14.2 三角形全等的判定 寒假巩固 2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.2 三角形全等的判定 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】用SAS判定三角形全等 2 【题型2】SAS与全等三角形性质的综合 4 【题型3】SAS的实际应用 7 【题型4】用ASA判定三角形全等 10 【题型5】ASA与全等三角形性质的综合 13 【题型6】ASA的实际应用 16 【题型7】用AAS判定三角形全等 19 【题型8】AAS与全等三角形性质的综合 22 【题型9】AAS的实际应用 25 【题型10】用SSS判定三角形全等 29 【题型11】SSS与全等三角形性质的综合 33 【题型12】SSS的实际应用 36 【题型13】作一个角等于已知角 39 【题型14】作角的和与差 43 【题型15】作三角形 45 【题型16】用HL判定直角三角形全等 48 【题型17】HL与全等三角形性质的综合 50 【题型18】HL的实际应用 54 【题型19】灵活选择三角形全等的判定方法证全等 57 【题型20】添加适当条件判定三角形全等 59 【题型21】全等三角形的性质与判定的综合 62 【题型22】全等三角形与动点问题 67 【题型23】倍长中线法 72 【题型24】全等三角形与垂线问题 76 【题型25】与尺规作图相关的全等三角形问题 82 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【题型1】用SAS判定三角形全等 【典型例题】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，若用“SAS”判定△ABC≌△ADC，需要添加的条件是（　　） A.∠ABC=∠ADC B.BO=DO C.∠BAC=∠DAC D.∠ACB=∠ACD 【答案】C 【解析】解：∵在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）. ∴添加∠BAC=∠DAC可用“SAS”判定△ABC≌△ADC. ，故选C． 【举一反三1】如图，AB∥ED，CD＝BF，若要用SAS判定△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（　　） A.∠B＝∠D B.AC＝EF C.AB＝ED D.不用补充 【答案】C 【解析】解：添加AB＝ED，理由： ∵AB∥ED， ∴∠B＝∠D， ∵CD＝BF， ∴BC＝DF， 在△ABC与△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（SAS）． 故选：C． 【举一反三2】如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是              ． 【答案】 【解析】解：需添加的条件为；理由如下： 在与中， ， ∴（）． 【举一反三3】如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE． 【答案】证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠EAC， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． 如图，已知AB∥DE，AB=DE，D，C在AF上，且AD=CF，求证：△ABC≌△DEF．完成下列证明过程： 证明:∵AB∥DE, ∴∠＝∠EDF(), ∵AD=CF, ∴AD+DC=CF+DC, 即, ∴在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF（）． 【答案】 解：证明:∵AB∥DE, ∴∠A＝∠EDF(两直线平行，同位角相等), ∵AD=CF, ∴AD+DC=CF+DC, 即AC=DF, ∴在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【题型2】SAS与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A.100° B.90° C.60° D.45° 【答案】B 【解析】如图，在△ABC和△FDE中， ∴△ABC≌△FDE（SAS）， ∴∠1＝∠EDF， ∵∠EDF+∠2＝90°， ∴∠1+∠2＝90°. 【举一反三1】如图，在中，，，点是的中点，连接，那么线段的长度有可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：延长至点，使，连接， ∴， ∵点是的中点，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴线段的长度有可能是． 【举一反三2】如图，与相交于点A，，，，若，则的长度是      ． 【答案】6 【解析】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【举一反三3】如图，在四边形中，，，若，则的长为     ． 【答案】5 【解析】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【举一反三4】如图，在和中，，，，． 连接，交于点M，连接． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，由（1）可得, ∴， 由三角形的外角性质得 ， ∴． 【题型3】SAS的实际应用 【典型例题】如图，小牛利用全等三角形的知识测量池塘两端A、B的距离，如图△CDO≌△BAO，则只需测出其长度的线段是（　　） A.AO B.CB C.BO D.CD 【答案】D 【解析】解：要想利用△CDO≌△BAO求得AB的长，只需求得线段DC的长，故选D． 【举一反三1】学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折叠凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿和的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，利用你所学的知识求出的长度是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：，O是它们的中点， ， 在与中, ， ． 【举一反三2】如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定点D，使DC=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是 A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS 【答案】B 【解析】∵AC⊥BD， ∴∠ACB=∠ACD=90°， 在△ACB和△ACD中， ∴△ACB≌△ACD(SAS)， ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等). 【举一反三3】物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为     ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴． 【举一反三4】如图所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A,D,C,F在同一条直线上，且，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【举一反三5】如图，将两根等长钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是什么？请说明理由. 【答案】解：是边角边法判定三角形全等. 理由如下：∵AA′、BB′的中点O连在一起，∴OA=OA′，OB=OB′， 又∵∠AOB=∠A′OB′， ∴△OAB≌△OA′B′的理由是“边角边”． 【题型4】用ASA判定三角形全等 【典型例题】如图，点E在线段上，点F在线段上，．要想用“ASA”判定，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：在和中， ∴． ∴添加“”,可用“ASA”判定. 【举一反三1】如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，用“ASA”能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A.∠1＝∠2 B.AD＝BC C.∠C＝∠D D.AC＝BD 【答案】A 【解析】解：由题意得：∠CAB＝∠DBA，AB＝BA， A、∵∠1＝∠2，利用ASA可判定△ACO≌△BDO，故A符合题意； B、当AD＝BC时，SSA不能判定△ABC≌△BAD，故B不符合题意； C、当∠C＝∠D时，不能用ASA判定△ABC≌△BAD，故C不符合题意； D、当AC＝BD时，不能用ASA判定△ABC≌△BAD，故D不符合题意； 故选：A． 【举一反三2】如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中，能用ASA证明和△ABC全等的是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.无 【答案】D 【解析】解：∵△ABC中50°所对的边为b，而甲三角形50°所对的边为a， ∴不能证明甲三角形与△ABC全等； 不能用“ASA”可判断乙三角形与△ABC全等； 不能用“ASA”可判断丙三角形与△ABC全等． 故选：D． 【举一反三3】如图所示，在△ABC和△DEF中，给出以下六个条件： ①AB=DE；②BC=DF； ③AC=EF；④∠A=∠E；⑤∠B=∠D；⑥∠ACB=∠DFE. 以其中三个作为已知条件，用ASA判定△ABC和△DEF全等的是            .（填写序号） 【答案】④①⑤或②⑤⑥或④③⑥ 【解析】解：根据两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，可得到三组. 【举一反三4】如图所示，A，E，F，C在一条直线上，，过点E，F分别作，，，连接交于点G．求证：．    【答案】证明：， ， ，， ， ， ， ， 在和中， . 【举一反三5】将下面的证明过程补充完整： 已知：如图，，于点E，于点F，． 求证：．    证明：∵，(已知) ∴． ∵，，(已知) ∴． ∵，(已知) ∴ ，（ ），即 ． 在和中， ∵ ∴．( ) 【答案】证明：∵，（已知） ∴． ∵，，(已知) ∴． ∵，(已知) ∴（等式的性质），即， 在和中， ∵ ∴． 【题型5】ASA与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，于点，于点，，，则的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵于点，于点， ∴ 又， ∴ ∴， ∵， ∴． 【举一反三1】如图，的面积为40，平分，于点，连接，则的面积为（） A. B. C. D.25 【答案】C 【解析】解：延长，交于点， 平分，且于点， ， 在和中， ， ，， ，， 的面积为40， ， ． 【举一反三2】如图所示，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若，则图中阴影部分的面积为        ． 【答案】30 【解析】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 【举一反三3】已知面积为24，将沿的方向平移到的位置，使点和点C重合，连接交于点D，则的面积为      ． 【答案】12 【解析】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积为24， ∴， ∴． 【举一反三4】（教材改编）如图，′，AD，A′D′分别是′的对应角的平分线.求证：AD=A′D′. 【答案】证明：∵′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，AB=A′B′， ∵AD，A′D′分别是′的对应角的平分线.， ∴∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′， ∴∠BAD=∠B′A′D′， 在与中， ， . 【题型6】ASA的实际应用 【典型例题】如图，小凯家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（　　） A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【答案】D 【解析】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃． 故选：D． 【举一反三1】如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，这利用了全等的性质，其中判断△ABC≌△A′B′C′的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 【答案】B 【解析】∵AC∥A′C′， ∴∠ACB＝∠A′C′B′， ∵两根木杆的影子一样长， ∴BC＝B′C′， 在△ACB和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）． 故选：B． 【举一反三2】如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离.已知AB垂直于河岸BF，现在BF上取两点C，D，使CD=CB，过点D作BF的垂线ED，使A，C，E在一条直线上，若ED=90米，则AB的长是　　　　米. 【答案】90 【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC=∠EDC=90°， 在△ABC和△EDC中， ∴△ABC≌△EDC(ASA)， ∴AB=ED=90米. 【举一反三3】如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，，．若，，则的长度为      ． 【答案】4 m 【解析】解：∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【举一反三4】如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的垂直距离，其中E是进水口，D，C为污水净化后的出口．已知，， 米，米，求两个排污口之间的水平距离． 【答案】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴米）． 所以两个排污口之间的水平距离为500米. 【题型7】用AAS判定三角形全等 【典型例题】如图，AD为∠BAC的平分线，添加下列条件后，能用“AAS”证明△ABD≌△ACD的是（　　） A.∠B＝∠C B.∠BDA＝∠CDA C.BD＝CD D.AB＝AC 【答案】A 【解析】A、由，AAS可得到△ABD≌△ACD，所以A选项不正确； B、由，ASA可得到△ABD≌△ACD，所以B选项不正确； C、由BD＝CD，AD＝AD，∠BAD＝∠CAD，SSA不能得到△ABD≌△ACD，所以C选项正确． D、由，SAS可得到△ABD≌△ACD，所以D选项不正确； 故选：A． 【举一反三1】如图，已知，，要想用“AAS”判定，需要添加的条件是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， 在和中， ∴； ∴添加“”,可用“AAS”判定． 【举一反三2】如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，用“AAS”可判定与一定全等的三角形是（    ） A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 【答案】D 【解析】解：甲中b，c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等， 乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，不符合，故乙不符合题意， 在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另两组角对应相等，满足，故丙与一定全等， 综上可知能用“AAS”和全等的是只有丙． 【举一反三3】如图，∠ACB=∠DFE，BC=EF，用AAS判定△ABC≌△DEF，则需要补充一个条件，这个条件是　            　. 【答案】∠A=∠D 【解析】解：要使△ABC≌△DEF，根据AAS判定，两角及其一角的对边分别对应相等，添加∠A=∠D，可判定全等. 【举一反三4】如图，D在上，E在上，且，要说明． 若以“”为依据，还须添加的一个条件为            ． 【答案】 【解析】解：条件是， 理由是：在和中， ∴． 【举一反三5】如图，点,,,在同一直线上，，，．求证： 【答案】证明：, ， ， ， 即， 在和中， ． 【举一反三6】如图，，点在上，，，垂足分别为，．试说明：． 【答案】解：，， ， 在和中， ， 【题型8】AAS与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，是的平分线上一点，于点，于点下列结论中不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵是的平分线上一点，于点，于点 ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴A，B，C三个选项结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故D选项结论错误，符合题意． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，，， 绕点B逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（        ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：过点作轴，如下图： 由题意可得：，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：D． 【举一反三2】如图，在直角坐标系中，点绕着点顺时针旋转得到点，则点的坐标为        ． 【答案】 【解析】解：过点作轴的平行线， 过 点作直线于点，过点作直线于点， ， 由题意得，， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 【举一反三3】如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，，延长交的延长线于点F． 求证： (1)； (2)平分； (3)． 【答案】证明：（1）， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∵ ∴， ∴． （2）∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ， 又， ， 平分． （3）由（2）可知， ， 由（1）可知， ， 即． 【题型9】AAS的实际应用 【典型例题】如图，张华同学用7块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三1】如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（　　）   A.4 B.6 C.10 D.16 【答案】D 【解析】解：四边形为正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， ∴， 即：． 故选：D． 【举一反三2】如图，小明想测量旗杆的高度，旗杆对面有一高为18米的大楼，大楼与旗杆相距28米（米），在大楼前10米的点P处，测得，且，，则旗杆的高为       米．    【答案】10 【解析】解：由题意得，，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【举一反三3】如图，一个等腰直角三角形物件斜靠在墙角处，若，，则点C离墙的水平距离是       ． 【答案】70 【解析】解：如图，过点作于点， ， ∴， （同角的余角相等）． ∵为等腰直角三角形， ∴， 在与中， ∴． ． ∴． 【举一反三4】如图，是一段斜坡，是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度的长度，欢欢在D处立上一竹竿，并保证，然后在竿顶C处垂下一根绳，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子的长度，使得，此时他测得米，求的长度． 【答案】解：如图，延长交于F， 则， ∵（对顶角相等）， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故的长度是2米． 【题型10】用SSS判定三角形全等 【典型例题】如图，在△ABC和△FED中，若AC＝FD，BC＝ED，则下面4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，能利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等的是（　　） A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或④ 【答案】A 【解析】解：如果添加条件①AE＝FB， 则AE+BE＝FB+BE， ∴AB＝FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， 故添加条件①可以利用SSS判定△ABC和△FED全等； 如果添加条件②AB＝FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， 故添加条件②可以利用SSS判定△ABC和△FED全等； 如果添加条件③AE＝BE，不能得出AB＝FE， 故添加条件③不可以利用SSS判定△ABC和△FED全等； 如果添加条件④BF＝BE，不能得出AB＝FE， 故添加条件④不可以利用SSS判定△ABC和△FED全等． 综上所述：添加条件①或②可以利用SSS判定△ABC和△FED全等． 故选：A． 【举一反三1】如图，是四边形的对角线，，若用“SSS”证明，需要添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：在和中， ， ∴若用“SSS”证明，需要添加的条件是． 【举一反三2】如图所示，在中，，则由“”可以判定（   ） A. B. C. D.以上都不对 【答案】B 【解析】解：因为， 所以． 【举一反三3】如图所示，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，BF=CE，要利用“SSS”，当添加边方面的条件为_______时，△ABC≌△DEF． 【答案】AC=DF 【解析】适合的条件是AC=DF， 理由如下， ∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF， ∵在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）. 【举一反三4】已知，如图，AC=BC，要想用SSS可判定△ABC≌△BAD，需要添加的条件是        . 【答案】AD=BD. 【解析】解：证明：在△ACD和△BCD中 ∴△ACD≌△BCD(SSS)， ∴要想用SSS可判定△ABC≌△BAD，需要添加的条件是AD=BD. 故答案为AD=BD． 【举一反三5】如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“SSS”使的条件有_________（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【答案】（1）解：①已知，，且为公共边，根据全等三角形判定定理“SSS”，可以判定； ②虽然，，，但“边边角”不能判定两个三角形全等； ③因为，，，根据全等三角形判定定理“边角边”能判定两个三角形全等，但不符合“SSS”条件，所以不符合题意； ④，，，“边边角”不能判定两个三角形全等． （2）证明：选条件①， 在和中， 所以． 【题型11】SSS与全等三角形性质的综合 如图，已知AE=AD，AB=AC，EC=DB，下列结论： ①∠C=∠B；②∠D=∠E；③∠EAD=∠BAC；④∠B=∠E；其中错误的是(　　) A.①②    B.②③ C.③④    D.只有④ 【答案】D 【解析】 因为AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB； 所以△ABD≌△ACE(SSS)； 所以∠C＝∠B，∠D＝∠E，∠EAC=∠DAB； 所以∠EAC-∠DAC=∠DAB-∠DAC； 得∠EAD=∠CAB． 所以错误的结论是④. 【举一反三1】如图，是的中点，，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，，，故选项，，正确，不符合题意； ∵，不是对应边， ∴与不一定相等，故D选项错误，符合题意． 【举一反三2】如图，，，．若，则        ．    【答案】 【解析】证明：如图，设交于点，    在和中， ， ， ，,， ． 【举一反三3】如图，点，分别为的边，上的点，，，，，则的度数为        ． 【答案】 【解析】解：连接，如图， 在和中， ， ， ， ， ． 【举一反三4】已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ． 在和中， ． （2）解：， ， ． 【举一反三5】阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由： 已知：．求：的度数． 解：因为，（已知）， 所以______（           ）， 即， 在和中， 所以（    ）， 所以（           ）． 【答案】解：因为，（已知）， 所以（等式的性质）， 即， 在和中， 所以， 所以（全等三角形的对应角相等）． 【题型12】SSS的实际应用 【典型例题】八年级(2)班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动.小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB=AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED=FD，那么△AED≌△AFD的依据是 A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 【答案】D 【解析】∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴AE=AB，AF=AC， ∵AB=AC， ∴AE=AF， 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(SSS)， ∴△AED≌△AFD的依据是SSS. 【举一反三1】如图，是一个平分角的仪器，其中，．将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线．依据的数学原理是（　　） A.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B.三边分别相等的两个三角形全等 C.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D.角平分线上的点到角的两边的距离相等 【答案】B 【解析】解：在和中， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴依据的数学原理是三边分别相等的两个三角形全等． 【举一反三2】 “三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是              . 【答案】边边边 【解析】解：在△DEH和△DFH中 ， ∴△DEH≌△DFH（SSS）， ∴∠DEH＝∠DFH， 故选：边边边 【举一反三3】工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C作射线OC.由做法得△MOC≌△NOC的依据是            . 【答案】SSS公理 【解析】解：SSS的应用.∵OM=ON，CM=CN，OC为公共边，∴△MOC≌△NOC（SSS）． 【举一反三4】如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由． 【答案】解：此时轮船没有偏离航线． 理由：由题意知：DA=DB，AC=BC， 在△ADC和△BDC中，， ∴△ADC≌△BDC（SSS）， ∴∠ADC=∠BDC， 即DC为∠ADB的角平分线， ∴此时轮船没有偏离航线． 【举一反三5】（教材改编）工人师傅常用角尺平分一个任意角.如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线.为什么? 【答案】解：理由如下： 在和中， ∴， ∴∠COM=∠CON， 即射线OC是∠AOB的平分线． 【题型13】作一个角等于已知角 【典型例题】如图①，点P是直线m外一点．如图②，在直线m上取一点Q，作直线PQ，以点Q为圆心，以任意长为半径画圆弧分别交PQ和直线m于点A、B，再以点P为圆心，以AQ长为半径画圆弧CD交PQ于点D，以点D为圆心，以AB长为半径画圆弧交于点E，过点P、E作直线n，连接AB、DE．则下列说法正确的是（　　） A.∠AQB≠∠EPD B.m与n 不平行 C.△AQB≌△DPE的理论依据是边边边 D.以上都不对 【答案】C 【解析】解：根据作图过程可知： AQ＝BQ＝PD＝PE，DE＝AB，∠AQB＝∠DPE， 故A选项不符合题意； ∴m∥n，故B选项不符合题意； 在△AQB和△DPE中， ， ∴△AQB≌△DPE（SSS）， ∴△AQB≌△DPE的理论依据是边边边， 故C选项符合题意， 故选：C． 【举一反三1】如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（） A.以为圆心，长为半径的弧 B.以为圆心，长为半径的弧 C.以为圆心，长为半径的弧 D.以为圆心，长为半径的弧 【答案】C 【解析】由作图可知作图步骤为： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，， ②以点为圆心，以为半径画弧，交于， ③以点为圆心，以为半径画弧，交弧于， ④过点作射线， 根据内错角相等，两直线平行，可得． 【举一反三2】用直尺和圆规过直线l外一点P作已知直线的平行线，如图能得出∠1=∠2的依据是(　　) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【答案】A 【解析】如图， 根据作图过程可知 OA=OB=PC=PD，AB=CD， ∴△PCD≌△OAB(SSS). 【举一反三3】用尺规作图作一个角等于已知角，它是由判定三角形全等得到的，判定两角相等全等的依据是            . 【答案】SSS 【解析】解：用尺规作图作一个角等于已知角，实际上作两个三角形的三边分别相等，从而判定三角形全等得到的角相等． 故选：SSS． 【举一反三4】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是________． 【答案】SSS 【解析】解：由作法得 所以△COD≌△C′O′D′(SSS)． 【举一反三5】如图，某公园现有两条直道和交于点，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路上的点，再修建一条直道． (1)尺规作图：以点为顶点，为一边，作；（不写作法，保留作图痕迹） (2)猜想与的位置关系，并给出证明． 【答案】解：（1）如图，即为所求． 或 （2）． ∵， ∴（依据：内错角相等，两直线平行）． 或与相交． 【举一反三6】在一次定向寻宝的游戏中，小明经过分析宝藏地图后，确定了宝藏P的位置在圆形区域内，两个建筑物A，B的位置如图所示，已知，线段，请你用尺规作图确定宝藏P 的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：作图如下． 【题型14】作角的和与差 【典型例题】如图，已知∠AOB与∠EO'F(∠AOB>∠EO'F)，分别以点O，O'为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A'，B'，交O'E，O'F于点E'，F'.以点B'为圆心，以E'F'长为半径画弧，在∠AOB的内部交弧A'B'于点H，作射线OH.下列结论正确的是 A.∠AOB=2∠EO'F B.∠AOH=∠EO'F C.∠AOH=∠BOH D.∠HOB=∠EO'F 【答案】D 【解析】连接HB'和E'F'，如图， 由作图过程可知，OH=O'E'，OB'=O'F'，B'H=F'E'. 在△HOB'和△E'O'F'中， 所以△HOB'≌△E'O'F'(SSS)， 所以∠HOB=∠EO'F. 【举一反三1】下列尺规作图的语句错误的是（      ） A.作，使 B.以点 O 为圆心作线段 C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D.作，使 【答案】B 【解析】解：A项，作，使，原说法正确，不符合题意； B项，以点O为圆心作线段，未说明半径，原说法错误，符合题意； C项，以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，原说法正确，不符合题意； D项，作，使，原说法正确，不符合题意． 【举一反三2】如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为      ． 【答案】 【解析】解：由作图可知， ∵， ∴． 【举一反三3】已知：，求作：，使． 【答案】解：如图所示，即为所求． 【举一反三4】已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【答案】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求． 【题型15】作三角形 【典型例题】如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A.③④①② B.④③②① C.③④②① D.④③①② 【答案】C 【解析】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是： ③在的两边上截取； ④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ①连接． 即为所求作的三角形． 画法正确的顺序是③④②①． 【举一反三1】如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A.作的依据为 B.弧是以长为半径画的 C.弧是以A为圆心，为半径画的 D.弧是以长为半径画的 【答案】A 【解析】解：A项，根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B项，弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C项，弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D项，弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 【举一反三2】如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由作图可知，，，， 故． 【举一反三3】 请你根据以上材料解决下列问题： (1)根据作图痕迹补全作法； 由作图可知，在和中， 所以_______； (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】（1）证明：由作图可知，在和中， 所以． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是③． 【举一反三4】如图，已知线段a，b和，按要求尺规作图（不必写作法，保留作图痕迹）．    求作，使， ； 作图依据是          ． 【答案】 【解析】解：根据题意可得作图的依据是． 【举一反三5】如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．求作，使，，． 【答案】解：如图，即为所求作的三角形． 理由如下： ∵，， ， ∴即为所求作的三角形． 【题型16】用HL判定直角三角形全等 【典型例题】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 【答案】C 【解析】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′， Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C． 【举一反三1】如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，则Rt△ABC≌Rt△DCB的理由是（　　） A.AAS B.ASA C.HL D.SAS 【答案】C 【解析】∵∠A=∠D=90°, ∴在Rt△ABC和Rt△DCB中， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）． 【举一反三2】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（　　） A.∠CAB＝∠DBA B.AC＝BD C.AB＝BD D.∠ABC＝∠BAD 【答案】B 【解析】解：在Rt△ABC与Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， 故选：B． 【举一反三3】如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，AF＝CE．若添加一个条件可使用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则添加的条件为 　     　． 【答案】AB＝CD． 【解析】解：添加的条件为AB＝CD，理由如下： ∵AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D， ∴∠ABF＝∠CDE＝90°， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）． 故答案为：AB＝CD． 【举一反三4】如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：Rt△CDF≌Rt△BDE． 【答案】证明：∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， ∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠CFD＝∠BED＝90°， ∵BE＝CF， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL） 【题型17】HL与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，在四边形中，，，，的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵， ，， ∴， ∴， 即， ∴． 【举一反三1】如图，若∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2等于 A.40° B.50° C.60° D.75° 【答案】B 【解析】由题意得∠B=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中，所以Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，所以∠2=∠ACB=90°-∠1=50°. 【举一反三2】如图，在和中，为公共边，且，O为，的交点．要证明，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①；②；③；④，能作为添加条件的是      ．（填写序号） 【答案】 【解析】解： ， 在和中， ，故正确； ， ． 在和中， ，故正确； 在和中， ． ． 在和中， ，故正确； 在和中， ． ． 在和中， ，故正确． 能作为添加条件的是． 【举一反三3】如图，在四边形中，，，，于点，，，则的长为        ． 【答案】 【解析】解：如图，作的延长线于点，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得． ∴CE的长为5.5． 【举一反三4】如图，已知于点D，于点E，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】解：（1），， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上． 【答案】证明：连接BE， ∵ED⊥BC，∴∠BDE=∠A=90°． 在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵， ∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）． ∴∠ABE=∠DBE． ∴点E在∠ABC的角平分线上． 【题型18】HL的实际应用 【典型例题】为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由题意，可知，， 又∵， ∴， ∴． 【举一反三1】南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴若添加，无法证明，A选项符合题意； 若添加，可根据“”证明，B选项不符合题意； 若添加，可根据“”证明，C选项不符合题意； 若添加，可根据“”证明，D选项不符合题意． 【举一反三2】两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长，若，则的度数为        ． 【答案】 【解析】解：过作，一把直尺边缘与的交点为，如图，    两把直尺完全相同， ， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【举一反三3】小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释． 【答案】解：小明的做法有道理． 理由如下：在Rt△OPC和Rt△OPD中，， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）， ∴∠AOP=∠BOP， ∴OP就是∠AOB的角平分线． 【题型19】灵活选择三角形全等的判定方法证全等 【典型例题】根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】D 【解析】A，，，，符合全等三角形判定方法SAS，画出的唯一，该选项不符合题意； B，，，，符合全等三角形判定方法ASA，画出的唯一，该选项不符合题意； C，，，，符合全等三角形判定方法AAS，画出的唯一，该选项不符合题意； D，，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意． 【举一反三1】在下列各组条件中，不能判断和全等的是(　　) A.； B.； C.； D.． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴根据可证和全等，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴根据可证和全等，故B不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴根据可证和全等，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴不能判定和全等，故D符合题意． 【举一反三2】下列说法中正确的是： ①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等； ②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等． 其中正确的是        ．(只填序号) 【答案】①③ 【解析】解：①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等，故符合题意， ②如果两个直角三角形有一条直角边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等，故不符合题意； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等，故符合题意； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形不一定全等，故不符合题意． 【举一反三3】如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，点F为垂足.求证：CF=DF. 【答案】证明　如图，连接AC，AD， 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS). ∴AC=AD. ∵AF⊥CD， ∴∠AFC=∠AFD=90°， 在Rt△ACF和Rt△ADF中， ∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL)， ∴CF=DF. 【题型20】添加适当条件判定三角形全等 【典型例题】如图，点B在AE上，∠CBE=∠DBE，要通过“ASA”判定△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是 A.∠CAB=∠DAB B.∠ACB=∠ADB C.AC=AD D.BC=BD 【答案】A 【解析】∵∠CBE=∠DBE， ∴∠ABC=∠ABD， ∵AB=AB， ∴当添加∠CAB=∠DAB时，△ABC≌△ABD(ASA). 【举一反三1】如图，已知，，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A，添加，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不符合题意； B，添加，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不符合题意； C，添加，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不符合题意； D，添加，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意. 【举一反三2】如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是 A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=DC D.AB=AC 【答案】B 【举一反三3】(1)如图，∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. ①　　　　　　　(　　)； ②　　　　　　　(　　)； ③　　　　　　　(　　)； ④　　　　　　　(　　). 【答案】①BC=AD　HL ②AC=BD　HL ③∠CBA=∠DAB　AAS ④∠CAB=∠DBA　AAS 【举一反三4】如图，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得△ABC≌△DEC； （1）若以“SAS”为依据，还缺条件______________； （2）若以“ASA”为依据，还缺条件__________________； （3）若以“AAS”为依据，还缺条件_____________________； 【答案】BC=EC；∠A=∠EDC；∠ACB=∠DCE (或∠ACD=∠BCE) 【解析】解：∵∠B=∠DEC，AB=DE ∴（1）要利用SAS，则还缺少一边即：BC=EC （2）要利用ASA，则缺少一角即：∠A=∠EDC （3）要利用AAS，则缺少一角即：∠ACB=∠DCE． 故填BC=EC，∠A=∠EDC，∠ACB=∠DCE． 【举一反三5】如图△PAB中，PA=PB，C、D是直线AB上两点，连接PC、PD． （1）请添加一个条件：　 　，使图中存在两个三角形全等． （2）证明（1）的结论． 【答案】解：（1）本题答案不唯一，添上AC=BD（或PC=PD或∠PCA=∠PDB或∠CPB=∠DPA等），结合已知条件PA=PB可使图中存在两个全等三角形，如△PBC≌△PAD或△PAC≌△PBD. （2）现选择添加条件：AC=BD，证△PAC≌△PBD，过程如下： ∵PA=PB， ∴∠PAB=∠PBA， ∴180°-∠PAB=180°-∠PBA，即∠PAC=∠PBD， 又∵AC=BD， ∴△PAC≌△PBD. 【举一反三6】如图，A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．(不添加其他线条和字母) (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1)解：根据题意，可添加(答案不唯一)． (2)证明：在和中， ， ． 【题型21】全等三角形的性质与判定的综合 【典型例题】如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△DEC，若点A的对应点D恰好在线段AB上，D为中点，且CD平分∠ACB，记线段BC与线段DE的交点为F．下列结论中，不正确的是（　　） A.AB＝CD B.△CDF≌△CAD C.∠BDF＝∠ACD D.DF=EF 【答案】A 【解析】∵△ABC绕点C逆时针旋转，得到△DEC， ∴CA=CD，而不能确定AB＝CD， 故选项A错误，符合题意； 由旋转可知， ∠ACB＝∠DCE,∠CAD＝∠CDF， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCF， 在△CDF与△CAD中， ∴△CDF≌△CAD（ASA）， 故选项B正确，不符合题意； 由旋转可知，∠B＝∠E， 由已知可得，∠ACD＝∠DCF＝∠BCE， ∵∠B+∠BDF＝∠DFC, ∠E+∠BCE＝∠DFC， ∴∠BDF＝∠BCE＝∠ACD， 故选项C正确，不符合题意； ∵△CDF≌△CAD， ∴AD=DF， ∵D为AB中点， ∴AD=AB, 又AB=DE， ∴DF=AB=DE，即F为DE中点， ∴DF=EF， 故选项D正确，不符合题意． 【举一反三1】如图，已知，，若可得，则判定这两个三角形全等的依据是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：， ，， 【举一反三2】如图，在△ABC的上方有一点D，连接AD，CD，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝50°，则∠ACB的度数为 　    　°． 【答案】25． 【解析】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， 又∠BCD＝50°， ∴， 故答案为：25． 【举一反三3】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，AC交BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，∠ACB＝50°，则∠AFB＝　  　°． 【答案】100． 【解析】解：在△ABC和△DEB中， ∴△ABC≌△DEB（SSS）， ∴∠ACB＝∠DBE＝50°， ∴∠AFB＝∠ACB+∠DBE＝50°+50°＝100°， 故答案为：100． 【举一反三4】（1）在△ABC中，AD为△ABC的中线，AB＝6，AC＝4，则AD的取值范围是　    　； （2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，点E在中线AD上，且BE＝AC，连接并延长BE交AC于点F．求证：AF＝FE． 【答案】（1）解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴BE＝AC， 由三角形三边关系得，6﹣4＜AE＜6+4， 即2＜AE＜10， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5． （2）证明：延长AD到点G，使DG＝DE，连接CG． ∵AD是中线， ∴BD＝DC． 在△BDE和△CDG中， ， ∴△BDE≌△CDG（SAS）． ∴BE＝CG，∠BED＝∠G． ∵∠AEF＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠G． ∵BE＝AC， ∴AC＝CG， ∴∠G＝∠GAC， ∴∠AFE＝∠GAC， ∴AE＝EF． 【题型22】全等三角形与动点问题 【典型例题】如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以、为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形、等腰直角三角形，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，则的长度为（    ） A.2 B.2.5 C.3 D.4 【答案】A 【解析】解：如图，作EN⊥y轴于N， ∵∠ENB＝∠BOA＝∠ABE＝90°， ∴∠OBA＋∠NBE＝90°，∠OBA＋∠OAB＝90°， ∴∠NBE＝∠BAO， 在△ABO和△BEN中， ， ∴△ABO≌△BEN（AAS）， ∴OB＝NE＝BF， ∵∠OBF＝∠FBP＝∠BNE＝90°， 在△BFP和△NEP中， ， ∴△BFP≌△NEP（AAS）， ∴BP＝NP， 又∵点A的坐标为（4，0）， ∴OA＝BN＝4， ∴BP＝NP＝2， 故选：A． 【举一反三1】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为(　　)时，在某一时刻，三点构成的三角形与三点构成的三角形全等． A.1或 B.1或 C.2或 D.1 【答案】A 【解析】解：设点的运动速度是， ∵， ∴三点构成的三角形与三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，则， 解得， 则， 解得； ②，， 则， 解得． 【举一反三2】如图已知中，厘米，∠B =∠C,BC=6厘米，点为的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过          秒后，与全等； 【答案】1 【解析】解：设经过t秒后，△BPD与△CQP全等， ∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点， ∴BD=5厘米， ∵∠B=∠C，BP=CQ=t， ∴要使△BPD和△CQP全等，只有BD=CP=5厘米， 则5=6-t， 解得：t=1， 1÷1=1（秒）， 故答案为：1． 【举一反三3】如图，已知AB＝12米，MA⊥AB于点A，MA＝6米，射线BD⊥AB于点B，点P从点B出发沿BA方向往点A运动，每秒走1米，点Q从点B出发沿BD方向运动，每秒走2米，若点P、Q同时从点B出发，出发t秒后，在线段MA上有一点C，使由点C、A、P组成的三角形与△PBQ全等，则t的值是     ． 【答案】4秒 【解析】解：当△APC≌△BQP时，AP＝BQ，即12﹣t＝2t， 解得：t＝4； 当△APC≌△BPQ时，AP＝BP＝AB＝6米， 此时所用时间为6秒，AC＝BQ＝12米，不合题意，舍去； 综上，出发4秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等． 故答案为：4秒． 【举一反三4】如图，P(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA=PB，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于点F. (1)求证：Rt△APE≌Rt△BPF； (2)求证：PA⊥PB； (3)若点A(8，0)，求点B的坐标. 【答案】(1)证明　∵P(2，2)， ∴PE=PF=2， ∵PE⊥x轴于点E， PF⊥y轴于点F， ∴∠PEA=∠PFB=90°， 在Rt△APE和Rt△BPF中， ∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL). (2)证明　∵Rt△APE≌Rt△BPF， ∴∠APE=∠BPF， ∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°， ∴PA⊥PB. (3)解　∵P(2，2)， ∴OE=OF=2， ∵A(8，0)， ∴OA=8， ∴AE=OA-OE=8-2=6， ∵Rt△APE≌Rt△BPF， ∴BF=AE=6， ∴OB=BF-OF=6-2=4， ∴点B的坐标为(0，-4). 【举一反三5】在平面直角坐标中，点A坐标（0，4），点C坐标（6，0），点B在x轴负半轴上，点P从点C出发，以1个单位/秒的速度沿x轴负方向运动，且S△AOC=3S△AOB． （1）求点B的坐标； （2）点P的运动时间为t，三角形AOP的面积为S，用含t的代数式表示S； （3）若点D在y轴上，是否存在点P，使以D、O、P为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵点C坐标（6，0），S△AOC=3S△AOB．∴B（﹣2，0）； （2）∵点P从点C出发，以1个单位/秒的速度沿x轴负方向运动， ∴点P的运动时间为t时，PO=6﹣t， ∵点A坐标（0，4）， ∴三角形AOP的面积S=×4×（6﹣t）=12﹣2t； （3）存在， ①当OP=OA时，D（0，2），（0，﹣2）， ②当PO=BO时，D（0，4），（0，﹣4）． 【题型23】倍长中线法 【典型例题】老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是(    ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【解析】解：如图所示，延长到点E使得，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴选项B，C，D不符合题意，选项A符合题意． 【举一反三1】如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是() A.1 B.3 C.5 D.7 【答案】B 【解析】解：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ，， ， 在中，，即， ， ， 只有选项B符合要求． 【举一反三2】在△ABC中，AB=6，AC=8，AD为BC边上的中线，则AD长度的取值范围是　　　　　　.  【答案】1<AD<7 【解析】如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE. 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴CE=AB. 在△ACE中，AC-CE<AE<AC+CE， 即2<2AD<14， 1<AD<7. 【举一反三3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求的取值范围. 【答案】(1)解：延长到点，使， ， 在和中， ． (2)解：， ， ，，， ， ． 【举一反三4】阅读下面文字并填空：数学课上张老师出了这样一道题：“如图，在中，，是中线，点为的中点，连接.求证：”    张老师给出了如下简要分析：“要证，就是要证线段的倍分问题，所以有两个思路，思路一：找，故取的中点，连接，只要证即可.这就将证明线段倍分问题______为证明线段相等问题，只要证出______，则结论成立.思路二：变为，因为需要找到，于是延长至点，使，只要证______即可.连接，若证出____________则结论成立.”你认为在现阶段可以用思路______来完成这个证明. 【答案】解：转化；；, , ；二 证明：延长至点，使 ∵点为的中点 ∴ 在和中， ∵，是中线 在和中， ∴ ∴ 【题型24】全等三角形与垂线问题 【典型例题】如图，在中，，，垂足分别是D，E，AD，CE交于点H．已知，，则CH的长为（    ） A.1 B.2 C. D. 【答案】B 【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠ADB=90°， ∵∠BAD+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠BAD=∠BCE， 在△BCE和△HAE中， ， ∴△BCE≌△HAE(AAS)， ∴CE=AE=6， ∴CH=CE-HE=6-4=2． 故选：B． 【举一反三1】如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，∠A=∠F，若EF=5，则AE =(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】解：∵EF⊥AC，∴∠CEF=90°， ∵∠ACB=90°，∴∠CEF=∠ACB， 在△ABC和△FCE中， ∴△ABC≌△FCE（AAS）， ∴AC=EF=5，EC=BC=2， ∴AE=AC－CE=3. 故选A. 【举一反三2】如图，在中，，，点C在x轴上，交y轴于M，经测量发现，已知，点A的横坐标为，则点B的坐标为        ． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点A作轴于D，过点B作轴于E， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，点A的横坐标为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为      ． 【答案】 【解析】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，OD=， ∴． 【举一反三4】如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】证明：如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【举一反三5】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，猜想DE，AD，BE之间的关系，并请给出证明. 【答案】(1)证明　①∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB(AAS). ②由①知△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，CD=BE， ∵DC+CE=DE， ∴AD+BE=DE. (2)解　DE=AD-BE. 证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB(AAS)， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE， 即DE=AD-BE. 【题型25】与尺规作图相关的全等三角形问题 【典型例题】小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A、如图， 由作图痕迹可得，，，， ， 故A选项正确，不符合题意； B、如图， 由作图痕迹可得，，，， ， 故B选项正确，不符合题意； C、如图， 由作图痕迹可得，，，， ， 故C选项正确，不符合题意； D、如图， 由作图痕迹可得，，，， 不能得出与全等， 故D选项不正确，符合题意 【举一反三1】如图，已知；，线段，求作． 作法；(1)作线段； (2)在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 【举一反三2】如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据             . 【答案】SAS 【解析】由作图步骤可知，OC=OD，OE=OF， 在△COF和△DOE中，OC=OD，∠O=∠O，OF=OE ∴△EOD≌△FOC（SAS）， 故选：SAS． 【举一反三3】如图，已知． (1)用直尺和圆规作一个角，使(不写作法，保留作图痕迹)； (2)请说明为什么这样作图能得到？ 【答案】解：(1)如图，′即为所求． (2)由作图可知，，， ∴，∴． 【举一反三4】[问题提出] 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ [初步思考] 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． [深入探究]    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道； (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：； (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】(1)解：∵， 在和中， ∴， (2)证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角，    ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴ (3)解：如图，在和，， 和不全等 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2 三角形全等的判定 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】用SAS判定三角形全等 2 【题型2】SAS与全等三角形性质的综合 3 【题型3】SAS的实际应用 4 【题型4】用ASA判定三角形全等 6 【题型5】ASA与全等三角形性质的综合 7 【题型6】ASA的实际应用 8 【题型7】用AAS判定三角形全等 10 【题型8】AAS与全等三角形性质的综合 11 【题型9】AAS的实际应用 12 【题型10】用SSS判定三角形全等 14 【题型11】SSS与全等三角形性质的综合 15 【题型12】SSS的实际应用 17 【题型13】作一个角等于已知角 18 【题型14】作角的和与差 20 【题型15】作三角形 21 【题型16】用HL判定直角三角形全等 23 【题型17】HL与全等三角形性质的综合 24 【题型18】HL的实际应用 25 【题型19】灵活选择三角形全等的判定方法证全等 27 【题型20】添加适当条件判定三角形全等 27 【题型21】全等三角形的性质与判定的综合 29 【题型22】全等三角形与动点问题 31 【题型23】倍长中线法 33 【题型24】全等三角形与垂线问题 34 【题型25】与尺规作图相关的全等三角形问题 36 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【题型1】用SAS判定三角形全等 【典型例题】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，若用“SAS”判定△ABC≌△ADC，需要添加的条件是（　　） A.∠ABC=∠ADC B.BO=DO C.∠BAC=∠DAC D.∠ACB=∠ACD 【举一反三1】如图，AB∥ED，CD＝BF，若要用SAS判定△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（　　） A.∠B＝∠D B.AC＝EF C.AB＝ED D.不用补充 【举一反三2】如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是              ． 【举一反三3】如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE． 如图，已知AB∥DE，AB=DE，D，C在AF上，且AD=CF，求证：△ABC≌△DEF．完成下列证明过程： 证明:∵AB∥DE, ∴∠＝∠EDF(), ∵AD=CF, ∴AD+DC=CF+DC, 即, ∴在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF（）． 【题型2】SAS与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A.100° B.90° C.60° D.45° 【举一反三1】如图，在中，，，点是的中点，连接，那么线段的长度有可能是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，与相交于点A，，，，若，则的长度是      ． 【举一反三3】如图，在四边形中，，，若，则的长为     ． 【举一反三4】如图，在和中，，，，． 连接，交于点M，连接． (1)求证：； (2)求的大小． 【题型3】SAS的实际应用 【典型例题】如图，小牛利用全等三角形的知识测量池塘两端A、B的距离，如图△CDO≌△BAO，则只需测出其长度的线段是（　　） A.AO B.CB C.BO D.CD 【举一反三1】学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折叠凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿和的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，利用你所学的知识求出的长度是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定点D，使DC=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是 A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS 【举一反三3】物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为     ． 【举一反三4】如图所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A,D,C,F在同一条直线上，且，．求证：． 【举一反三5】如图，将两根等长钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是什么？请说明理由. 【题型4】用ASA判定三角形全等 【典型例题】如图，点E在线段上，点F在线段上，．要想用“ASA”判定，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，用“ASA”能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A.∠1＝∠2 B.AD＝BC C.∠C＝∠D D.AC＝BD 【举一反三2】如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中，能用ASA证明和△ABC全等的是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.无 【举一反三3】如图所示，在△ABC和△DEF中，给出以下六个条件： ①AB=DE；②BC=DF； ③AC=EF；④∠A=∠E；⑤∠B=∠D；⑥∠ACB=∠DFE. 以其中三个作为已知条件，用ASA判定△ABC和△DEF全等的是            .（填写序号） 【举一反三4】如图所示，A，E，F，C在一条直线上，，过点E，F分别作，，，连接交于点G．求证：．    【举一反三5】将下面的证明过程补充完整： 已知：如图，，于点E，于点F，． 求证：．    证明：∵，(已知) ∴． ∵，，(已知) ∴． ∵，(已知) ∴ ，（ ），即 ． 在和中， ∵ ∴．( ) 【题型5】ASA与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，于点，于点，，，则的长为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，的面积为40，平分，于点，连接，则的面积为（） A. B. C. D.25 【举一反三2】如图所示，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若，则图中阴影部分的面积为        ． 【举一反三3】已知面积为24，将沿的方向平移到的位置，使点和点C重合，连接交于点D，则的面积为      ． 【举一反三4】（教材改编）如图，′，AD，A′D′分别是′的对应角的平分线.求证：AD=A′D′. 【题型6】ASA的实际应用 【典型例题】如图，小凯家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（　　） A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【举一反三1】如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，这利用了全等的性质，其中判断△ABC≌△A′B′C′的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 【举一反三2】如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离.已知AB垂直于河岸BF，现在BF上取两点C，D，使CD=CB，过点D作BF的垂线ED，使A，C，E在一条直线上，若ED=90米，则AB的长是　　　　米. 【举一反三3】如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，，．若，，则的长度为      ． 【举一反三4】如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，的长表示两个工厂到河岸的垂直距离，其中E是进水口，D，C为污水净化后的出口．已知，， 米，米，求两个排污口之间的水平距离． 【题型7】用AAS判定三角形全等 【典型例题】如图，AD为∠BAC的平分线，添加下列条件后，能用“AAS”证明△ABD≌△ACD的是（　　） A.∠B＝∠C B.∠BDA＝∠CDA C.BD＝CD D.AB＝AC 【举一反三1】如图，已知，，要想用“AAS”判定，需要添加的条件是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，用“AAS”可判定与一定全等的三角形是（    ） A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 【举一反三3】如图，∠ACB=∠DFE，BC=EF，用AAS判定△ABC≌△DEF，则需要补充一个条件，这个条件是　            　. 【举一反三4】如图，D在上，E在上，且，要说明． 若以“”为依据，还须添加的一个条件为            ． 【举一反三5】如图，点,,,在同一直线上，，，．求证： 【举一反三6】如图，，点在上，，，垂足分别为，．试说明：． 【题型8】AAS与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，是的平分线上一点，于点，于点下列结论中不正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，，， 绕点B逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（        ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在直角坐标系中，点绕着点顺时针旋转得到点，则点的坐标为        ． 【举一反三3】如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，，延长交的延长线于点F． 求证： (1)； (2)平分； (3)． 【题型9】AAS的实际应用 【典型例题】如图，张华同学用7块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（　　）   A.4 B.6 C.10 D.16 【举一反三2】如图，小明想测量旗杆的高度，旗杆对面有一高为18米的大楼，大楼与旗杆相距28米（米），在大楼前10米的点P处，测得，且，，则旗杆的高为       米．    【举一反三3】如图，一个等腰直角三角形物件斜靠在墙角处，若，，则点C离墙的水平距离是       ． 【举一反三4】如图，是一段斜坡，是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度的长度，欢欢在D处立上一竹竿，并保证，然后在竿顶C处垂下一根绳，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子的长度，使得，此时他测得米，求的长度． 【题型10】用SSS判定三角形全等 【典型例题】如图，在△ABC和△FED中，若AC＝FD，BC＝ED，则下面4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，能利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等的是（　　） A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或④ 【举一反三1】如图，是四边形的对角线，，若用“SSS”证明，需要添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图所示，在中，，则由“”可以判定（   ） A. B. C. D.以上都不对 【举一反三3】如图所示，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，BF=CE，要利用“SSS”，当添加边方面的条件为_______时，△ABC≌△DEF． 【举一反三4】已知，如图，AC=BC，要想用SSS可判定△ABC≌△BAD，需要添加的条件是        . 【举一反三5】如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“SSS”使的条件有_________（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【题型11】SSS与全等三角形性质的综合 如图，已知AE=AD，AB=AC，EC=DB，下列结论： ①∠C=∠B；②∠D=∠E；③∠EAD=∠BAC；④∠B=∠E；其中错误的是(　　) A.①②    B.②③ C.③④    D.只有④ 【举一反三1】如图，是的中点，，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，，，．若，则        ．    【举一反三3】如图，点，分别为的边，上的点，，，，，则的度数为        ． 【举一反三4】已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【举一反三5】阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由： 已知：．求：的度数． 解：因为，（已知）， 所以______（           ）， 即， 在和中， 所以（    ）， 所以（           ）． 【题型12】SSS的实际应用 【典型例题】八年级(2)班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动.小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB=AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED=FD，那么△AED≌△AFD的依据是 A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 【举一反三1】如图，是一个平分角的仪器，其中，．将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线．依据的数学原理是（　　） A.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B.三边分别相等的两个三角形全等 C.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D.角平分线上的点到角的两边的距离相等 【举一反三2】 “三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是              . 【举一反三3】工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C作射线OC.由做法得△MOC≌△NOC的依据是            . 【举一反三4】如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由． 【举一反三5】（教材改编）工人师傅常用角尺平分一个任意角.如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线.为什么? 【题型13】作一个角等于已知角 【典型例题】如图①，点P是直线m外一点．如图②，在直线m上取一点Q，作直线PQ，以点Q为圆心，以任意长为半径画圆弧分别交PQ和直线m于点A、B，再以点P为圆心，以AQ长为半径画圆弧CD交PQ于点D，以点D为圆心，以AB长为半径画圆弧交于点E，过点P、E作直线n，连接AB、DE．则下列说法正确的是（　　） A.∠AQB≠∠EPD B.m与n 不平行 C.△AQB≌△DPE的理论依据是边边边 D.以上都不对 【举一反三1】如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（） A.以为圆心，长为半径的弧 B.以为圆心，长为半径的弧 C.以为圆心，长为半径的弧 D.以为圆心，长为半径的弧 【举一反三2】用直尺和圆规过直线l外一点P作已知直线的平行线，如图能得出∠1=∠2的依据是(　　) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【举一反三3】用尺规作图作一个角等于已知角，它是由判定三角形全等得到的，判定两角相等全等的依据是            . 【举一反三4】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是________． 【举一反三5】如图，某公园现有两条直道和交于点，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路上的点，再修建一条直道． (1)尺规作图：以点为顶点，为一边，作；（不写作法，保留作图痕迹） (2)猜想与的位置关系，并给出证明． 【举一反三6】在一次定向寻宝的游戏中，小明经过分析宝藏地图后，确定了宝藏P的位置在圆形区域内，两个建筑物A，B的位置如图所示，已知，线段，请你用尺规作图确定宝藏P 的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型14】作角的和与差 【典型例题】如图，已知∠AOB与∠EO'F(∠AOB>∠EO'F)，分别以点O，O'为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A'，B'，交O'E，O'F于点E'，F'.以点B'为圆心，以E'F'长为半径画弧，在∠AOB的内部交弧A'B'于点H，作射线OH.下列结论正确的是 A.∠AOB=2∠EO'F B.∠AOH=∠EO'F C.∠AOH=∠BOH D.∠HOB=∠EO'F 【举一反三1】下列尺规作图的语句错误的是（      ） A.作，使 B.以点 O 为圆心作线段 C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D.作，使 【举一反三2】如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为      ． 【举一反三3】已知：，求作：，使． 【举一反三4】已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【题型15】作三角形 【典型例题】如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A.③④①② B.④③②① C.③④②① D.④③①② 【举一反三1】如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A.作的依据为 B.弧是以长为半径画的 C.弧是以A为圆心，为半径画的 D.弧是以长为半径画的 【举一反三2】如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A. B. C. D. 【举一反三3】 请你根据以上材料解决下列问题： (1)根据作图痕迹补全作法； 由作图可知，在和中， 所以_______； (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是_______（填序号）． ①；②；③；④． 【举一反三4】如图，已知线段a，b和，按要求尺规作图（不必写作法，保留作图痕迹）．    求作，使， ； 作图依据是          ． 【举一反三5】如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．求作，使，，． 【题型16】用HL判定直角三角形全等 【典型例题】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 【举一反三1】如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，则Rt△ABC≌Rt△DCB的理由是（　　） A.AAS B.ASA C.HL D.SAS 【举一反三2】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（　　） A.∠CAB＝∠DBA B.AC＝BD C.AB＝BD D.∠ABC＝∠BAD 【举一反三3】如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，AF＝CE．若添加一个条件可使用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则添加的条件为 　     　． 【举一反三4】如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：Rt△CDF≌Rt△BDE． 【题型17】HL与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，在四边形中，，，，的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，若∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2等于 A.40° B.50° C.60° D.75° 【举一反三2】如图，在和中，为公共边，且，O为，的交点．要证明，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①；②；③；④，能作为添加条件的是      ．（填写序号） 【举一反三3】如图，在四边形中，，，，于点，，，则的长为        ． 【举一反三4】如图，已知于点D，于点E，． (1)求的长； (2)求的度数． 【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上． 【题型18】HL的实际应用 【典型例题】为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长，若，则的度数为        ． 【举一反三3】小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释． 【题型19】灵活选择三角形全等的判定方法证全等 【典型例题】根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A.，， B.，， C.，， D.，， 【举一反三1】在下列各组条件中，不能判断和全等的是(　　) A.； B.； C.； D.． 【举一反三2】下列说法中正确的是： ①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等； ②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等； ③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等． 其中正确的是        ．(只填序号) 【举一反三3】如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，点F为垂足.求证：CF=DF. 【题型20】添加适当条件判定三角形全等 【典型例题】如图，点B在AE上，∠CBE=∠DBE，要通过“ASA”判定△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是 A.∠CAB=∠DAB B.∠ACB=∠ADB C.AC=AD D.BC=BD 【举一反三1】如图，已知，，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是　　 A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知∠1=∠2，若用“AAS”判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是 A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=DC D.AB=AC 【举一反三3】(1)如图，∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. ①　　　　　　　(　　)； ②　　　　　　　(　　)； ③　　　　　　　(　　)； ④　　　　　　　(　　). 【举一反三4】如图，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得△ABC≌△DEC； （1）若以“SAS”为依据，还缺条件______________； （2）若以“ASA”为依据，还缺条件__________________； （3）若以“AAS”为依据，还缺条件_____________________； 【举一反三5】如图△PAB中，PA=PB，C、D是直线AB上两点，连接PC、PD． （1）请添加一个条件：　 　，使图中存在两个三角形全等． （2）证明（1）的结论． 【举一反三6】如图，A为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．(不添加其他线条和字母) (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【题型21】全等三角形的性质与判定的综合 【典型例题】如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△DEC，若点A的对应点D恰好在线段AB上，D为中点，且CD平分∠ACB，记线段BC与线段DE的交点为F．下列结论中，不正确的是（　　） A.AB＝CD B.△CDF≌△CAD C.∠BDF＝∠ACD D.DF=EF 【举一反三1】如图，已知，，若可得，则判定这两个三角形全等的依据是() A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在△ABC的上方有一点D，连接AD，CD，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝50°，则∠ACB的度数为 　    　°． 【举一反三3】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，AC交BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，∠ACB＝50°，则∠AFB＝　  　°． 【举一反三4】（1）在△ABC中，AD为△ABC的中线，AB＝6，AC＝4，则AD的取值范围是　    　； （2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，点E在中线AD上，且BE＝AC，连接并延长BE交AC于点F．求证：AF＝FE． 【题型22】全等三角形与动点问题 【典型例题】如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以、为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形、等腰直角三角形，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，则的长度为（    ） A.2 B.2.5 C.3 D.4 【举一反三1】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为(　　)时，在某一时刻，三点构成的三角形与三点构成的三角形全等． A.1或 B.1或 C.2或 D.1 【举一反三2】如图已知中，厘米，∠B =∠C,BC=6厘米，点为的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过          秒后，与全等； 【举一反三3】如图，已知AB＝12米，MA⊥AB于点A，MA＝6米，射线BD⊥AB于点B，点P从点B出发沿BA方向往点A运动，每秒走1米，点Q从点B出发沿BD方向运动，每秒走2米，若点P、Q同时从点B出发，出发t秒后，在线段MA上有一点C，使由点C、A、P组成的三角形与△PBQ全等，则t的值是     ． 【举一反三4】如图，P(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA=PB，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于点F. (1)求证：Rt△APE≌Rt△BPF； (2)求证：PA⊥PB； (3)若点A(8，0)，求点B的坐标. 【举一反三5】在平面直角坐标中，点A坐标（0，4），点C坐标（6，0），点B在x轴负半轴上，点P从点C出发，以1个单位/秒的速度沿x轴负方向运动，且S△AOC=3S△AOB． （1）求点B的坐标； （2）点P的运动时间为t，三角形AOP的面积为S，用含t的代数式表示S； （3）若点D在y轴上，是否存在点P，使以D、O、P为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【题型23】倍长中线法 【典型例题】老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是(    ) A.5 B.4 C.3 D.2 【举一反三1】如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是() A.1 B.3 C.5 D.7 【举一反三2】在△ABC中，AB=6，AC=8，AD为BC边上的中线，则AD长度的取值范围是　　　　　　.  【举一反三3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求的取值范围. 【举一反三4】阅读下面文字并填空：数学课上张老师出了这样一道题：“如图，在中，，是中线，点为的中点，连接.求证：”    张老师给出了如下简要分析：“要证，就是要证线段的倍分问题，所以有两个思路，思路一：找，故取的中点，连接，只要证即可.这就将证明线段倍分问题______为证明线段相等问题，只要证出______，则结论成立.思路二：变为，因为需要找到，于是延长至点，使，只要证______即可.连接，若证出____________则结论成立.”你认为在现阶段可以用思路______来完成这个证明. 【题型24】全等三角形与垂线问题 【典型例题】如图，在中，，，垂足分别是D，E，AD，CE交于点H．已知，，则CH的长为（    ） A.1 B.2 C. D. 【举一反三1】如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，∠A=∠F，若EF=5，则AE =(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三2】如图，在中，，，点C在x轴上，交y轴于M，经测量发现，已知，点A的横坐标为，则点B的坐标为        ． 【举一反三3】如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为      ． 【举一反三4】如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【举一反三5】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB； ②DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，猜想DE，AD，BE之间的关系，并请给出证明. 【题型25】与尺规作图相关的全等三角形问题 【典型例题】小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知；，线段，求作． 作法；(1)作线段； (2)在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据             . 【举一反三3】如图，已知． (1)用直尺和圆规作一个角，使(不写作法，保留作图痕迹)； (2)请说明为什么这样作图能得到？ 【举一反三4】[问题提出] 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ [初步思考] 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． [深入探究]    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道； (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：； (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．(不写作法，保留作图痕迹) 学科网（北京）股份有限公司 $