精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

青铜峡市第一中学2025-2026学年第一学期期末考试试题 高 二 数 学 分值：150分，时间120分钟 一、单选题 1. 已知，若直线的斜率为1，则直线的斜率为 A. B. C. D. 4 2. 抛物线过点，则的准线方程为( ) A B. C. D. 3. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的公比等于 A. 1 B. -1 C. -2 D. 2 5. 已知数列是首项为5，公差为3的等差数列，则（    ） A. 1 B. 2 C. D. 3 6. 已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（ ） A. 15 B. 11 C. 13 D. 14 二、多选题 9. 已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A B. 离心率 C. 渐近线方程为 D. 点到渐近线距离为5 10. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 11. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积， 已知 ，则下面正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 的通项公式 C. D. 若且则 三、填空题 12. 已知等差数列，前项和分别为和，若，则______. 13. 设等比数列的前项和为，若，则_____． 14. 由阿基米德的著作《关于圆锥和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴和短半轴长的乘积，即.已知椭圆的离心率为，分别为其左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为，则椭圆的面积为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，是各项为正的等比数列，的前n项和为，___________，且，.在①，②，③. 这三个条件中任选其中一个，补充在上面横线上，并解答下面的问题. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 已知数列前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； 18. 已知数列，若，且． （1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求； （3）若，且数列的前项和为，求证：. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2025-2026学年第一学期期末考试试题 高 二 数 学 分值：150分，时间120分钟 一、单选题 1. 已知，若直线的斜率为1，则直线的斜率为 A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的斜率为1求出，再由直线的斜率公式求解． 【详解】由题意，则x=–1，所以． 【点睛】本题主要考查了直线两点斜率公式，属于基础题． 2. 抛物线过点，则的准线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程可得a，根据抛物线标准方程即可求其准线方程. 【详解】∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴其准线方程为y＝－1. 故选：B. 3. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线方程可得，运算求解即可. 【详解】若方程表示双曲线， 则，解得或， 所以实数m的取值范围为. 故选：C. 4. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的公比等于 A. 1 B. -1 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的关系，列出方程组,进而求解. 【详解】设的公比为，因为成等差数列，所以 ，即，解得 【点睛】属于基础题,考察数列基本量的题目，难点在于运算，本题尤其要注意如何求出公比和首项. 5. 已知数列是首项为5，公差为3的等差数列，则（    ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列通项公式求出，得到. 【详解】因为数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 故选：C. 6. 已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 7. 如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：由向量的线性运算结合椭圆的性质可得，再由离心率的定义计算可得； 方法二：设，由坐标计算向量的数量积再求离心率即可. 【详解】由题可知 方法一：因为， 则， 即，可得，所以椭圆的离心率. 方法二：由在以为直径的圆上可设，则， 易知，则， 所以，即，可得，所以椭圆的离心率. 故选：A. 8. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（ ） A. 15 B. 11 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的特征可得到第个直角三角形的斜边的长，进而得到第个直角三角形的周长对应的数列为，代入可得到数列，最后通过分母有理化对数列进行裂项后即可求得. 【详解】第个直角三角形斜边，； 所以，即； 所以第个直角三角形的周长； 所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 9. 已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 离心率 C. 渐近线方程为 D. 点到渐近线的距离为5 【答案】AB 【解析】 【分析】由双曲线方程得，根据双曲线的定义可判断A；由离心率公式可判断B；求出渐近线方程可判断C；根据点到直线的距离公式可判断D． 【详解】对于A，由双曲线方程得，， ∵点P在双曲线的右支上，∴，故A正确； 对于B，离心率，故B正确； 对于C，渐近线方程为，故C错误； 对于D，渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为，故D错误．. 故选：AB． 10. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据前n项和与通项公式之间的关系求，，即可判断BD；根据等比中项判断C；利用等差数列求和公式求，即可判断A. 【详解】因为， 当时，则，故B正确； 当时，则， 两式相减可得，则； 且符合上式，所以，故D正确； 因为，，，则， 所以数列不是等比数列，故C错误； 又因为，可知数列等差数列， 所以，故A正确. 故选：ABD. 11. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积， 已知 ，则下面正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 的通项公式 C. D. 若且则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列与其前n项和，数列与其前n项积之间的等量关系求解，然后逐项判断即可. 【详解】由题为数列的前n项积，则， 又因为， 所以， 则，所以数列是以为公差的等差数列，A错误； 令，得，则， 则，也符合， 所以，所以C正确； 由题意知， 不满足上式，所以，所以B正确； 对于D，若且， 则，得， 累乘得 ，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 已知等差数列，前项和分别为和，若，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用等差数列下标和的性质及等差数列前n项和公式有，结合已知求值即可. 【详解】由，， 所以. 故答案为：. 13. 设等比数列的前项和为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式将基本量代入即可求解. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，显然， 因为，所以， 两式相除得，即，即，解得； 又，所以，解得； 所以. 故答案为：. 14. 由阿基米德的著作《关于圆锥和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴和短半轴长的乘积，即.已知椭圆的离心率为，分别为其左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为，则椭圆的面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，焦点三角形面积，勾股定理与椭圆的面积公式列出方程组求解即可. 【详解】设，因为，且的面积为， ，即，化简得， 又，所以，即， 因为椭圆的离心率为，则，化简得， 则易得，故椭圆的面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，是各项为正的等比数列，的前n项和为，___________，且，.在①，②，③. 这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并解答下面的问题. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）选条件①，由基本量法求得，由等差数列通项公式得，由求得，利用得的递推关系，从而得等比数列的公比，得通项公式； 选条件②.由基本量法求得公差，得，根据与的关系，把已知等式变形，然后由基本量法求得公比，得通项公式； 选条件③. 由基本量法求得，由等差数列通项公式得，由求得，从而可得； （2）用分组求和法计算． 【小问1详解】 方案一：选条件①. 设等差数列的公差为， 由，解得，所以. 因为，，所以当时， 由，得，即，所以. 当时，，整理得， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以. 方案二：选条件②. 设等差数列的公差为，由，解得， 所以，所以. 设等比数列的公比为，因为， 所以， 又，，所以，解得或（舍去）， 所以. 方案三：选条件③. 设等差数列的公差为，由，解得， 所以. 因，，， 所以当时，，即，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以 16. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 17. 已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用题给条件求得的值，进而求得椭圆的方程； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立并结合韦达定理，利用弦长公式列方程即可求解直线斜率，即可得解． 【小问1详解】 由题意，解得，，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 直线斜率存在，设为， 设，，联立方程组，得， 可得，， 由，知， 也即 ， 平方化简得，解得或（舍去）， 所以，所以直线的方程为或． 18. 已知数列，若，且． （1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求； （3）若，且数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对变形得到，结合值确定是等比数列，进而求出. （2）由（1）得出表达式，再对裂项，通过裂项相消求出. （3）同样由（1）得到表达式并裂项，用裂项相消求，根据单调性和范围确定范围. 【小问1详解】 因为，所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 所以 【小问3详解】 由（1）可得 易知在上单调递增，且恒成立，所以 故得证. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点， ，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 ，，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面， ，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图：则，，，， 为棱的中点， ， （i），， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， ， 平面的一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角， 则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，， 则，， 由（2）知平面的一个法向量为， ， 点到平面距离是 , ，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $