精品解析：浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价数学试题

2025学年第一学期普通高中高三期末质量评价题库 数学 2026.1 本题库共4页，19小题．建议做题时间120分钟． 答题须知： 1．答题前，务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、题库答题卡号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在题库上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为（ ） A. 112.5 B. 115 C. 142.5 D. 145 【答案】B 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解. 【详解】将数据从小到大排列：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150， 因为，故从小到大，选择第3个数作为这组数据的第25百分位数，即115. 故选：B 2. 已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题得到是直线的一个方向向量，也是直线的方向向量，所以向量与共线，利用向量共线坐标成比例列方程可求出的值. 【详解】已知，，所以是直线的一个方向向量； 因为向量也是直线的方向向量，所以它与共线， 所以，解得， 故选：A. 3. 已知是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义计算即可. 【详解】要使有意义，则，即，解得或. 所以函数的定义域为，关于原点对称. . 因为，所以， 即，也即， 因为，所以. 故选：C. 4. 已知，为实数，则“与都是无理数”是“是无理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过取特殊的值，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】取，显然有与都是无理数，但是有理数， 即“与都是无理数”推不出“是无理数”， 取，则，显然有是无理数，但不满足与都是无理数， 即“是无理数”推不出“与都是无理数”， 所以“与都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据导数的运算可得，代入可得，即可求解. 【详解】令，则， 所以，所以. 故选：D. 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等比数列，则椭圆离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用椭圆的定义及基本不等式得到，即可求解. 【详解】设，则，又，且，，成等比数列， 则，得到，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：B. 7. 若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出的值. 【详解】因为 ， ， 所以， 即，解得， 故. 故选：B. 8. 已知正三棱台，，且侧面与底面的夹角的余弦值为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取正中心，记，，交点为，求解的长度，记与面的夹角为，利用等面积法求，由求解，解三角形求结论. 【详解】如图，取正中心，的中点为， 记，，交于点，作于， 则面，，，， 所以为侧面与底面的夹角， 可知， 设，，， 则，， 作于， 因为，，平面，， 所以平面，平面，故， 又，平面， 所以面，记与面的夹角为，如图， ，解得， 因为，， 所以，所以，所以. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题可得，，，,,故A正确；因为 ,则由条件概率得到 ，故B正确；因为,所以由条件概率得到，所以，故C错误； 计算得到,所以D正确. 【详解】由题可得总样本数为 12（编号 1-12）， 事件为“选中奇数编号目标”：，共6个，则， 事件为“选中编号小于7的目标”，共6个，则， 事件为“选中1，2，4，8号目标” ，共4个，则; 事件AB 为“奇数且编号小于 7”，即 ，共 3 个，, ,所以，故A正确； 事件AC为“编号为1”，共1个，所以,则，故B正确； 事件 为“编号为3,5,7,9,11”，共5个，所以,所以; 所以，故C错误； 事件为“编号为1”，共1个，所以,; 所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC，利用线面平行的判定定理和性质即可证明，对于BD作图即可观察判断. 【详解】如下图， 因为，，，所以， 又，，所以，故，故A、C正确； 如下图， 若，不一定垂直，故B错误； 若，不一定垂直，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依次成等比数列，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的性质结合函数的性质判断即可. 【详解】设函数图象上的三个不同点为，，. 因为纵坐标依次成等比数列，所以. 选项A：，，. . 当，即（且）时， ， 满足，故A正确. 选项B：，，. ， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以，所以，故B错误. 选项C：，，. ， ， ，令，则， 即， 整理得， 又，所以，即. 所以对任意实数，均能取到，满足，故C正确. 选项D：定义域为.，，. ，. 令. 只需证，，函数存在零点即可，取， 当时，, 当时，，， ，故， 所以当时，， 由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点， 即存在不同的三点满足条件，故D正确. 故选：ACD. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，，其中为虚数单位，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，运用复数三角形式乘法法则即可求解． 【详解】由复数三角形式乘法法则得到:. 故答案为：. 13. 函数的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先对函数分两段讨论求出各段上的最小值，两个值比较最终得到函数的最小值.当时，， 在上单调递减，在第一段上，最小值在处取得，；当时，，时单调递减；时单调递增；因此，是第二段的最小值点，计算得，所以函数的最小值为1. 【详解】函数的定义域为 ； 令，解得 ， 当时，，求导得到， 所以函数在上单调递减， 在第一段上，最小值在处取得，. 当时，，求导得到， 令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此，是第二段的最小值点，计算得； 因为，所以函数的最小值为1. 故答案为：1. 14. 已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理可得，根据三角形内角和即可确定的取值范围，设，由正弦定理可得，，再计算即可求解． 【详解】如图，不妨取在优弧上，在劣弧上，外接圆的半径， ，即， 解得， ， 为的角平分线， ， ， ，即； 设， 则， ， ， ， ， ，， 故当，即时，取得最小值． 故答案为：；． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． （1）求张某猜对两道谜语的概率； （2）张某该选择先猜哪一道？请说明理由． 【答案】（1） （2）选择先猜，理由见解析 【解析】 【分析】（1）对先猜对后猜对以及先猜对后猜对进行求解即可； （2）分别求解先猜对与先猜对的分布列，再求解其数学期望即可. 【小问1详解】 记张某先猜对后猜对为事件， 先猜对后猜对为事件， 所以张某猜对两道谜语的概率为. 【小问2详解】 若张某先猜获得的奖金为元，则 0 10 30 0.2 0.4 0.4 先猜获得奖金为元，则 0 20 30 0.5 0.1 0.4 因此张某应选择先猜谜语. 16. 已知函数的部分图象如图所示，是图象的一个最低点，是图象的一个最高点． （1）求函数的解析式； （2）已知也是图象的最低点，是图象与轴的交点，求． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）由图可知，，所以，将代入，得，所以或. （2）令，计算得到，由最低点和得， 所以，，故. 【小问1详解】 由最低点和最高点可知，所以 因为， 所以，将代入上式得 所以或. 【小问2详解】 令，可得，， 由最低点和得 ，，， 故. 17. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足． （1）求数列、的通项公式； （2）将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简的表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②， ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. 【小问2详解】 因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . 18. 已知平面直角坐标系上一动点满足，，． （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点． ①求直线，的斜率之和； ②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②直线的中垂线为， 直线的中垂线为， 联立直线方程得：， 消得， 于是， 所以， 代入得， 当时，点在直线上，不符合题意，故， 又消得：，推出， 推出：， 得：， 得：， 又，则， 又，所以， 故外接圆圆心， 令，消去得， 故必在直线上. 【解析】 【分析】（1）设，由题意列方程，化简即可求出答案. （2）①直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立得到，，用斜率公式列出直线，的斜率之和，代入即可求出答案；②求出直线，的中垂线，联立求出点的坐标，消去即可求出答案. 【小问1详解】 由题意知，， 所以动点的轨迹为双曲线的右支，，， 即，，所以， 所以点的轨迹曲线的方程为. 【小问2详解】 ①设直线的方程为，，，直线和的斜率分别为，， 联立得，， 由题意得，解得， 于是，， 所以 ，所以． ②略 19. 已知四面体OABC， ，N为的三等分点(靠近B)，M为的中点，过点M的动平面交射线于，，． （1）如图，当 时， ①求的长． ②空间中一动点T，定义当四面体的体积最小时，是否存在点T，使得？并说明理由． （2）当 时，记四面体 内切球的半径为r，求r 的最大值． 【答案】（1）① ；②不存在，理由见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用空间向量基本定理，再利用空间向量数量积运算律即可得到答案； ②设，，，由共面定理，得，通过计算得，故不存在空间中一点，使得． （2）求出半径的表达式，再利用导数求出最值即可. 【小问1详解】 ①， 所以 ，所以． ②设，，，则，，， 所以，由共面定理，得， 记棱长为1的正四面体的体积为，所以， 由均值不等式， 此时当，即，，取得最小值， 则此时，即，故是的重心， 对空间中任意点，则，， 同理，， 所以 ， 故不存在空间中一点，使得． 【小问2详解】 ，，， 由勾股定理，，，， 由余弦定理，，所以， 所以，所以， 所以，，， 所以（设）， 设，， 当时，； 当时，令，即， 解得，所以， 所以（当时取等）， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期普通高中高三期末质量评价题库 数学 2026.1 本题库共4页，19小题．建议做题时间120分钟． 答题须知： 1．答题前，务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、题库答题卡号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在题库上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为（ ） A. 112.5 B. 115 C. 142.5 D. 145 2. 已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 已知是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 已知，为实数，则“与都是无理数”是“是无理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 6 C. 12 D. 24 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等比数列，则椭圆离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台，，且侧面与底面的夹角的余弦值为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依次成等比数列，则可以是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，，其中为虚数单位，则__________． 13. 函数的最小值为__________． 14. 已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． （1）求张某猜对两道谜语的概率； （2）张某该选择先猜哪一道？请说明理由． 16. 已知函数的部分图象如图所示，是图象的一个最低点，是图象的一个最高点． （1）求函数的解析式； （2）已知也是图象的最低点，是图象与轴的交点，求． 17. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足． （1）求数列、的通项公式； （2）将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 18. 已知平面直角坐标系上一动点满足，，． （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点． ①求直线，的斜率之和； ②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由． 19. 已知四面体OABC， ，N为的三等分点(靠近B)，M为的中点，过点M的动平面交射线于，，． （1）如图，当 时， ①求的长． ②空间中一动点T，定义当四面体的体积最小时，是否存在点T，使得？并说明理由． （2）当 时，记四面体 内切球的半径为r，求r 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $