据，下列说法错误的是（ ）. A. 2021年是这五年中居民人均服务性消费支出增长率最高的年份 B. 2020年和2022年居民人均服务性消费支出增长率为负，其余年份为正 C. 2024年居民人均服务性消费支出的增长率高于2023年 D. 居民人均服务性消费支出增长率有增有减 15. 已知直线，平面平面，那么“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（ ）. A. ①，②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①，②均错误 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤. 17. 某校从高二年级学生中随机抽取了30名女生，测量她们的身高（单位：cm），其分布如茎叶图所示（百位数和十位数部分作为“茎”，个位数部分作为“叶”）. 计算这组数据的第80百分位数；解释第80百分位数在此实际问题中的具体含义. 18. 掷质地均匀的一颗骰子，观察朝上的点数.表示事件“点数为偶数”，表示事件“点数为2或3”，表示事件“点数大于3”.分别验证事件与事件、事件与事件是否独立，请说明理由. 19. 采购经理指数（PMI）是通过对企业采购经理的调查结果统计汇总、编制而成的月度综合性指数，涵盖企业采购、生产、流通等各个环节，能够及时反映一个国家或地区经济运行的景气状况，是国际上通行的宏观经济监测指标之一.PMI指标体系包括制造业和非制造业领域，分别反映制造业和非制造业经济总体变化趋势，以及企业生产经营活动多个侧面的运行情况.以下是我国某时期制造业PMI（A组）和非制造业商务活动指数（B组）两组（每组13个）指数的统计数据（单位：％）： 时间 24年9月 24年10月 24年11月 24年12月 25年1月 25年2月 25年3月 25年4月 25年5月 25年6月 25年7月 25年8月 25年9月 A组 49.8 50.1 50.3 50.1 49.1 50.2 50.5 49.0 49.5 49.7 49.3 49.4 49.8 B组 50.0 50.2 50.0 52.2 50.2 50.4 50.8 50.4 50.3 50.5 50.1 50.3 50.0 （1）分别求上述A、B两组数据的极差； （2）分别求上述A、B两组数据的平均数和标准差.（平均数结果精确到，标准差结果精确到0.01） 20. 如图，已知正六棱柱. （1）求证：平面； （2）设，某同学研究该正六棱柱六个侧面上12条面对角线之间的位置关系，发现当时，与异面且垂直.问：是否还存在不等于1的的值，使得与其余五个侧面上至少一条面对角线异面且垂直？若存在，求出所有满足条件的值，并在此条件下直接写出与异面且不垂直的面对角线与所成角的大小的所有不同值；若不存在，请说明理由. 21. 如图，为过圆柱轴的截面，其中为下底面直径，为母线，为下底面圆周上两点（不与重合），且与的交点为. （1）求证：平面； （2）设为母线AD的中点，，当二面角为钝二面角时.求的取值范围及此时二面角的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市黄浦区2025-2026学年高二上学期期末数学试题 2026.01 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2.答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题. 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1－6题每题3分，第7－12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果. 1. 半径为1的球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积公式即可得到答案. 【详解】, , ， 故答案为: 【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题. 2. 请写出公理2及其三个推论中的一条：______确定一个平面． 【答案】故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据公理的内容即可求解. 【详解】公理2：不在同一直线上的三个点确定一个平面。 推论1：经过一条直线以及直线外一点确定一个平面， 推论2：经过两条相交直线确定一个平面， 推论3：两条平行线确定一个平面. 故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 3. 已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对立事件的知识求得正确答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 4. 某个随机试验，其出现两个等可能的结果，这个随机试验可以是______． 【答案】伯努利试验 【解析】 【详解】伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生. 5. 若圆柱的底面半径与高均为3，则其侧面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径与高均为3，所以圆柱的侧面积. 故答案为：. 6. 某校高一年级共有500名学生，学校计划用随机数法抽取30名学生参加一项问卷调查.将500名学生按的顺序进行编号，用下列随机数表进行抽取，从第2行第4个数字开始，按从左到右、从上到下的顺序读取，依次选取符合条件的编号，第2个被选中学生的编号为____________. 【答案】498 【解析】 【分析】根据随机数表的用法依次得到学生编号即可. 【详解】从第2行第4个数字开始，读取的数字编号依次为：692,350,498,221，… 其中692大于499，跳过. 所以第二个被选学生的编号为498. 故答案为：498 7. 在球中，一条直径AB垂直于小圆所在的平面，垂足为.若，则小圆的半径为____________. 【答案】4 【解析】 【分析】作球的大圆截面，根据圆的有关性质可求截面圆的半径. 【详解】经过球心，截面圆心作球的截面，如图： 球的直径为，所以球的半径为. 在中，，，所以. 所以小圆的半径为4. 故答案为：4 8. 一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________. 【答案】0.9## 【解析】 【分析】利用概率加法公式直接求解. 【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3， ∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：. 故答案为：0.9. 9. 已知一几何体有六个顶点，它们是某个正方体六个面的中心.若该几何体的体积为36，则这个正方体的棱长为____________. 【答案】6 【解析】 【分析】依题意作出图形，根据正方体的对称性，可得该几何体是由两个全等的正四棱锥组成，设正方体的棱长为，用表示出正四棱锥的相关量，利用体积公式计算即得. 【详解】如图，该几何体是由两个四棱锥组成的八面体，其中分别是正方体的六个面的中心， 根据正方体的对称性，可知该几何体是由两个全等的正四棱锥组成，故其体积为. 设正方体的棱长为，取边的中点，连接，易得，且， 故，即正方形的边长为，正四棱锥的高长为， 依题意，解得. 故答案为：6. 10. 已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作底面圆，连接，根据线面角的概念可知即为直线与圆锥底面所成角的平面角，结合已知条件即可得解. 【详解】过点作底面圆，连接， 设半径为，半径为，则，解得， 所以即为直线与圆锥底面所成角的平面角， 由题意可知，，即，解得， 又因为， 其中，当且仅当共线时等号成立， 所以， 所以线段长度的取值范围是， 故答案为： 11. 如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，点在底面的射影为BC的中点.若，点到AC的距离为，则该三棱柱的高____________ . 【答案】 【解析】 【分析】设 ，，利用正三角形性质得出，应用勾股定理计算，在 中，利用勾股定理解方程即可求解的长度， 【详解】设 ，，因为是正三角形中的中点，所以 ， 已知 ，在 中， ， 所以 ，即 . 因为 底面 ，平面， 所以 ，过 作 于 ，连接 ， 因为，平面， 所以平面，平面， 所以，所以就是点到的距离， 已知，在正三角形 中， 是中点，设边长为， 则 ，是直角三角形，， 所以 ． 又因为 ，所以 ，则 . 在 中， ， 已知 ，代入可得 ， 解方程得 ，所以 . 所以 . 故答案为：. 12. 在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设建立空间直角坐标系，设出点的坐标，结合为菱形和条件可得到，；由此得到，然后求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式得到关于的关系式，最后根据的范围即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则， 设，则； 因为为菱形，由，得； 由，得，所以或； 当时，由知，与条件矛盾，所以，此时，； 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，所以； 又，所以点到平面的距离为； 由且，得； 所以，所以，所以， 所以，即点到平面的距离的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13－14题每题3分，第15－16题每题4分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列随机试验的样本空间为无限集的是（ ）. A. 掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B. 从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C. 连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D. 做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中的随机试验，分析其样本空间的基本事件组成即可判断. 【详解】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意； 对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意； 对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意； 对于D，设这道5选2的多选题的5个备选答案分别为,则选择的答案组合的样本空间为, 故是有限集，即D不符合题意. 故选：C. 14. 以下是“我国2019-2024年居民人均服务性消费支出（单位：元）统计图”.关于2020-2024年的数据，下列说法错误的是（ ）. A. 2021年是这五年中居民人均服务性消费支出增长率最高的年份 B. 2020年和2022年居民人均服务性消费支出增长率为负，其余年份为正 C. 2024年居民人均服务性消费支出的增长率高于2023年 D. 居民人均服务性消费支出增长率有增有减 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的柱状图，求出2020-2024各年居民人均服务性消费支出增长率，再逐项判断即得. 【详解】由柱状图得， 2020年居民人均服务性消费支出增长率， 2021年居民人均服务性消费支出增长率， 2022年居民人均服务性消费支出增长率， 2023年居民人均服务性消费支出增长率， 2024年居民人均服务性消费支出增长率， 对于A，2021年是这五年中居民人均服务性消费支出增长率最高的年份，A正确； 对于B，2020年和2022年居民人均服务性消费支出增长率为负，其余年份为正，B正确； 对于C，2024年居民人均服务性消费支出的增长率低于2023年，C错误； 对于D，居民人均服务性消费支出增长率有增有减，D正确. 故选：C 15. 已知直线，平面平面，那么“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由题意，若平面平面， 当时或， 当时与的关系可能是在平面内、平行或者相交， 所以“”是“”的既非充分又非必要条件， 故选：D 16. 如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（ ）. A. ①，②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①，②均错误 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断①②即可. 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由为线段上除端点外的点， 设，则点， 对于①，， 由 ，得，则， 因此对任意的，总存在点，使得，①正确； 对于②，， 设平面，平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由，得，即平面与平面不垂直， 因此对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角，②正确. 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤. 17. 某校从高二年级学生中随机抽取了30名女生，测量她们的身高（单位：cm），其分布如茎叶图所示（百位数和十位数部分作为“茎”，个位数部分作为“叶”）. 计算这组数据的第80百分位数；解释第80百分位数在此实际问题中的具体含义. 【答案】,说明高二年级抽取的30名女生中约有的身高不超过 cm，约的女生身高超过 cm 【解析】 【分析】根据茎叶图得出从小到大的数据，利用百分位数定义直接求解即可. 【详解】样本数据共个，则， 则这组数据的第80百分位数为， 说明高二年级抽取的30名女生中约有的身高不超过 cm，约的女生身高超过 cm. 18. 掷质地均匀的一颗骰子，观察朝上的点数.表示事件“点数为偶数”，表示事件“点数为2或3”，表示事件“点数大于3”.分别验证事件与事件、事件与事件是否独立，请说明理由. 【答案】 掷质地均匀的一颗骰子，样本空间，共6个基本事件，且每个基本事件发生的概率相等，均为. 事件：“点数为偶数”，则，包含3个基本事件. 事件：“点数为2或3”，则，包含2个基本事件. 事件：“点数大于3”，则，包含3个基本事件. 根据古典概型概率公式可得，，，. 表示事件与事件同时发生，即“点数为偶数且为2或3”，所以，则. 又，所以事件与事件独立. 表示事件与事件同时发生，即“点数为偶数且大于3”，所以，则. 又，所以事件与事件不独立. 综上，事件与事件独立，事件与事件不独立. 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式计算出各事件的概率，再根据独立事件的定义判断即可. 【详解】略 19. 采购经理指数（PMI）是通过对企业采购经理的调查结果统计汇总、编制而成的月度综合性指数，涵盖企业采购、生产、流通等各个环节，能够及时反映一个国家或地区经济运行的景气状况，是国际上通行的宏观经济监测指标之一.PMI指标体系包括制造业和非制造业领域，分别反映制造业和非制造业经济总体变化趋势，以及企业生产经营活动多个侧面的运行情况.以下是我国某时期制造业PMI（A组）和非制造业商务活动指数（B组）两组（每组13个）指数的统计数据（单位：％）： 时间 24年9月 24年10月 24年11月 24年12月 25年1月 25年2月 25年3月 25年4月 25年5月 25年6月 25年7月 25年8月 25年9月 A组 49.8 50.1 50.3 50.1 49.1 50.2 50.5 49.0 49.5 49.7 49.3 49.4 49.8 B组 50.0 50.2 50.0 52.2 50.2 50.4 50.8 50.4 50.3 50.5 50.1 50.3 50.0 （1）分别求上述A、B两组数据的极差； （2）分别求上述A、B两组数据的平均数和标准差.（平均数结果精确到，标准差结果精确到0.01） 【答案】（1）A组、B组的极差为：，； （2）A组：平均数为％，标准差为； B组：平均数为％，标准差为； 【解析】 【分析】（1）找出A，B两组的最大值与最小值，得出两组极差； （2）将数据代入平均数和标准差的公式，即可求解； 【小问1详解】 A组极差：； B组极差：； 故A组、B组的极差为：，； 【小问2详解】 A组平均数：=％， A组标准差：； B组平均数：=％， B组标准差：； 综上， A组：平均数为％，标准差为； B组：平均数为％，标准差为； 20. 如图，已知正六棱柱. （1）求证：平面； （2）设，某同学研究该正六棱柱六个侧面上12条面对角线之间的位置关系，发现当时，与异面且垂直.问：是否还存在不等于1的的值，使得与其余五个侧面上至少一条面对角线异面且垂直？若存在，求出所有满足条件的值，并在此条件下直接写出与异面且不垂直的面对角线与所成角的大小的所有不同值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在正六棱柱中，，， 因为，， 且面，面； 所以面面； 因为面，所以面； （2）存在，当时，与异面且垂直； 与异面且不垂直的面对角线，所成角分别为，. 【解析】 【分析】（1）先判断面面平行，利用面面平行去证明线面平行； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积公式探究垂直时的大小，再求出与其余异面且不垂直的面对角线所成角的大小即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以垂直方向为轴，以为轴，以为轴， 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，；，，， ，，；则， 在另外五个侧面的面对角线中，与异面的直线的方向向量如下， 为，， ，，； 若与以上面对角线异面且垂直， 令，无实数解；令，则， 令，则（舍去），令，则， 令，无实数解；当时，与异面且垂直； 又因为，，，； 所以，， ，由于异面直线夹角范围为, 则与异面且不垂直的面对角线，所成角分别为，； 综上，当时，与异面且垂直； 与异面且不垂直的面对角线，所成角分别为，. 21. 如图，为过圆柱轴的截面，其中为下底面直径，为母线，为下底面圆周上两点（不与重合），且与的交点为. （1）求证：平面； （2）设为母线AD的中点，，当二面角为钝二面角时.求的取值范围及此时二面角的最大值. 【答案】（1） 由题意可知底面， 又底面，所以， 因为平面， 所以平面； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用圆柱的特征及线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）利用二面角的定义先确定其一个平面角，再根据勾股定理及余弦定理计算夹角，得出参数范围，将二面角的平面角化为其补角的正切，利用正切的和角公式及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，易知M为的中点，平面， 由上可知， 则即二面角的一个平面角，显然， 设，易知， 由余弦定理可知， 即，解不等式可得， 易知， 当二面角为钝二面角时，， 所以 ， 当且仅当，即时取得等号， 则，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $