精品解析：江苏省南京市第十二中学2026届考前模拟预测数学试题

2026届考前综合模拟预测卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A. B. C. D. 3 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（ ） A. 8 B. 16 C. D. 6. 已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 当时，函数的最小值为，最大值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为F，点是C上的动点，以PF为直径作圆M，再作圆M的与直线PF平行的两条切线，两条切线与y轴的交点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 8 二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象 D. 将的图象关于y轴对称，可得到的图象 10. 在如图所示的电路中，和是两个灯泡，每个开关闭合的概率均为且相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 闭合的开关个数的数学期望为 B. 被点亮的概率为 C. 恰有一个灯泡被点亮的概率为 D. 若已知至少有一个灯泡被点亮，则被点亮的概率为 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______. 13. 椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为______． 14. 若时，，则实数的最大值为_____. 四、解答题 15. 已知数列是等比数列，数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 16. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值； （3）求的取值范围． 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点． （1）求与平面所成角的正弦值； （2）线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 18. 在直角坐标系中，已知点和，点是轴上方的一个动点，且直线与的斜率之积为定值． （1）求动点的轨迹的方程； （2）当时，直线与轴交于点，求点的坐标； （3）设的垂心为，求的面积的最大值． 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届考前综合模拟预测卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】，所以. 故选：D. 2. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的概念可得. 【详解】由题意得，的虚部是3． 故选：D． 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用诱导公式，结合特殊角的余弦值求解即可. 【详解】， 故选：C 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求得，，结合求值即可. 【详解】由题设，，又，， 所以，， 又. 故选：D 5. 如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的位置，分类讨论，利用数量积的定义即可求解. 【详解】要使最大，与的夹角小于， 当点在弧上时，， 当点在弧上时，， 当点在弧上时，取线段中点为， 则 ， 所以当与同向时，， 此时最大值为， 故选：D. 6. 已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 【详解】设，由题可知，则， 即， 所以，所以点， 将点F的坐标代入，化简得（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为. 故选：C 7. 当时，函数的最小值为，最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域可得，结合复合函数单调性分别确定函数与函数的单调性，从而得在上的单调性，从而得最值，于是求得的值. 【详解】因为，所以函数在处无定义，所以， 又函数在上单调递减，且，且函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，解得， 再由，得， 由，可解得． 故选：D. 8. 已知抛物线的焦点为F，点是C上的动点，以PF为直径作圆M，再作圆M的与直线PF平行的两条切线，两条切线与y轴的交点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得，记直线PF的倾斜角为，根据几何性质与三角恒等变换可得，由，结合基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由题意知抛物线焦点坐标为，由拋物线的定义可知， 设两个切点分别为D，E，则， 记直线PF的倾斜角为，由题意可得， 则， 又，所以， 设，则，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8． 故选：D. 二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象 D. 将的图象关于y轴对称，可得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复合函数求导即可判断A；根据正弦两角和公式可得，平方后结合平方关系与二倍角公式即可得的值，即可判断B；根据三角函数图象变换与诱导公式即可判断C；求解结合诱导公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，则， 两边同时平方得，故，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：ABD. 10. 在如图所示的电路中，和是两个灯泡，每个开关闭合的概率均为且相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 闭合的开关个数的数学期望为 B. 被点亮的概率为 C. 恰有一个灯泡被点亮的概率为 D. 若已知至少有一个灯泡被点亮，则被点亮的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】由闭合的开关个数服从二项分布即可由二项分布的数学期望公式计算求解判断A；由对立事件的概率公式计算求解判断B；求出被点亮的概率，由互斥事件的概率加法公式计算求解判断C；由条件概率公式分析计算即可求解判断D. 【详解】对于A，由题意知，闭合的开关个数服从二项分布，所以数学期望为，故A正确； 对于B，被点亮的概率为，故B错误； 对于C，被点亮的概率为，则恰有一个灯泡被点亮的概率为，故C正确； 对于D，设至少有一个灯泡被点亮为事件M，被点亮为事件N， 则，， 所以，故D错误． 故选：AC 11. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设易知上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆，进而确定下半部分椭圆参数得方程，结合椭圆性质判断A、B；设直线方程，数形结合及联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求面积，判断C、D. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 另椭圆的上焦点，所以可以看成， 当点位于的下顶点时，最大，所以，故B错误； 当直线与第一象限半圆相切时，，则， 由图，可得的取值范围为，故C正确； 根据对称性，不妨设，联立，消去并整理得， 且，则，， 则， 所以， 设，易得， 函数在上单调递增，， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据已知确定上下两部分对应曲线的性质，再应用数形结合、直线与曲线的位置情况求参数和三角形面积为关键. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移变换法则求得，然后利用诱导公式及特殊角的正切值求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 设左焦点为，根据椭圆的定义有，，且O是直角三角形斜边的中点，所以，离心率，由角的范围可求得离心率的最大值. 【详解】因为关于原点对称，所以B也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：， 又因为，所以，O是直角三角形斜边的中点，所以， 所以，所以， 由于，所以当时，离心率的最大值为：, 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求椭圆的离心率关键在于由椭圆的定义，善于利用平面几何中的边、角关系建立关于的等式或不等式. 14. 若时，，则实数的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】原不等式可化为，令，对的符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围. 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，， 又函数在上连续，所以的值域为， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为，令， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以； 当时，原不等式可化为，， 所以函数在上单调递减，又当时，， 故. 综上可知，故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列是等比数列，数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系求出，结合等比数列的通项公式即可求解. （2）由递推关系求出，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 由，，得，所以， 又是等比数列，所以公比，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由及（1）得， 所以， 由得是等差数列， 所以的前项和为. 16. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理以及基本不等式求解即可； （3）利用正弦定理边角互化将原式转化为，然后令，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得：， 且， 可得， 即， 又因为，则， 可得，整理可得， 且，则， 可得，解得. 【小问2详解】 由余弦定理得：，即， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积为：， 故面积的最大值为. 【小问3详解】 根据正弦定理得： ， 令，则， 可得， 将原式化为：， 因为，则，可得， 根据二次函数的图像性质得到， 当时，原式取得最小值，； 当时，原式取得最大值，； 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于（3）：对于已知角的范围问题，解题关键是利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简整理，进而根据三角函数有界性分析求解. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点． （1）求与平面所成角的正弦值； （2）线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） ． （2）存在， ． 【解析】 【分析】（1）由线面角的向量求法求解； （2）假设存在点，由面面角的向量求法确定点坐标，并计算的值. 【小问1详解】 因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以 ， ， 又， 因为 ，所以 ． 以为原点，、、为 轴正方向建系，如图所示， 则 ， 所以 ， 设平面的法向量 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ， 设 与平面 所成角为 ， 则 ， 所以 与平面 所成角的正弦值 ． 【小问2详解】 假设存在点，设 ，则 ， 所以 ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ，即 ， 所以 ， 整理得 ，解得 或 ， 所以 或 舍， 所以存在点使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，且 ． 18. 在直角坐标系中，已知点和，点是轴上方的一个动点，且直线与的斜率之积为定值． （1）求动点的轨迹的方程； （2）当时，直线与轴交于点，求点的坐标； （3）设的垂心为，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，由斜率公式结合已知条件可得出点的轨迹方程； （2）记，，可知，且、，根据以及二倍角的正切公式可求出的值，即可得出直线的方程，由此可得出点的坐标； （3）设点，则，求出直线的方程，与直线的方程联立，可得出点的坐标，可得出. 解法一：平方得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得出面积的最大值； 解法二：设，则，设，，利用导数求出的最大值，即可得出面积的最大值. 【小问1详解】 设，由题意得，整理得，即， 又点在轴上方，故的方程为． 【小问2详解】 记，． 由题意可知，且、． 因为，所以， 所以，解得． 故直线的方程为，得． 【小问3详解】 设点，则，过点P的x轴的垂线为①， 直线的方程为， 过点作的垂线，则垂线方程为②， 结合①②式，得两条垂线的交点即为． 又点在上，所以，即，故点， 则， 解法一：平方得． 设， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得最大值，所以的最大值为． 解法二：设， 则． 设，， 则， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故当，即时，取得最大值． 所以的最大值为． 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 【答案】（1）； （2） 当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. （3）证明：， 要使由两个极值点，则至少有两个零点. 当时，只有1个零点，不符合题意； 当时，， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则极大值 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 由图像可得，当且仅当时，与有两个交点，设其横坐标从左到右分别为，则有两个零点， 且当时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 则极大值点为，极小值点为，符合题意. 由题意，令， 则，则，， ， 设，则， 则单调递增，则，即，所以， 所以， 即成立. 【解析】 【分析】（1）代入，求导，求出，由导数的几何意义得到切线方程； （2）先讨论与，再讨论时，设，转化为与图像交点个数，对求导研究其单调性、图像，数形结合讨论零点个数； （3）函数的极值点个数，转化为与交点个数，方法同（2），注意验证；利用差值代换，由表示出再构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，， ， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 令，即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当当时，，单调递减， 则极大值，极小值， 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 则当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $