2026年高二数学寒假作业四 直线和圆（天津适用）

高二数学寒假作业 寒假作业四---直线和圆一 知识梳理 1. 直线的倾斜角与斜率 （1） 已知倾斜角求斜率 （2） 斜率公式 （3） 已知直线方向向量求斜率 2. 两条直线平行和垂直的条件 3. 直线方程的五种形式 4. 距离公式：点与点，点与线，线与线等 5. 对称与最值问题 基础巩固 一、单选题 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的倾斜角、求直线的方向向量（平面中） 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：A． 2．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果. 【详解】由方程得直线斜率， ∵，∴. 故选：C. 3．已知直线，，且，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】A 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由知，，解得. 故选：A． 4．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则当时，， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 5．若直线的倾斜角的大小为，则实数=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线斜率的定义 【分析】先根据直线倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，再根据直线方程求出的值. 【详解】因为已知直线的倾斜角为， 所以根据直线倾斜角与斜率的关系，可得直线的斜率. 对直线方程进行变形得. 因为直线的斜率，且直线斜率为， 所以，即. 所以实数的值为. 故选：C. 6．入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线两点式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】先求出点的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可. 【详解】因为关于y轴的对称点， 所以直线 因此入射光线l所在直线的方程为， 故选：C． 7．图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 8．已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、直线过定点问题 【分析】由直线所过定点P和两点间斜率公式求出即可由斜率定义数形结合求解. 【详解】直线过定点， 所以，如图，    由图可知实数k的取值范围是. 故选：B 二、填空题 9．点到直线的距离是 ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离公式计算求解． 【详解】设点到直线的距离为，则 ． 故答案为：． 10．直线与直线之间的距离为 . 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】将直线转化为，可知， 由平行线间的距离公式，可得与之间的距离为. 故答案为：. 11．过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为 【答案】 【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标 【分析】解方程组求出已知两条直线的交点坐标，然后根据所求直线与平行的条件，设出具有相同斜率的直线方程，将交点坐标代入即可. 【详解】由，得．所以交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， 则所求直线方程为. 故答案为：. 12．直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为 ． 【答案】或 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】根据给定条件，按截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 三、解答题 13．已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【详解】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 素养提升 1．已知直线l：，则点到直线的最大距离为（   ） A．5 B．2 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】直线过定点问题 【分析】求出直线恒过的定点，当直线和垂直时，点到直线的最大距离，利用两点间距离公式求出，这个的值就是点到直线的最大距离. 【详解】直线，整理得到，则有， 解得，则直线恒过定点， 当直线和垂直时，点到直线的最大距离， 且最大距离为，故选项B正确. 故选：B. 2．关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是.故选：C 3.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 4.已知点，点为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，将问题转化为的最小值即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图，    所以. 故答案为：. 5.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【分析】根据点关于直线的对称，进而根据两点距离公式即可求解. 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学寒假作业 寒假作业四---直线和圆一 知识梳理 1. 直线的倾斜角与斜率 （1） 已知倾斜角求斜率 （2） 斜率公式 （3） 已知直线方向向量求斜率 2. 两条直线平行和垂直的条件 3. 直线方程的五种形式 4. 距离公式：点与点，点与线，线与线等 5. 对称与最值问题 基础巩固 一、单选题 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线，，且，则（    ） A． B． C．1或 D．或 4．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．若直线的倾斜角的大小为，则实数=（    ） A． B． C． D． 6．入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ） A． B． C． D． 8．已知点，，直线与线段AB总有交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．点到直线的距离是 ． 10．直线与直线之间的距离为 . 11．过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为 12．直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为 ． 三、解答题 13．已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 素养提升 1．已知直线l：，则点到直线的最大距离为（   ） A．5 B．2 C．8 D．10 2．关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 3.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 4.已知点，点为直线上的动点，则的最小值为 . 5.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $