第39课 数学思维系列课程—牛吃草问题（课件）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

第39课 牛吃草问题 6年级 数学思维系列课程 知识背景： “牛吃草”问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，那么可供6头牛吃几天?”这道题很简单，用3×10÷6=5(天)。如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了。因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定(均匀变化)的问题就是“牛吃草”问题。 例1：一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周,或可供23头牛吃9周。那么这片草地可供21头牛吃几周? 21头牛吃多少时间？ 原有的牧草 ÷ 每天实际减少的牧草 21头牛每天吃掉的牧草 － 每天生长的牧草 设每头牛每天吃草为1份 27头牛吃6周=原有牧草＋6周生长的牧草。。。。① 23头牛吃9周=原有牧草＋9周生长的牧草。。。。② 由②－①得： （9－6）周生长的牧草 =23头牛吃9周－27头牛吃6周 每天生长的牧草=（23×9－27×6）÷（9－6） =15（份） 原有牧草 = 27×6－15×6 =72（份） 时间 = 72÷（21－15）=12（天周） 答：可供21头牛吃12周。 练习1：1.一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天或可供20头牛吃10天。那么,可供19头牛吃多少天? 原有草量：24×6-14×6=60(份) 分析与解答 每天长草量：(20×10-24×6)÷(10-6)=14(份) 可吃时间：60÷(19-14)=12(天) 练习2：牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天或可供15头牛吃10天。那么,可供25头牛吃几天? 原有草量：(10-5)×20=100(份) 分析与解答 每天长草量：(20×10-15×10)÷(20-10)=5(份) 可吃时间：100÷(25-5)=5(天) 练习3：3.牧场上的青草每天都在匀速生长。这片牧草可供27头牛吃6周或可供23头牛吃9周。那么,可供21头牛吃多少周? 原有草量：(27-15)×6=72(份) 分析与解答 每天长草量：(23×9-27×6)÷(9-6)=15(份) 可吃时间：72÷(21-15)=12(周) 例2：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长新的，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5 天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天? 思路与分析与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用与例1 类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。 思路与分析 例2：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长新的，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5 天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天? 设1头牛1天吃的草为1份。 20头牛5天吃100份， 15头牛6天吃90份 100-90=10(份) 说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。 由“草地上的草可供20头牛吃5天”,再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草 所以原有草有(20+10)×5=150(份) 由150÷10=15可知，牧场原有草可供15头牛吃10天。 由于天气寒冷减少了相当于10头牛吃的草，所以可供5头牛吃10天。 练习1 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么,可供11头牛吃几天? 原有草量：(20+4)×5=120(份) 分析与解答 每天减少量：(20×5-16×6)÷(6-5)=4(份) 可吃时间：120÷(11+4)=8(天) 练习2 因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天? 原有草量：(33+21)×5=270(份) 分析与解答 每天减少量：(33×5-24×6)÷(6-5)=21(份) 牛的数量：270÷10-21=6(头) 练习3 经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是不变的，那么,为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人? 当前生成的资源不少于每年消耗掉的资源时，地球上的资源才不致减少，所以地球最多能养活70亿人。 分析与解答 (80×300-100×100)÷(300-100)=70(亿) 例3：自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两个性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用6分钟到达楼上。该扶梯一共有多少级台阶? 与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总量”,“草”变成了“台阶”,“牛每天吃草的量”变成了“速度”,也可以看成是“牛吃草”的问题。 思路与分析 例3：自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两个性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用6分钟到达楼上。该扶梯一共有多少级台阶? 上楼的速度可以分为两部分：一部分是男孩、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。 男孩5分钟走了20×5=100(级)台阶 女孩6分钟走了15×6=90(级)台阶 女孩比男孩少走了100-90=10(级)台阶 多用了6-5=1(分),说明自动扶梯1分钟走10级。 因男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和 所以，扶梯一共有(20+10)× 5=150(级)台阶。 练习1 自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走 25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟、小红用6分钟分别到达楼上。该扶梯一共有多少级台阶? 扶梯一共有台阶：(25+5)×5=150(级) 分析与解答 扶梯每分钟上行：(25×5-20×6)÷(6-5)=5(级) 练习2 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯一共有多少级台阶? 扶梯一共有台阶： 27×(120÷20)-54×2=54(级) 分析与解答 扶梯每分钟上行： [24×(180÷20)-27×(120÷20)]÷(3-2)=54(级) 练习3 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井口逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么,井深多少米? 分析与解答 井深：(20+10)×5=150(分米)=15(米) 每夜下滑： (20×5-15×6)÷(6-5)=10(分米) 例4：一只船漏了一个洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果12人舀水，3小时舀完。如果只有5人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人? 已漏进的水，加上3小时漏进的水，1小时需要(12×3)人舀完，也就是36人用1小时才能舀完。已漏进的水，加上10小时漏进的水，每小时需要(5×10)人舀完，也就是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。 思路与分析 例4：一只船漏了一个洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果12人舀水，3小时舀完。如果只有5人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人? 1小时漏进的水，几人用1小时能舀完： (5×10-12×3)÷(10-3)=2(人) 已漏进的水：(12-2)×3=30(份) 已漏进的水加上2小时漏进的水，需多少人1小时舀完：30+2×2=34(人) 用2小时来舀完这些水需要：34÷2=17(人) 练习1 有一个水池，池底有水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干? 分析与解答 原有水量：(10-5)×20=100(份) 每小时涌出水： (10×20-15×10)÷(20-10)=5(份) 25部这样的抽水机把水抽干需要的时间： 100÷(25-5)=5(时) 练习2 有一个长方体的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水30立方分米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方分米，注满水箱可少用2.5小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水?(假设每小时排水量相同) 分析与解答 [30×7-45×(7-2.5)]÷2.5=3(立方分米) 两种情况注水量的差等于2.5小时的排水量。 练习3 有一口水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机，20分钟抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台? 分析与解答 例5：有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天? 前面我们接触的是在同一块草地的情况，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即[5,6,8]=120。 思路与分析 例5：有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天? 第一块5公顷的草地可供 11头牛吃10天，120÷5=24 变为120公顷草地可供 11×24=264(头)牛吃10天。 第二块6公顷的草地可供 12头牛吃14天，120÷6=20, 变为120公顷草地可供 12×20=240(头)牛吃14天。 120÷8=15。问题变为120公顷草地可供19×15=285(头)牛吃几天? 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为 一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天? 每天新长出的草：(240×14-264×10)÷(14-10)=180(份) 草地原有草：(264-180)×10=840(份) 可供285头牛吃的时间：840÷ (285-180)=8(天) 练习1 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟? 分析与解答 原有旅客：(4-2)×30=60(人) 每分钟旅客增加： (4×30-5×20)÷(30-20)=2(人) 需要时间：60÷(7-2)=12(分) 练习2 快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的货车，三车的速度分别是24千米/时、20千米/时、19千米/时。快车追上货车用了6小时，中车追上货车用了10小时，慢车追上货车要用多少小时? 分析与解答 三车出发时货车距A地：(24-14)×6=60(千米) 货车的速度： (20×10-24×6)÷(10-6)=14(千米/时) 慢车追上货车的时间：60÷(19-14)=12(时) 练习3 一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛又吃了2天将草吃完。这一群牛原来有多少头? 分析与解答 原有青草：(17-9)×30=240(份) 青草每天长出： (17×30-19×24)÷(30-24)=9(份) 假设4头牛不卖，一共吃掉青草：240+9×(6+2)+4×2=320(份) 这群牛原来有：320÷(6+2)=40(头) 谢谢 $