2026年山西省中考数学第一轮复习课件 第二章方程（组）与不等式（组）

第二章　方程(组)与不等式(组) 构建模型解决实际问题 多设问突破核心考法 例1 某商场在6月18日举办促销活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满200元立减20元(每次只能使用一张).某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，最终实付220元. (1)求每个电饭煲的进价； 【思路分析】请用流程图分析： 解： (1) 【思路分析】(1＋50%)x，80%×(1＋50%)x，220 设每个电饭煲的进价为x元，则标价为(1＋50%)x元，售价为80%×(1＋ 50%)x元， 由题意，得80%×(1＋50%)x－20=220， 解得x=200. 答：每个电饭煲的进价为200元 (2)为了确保本次促销活动顺利举办，该商场在促销活动前进行第一次补 货，已知花费17 600元购进该品牌电饭煲和电饼铛共100个，且电饼铛的 进价是电饭煲的，求这次补货购进该品牌电饭煲和电饼铛各多少个？ 【思路分析】请用表格分析： 本次活动中的家电消费券单笔交易满200元立减20元(每次只能使用一张).某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，最终实付220元. 家电 购买个数 进价(元/个) 费用(元) 电饭煲 x ⁠　 ⁠　 电饼铛 y 　 　 合计 100 — 17 600 (2)设这次补货购进该品牌电饭煲x个，购电饼铛y个，由题意，得 ​ 解得 答：这次补货购进该品牌电饭煲40个，电饼铛60个. 200 200x 200× ​ 200y× ​ 题后思考 第(1)问能用方程组求解吗？第(2)问能用一元一次方程求解吗？由此发现 一元一次方程和二元一次方程组在实际应用中有什么区别和联系？ 解：第(1)问能用方程组求解；第(2)问能用一元一次方程求解； 区别：一元一次方程通过设一个未知数，利用单一等量关系列方程，适用 于有递推关系的问题；二元一次方程组设两个未知数，需找两个等量关 系，适用于有两类数量关系的问题. 联系：二元一次方程组可通过消元转化为一元一次方程求解，本质都是依 据实际问题等量关系，建立方程(组)解决问题，目的是求出未知量. (3)活动期间，为了满足消费者的需求，该商场准备以相同的进价再购进 该品牌电饭煲和电饼铛共70个，且总费用不超过13 500元，则最多能购进 该品牌电饭煲多少个？ 本次活动中的家电消费券单笔交易满200元立减20元(每次只能使用一张).某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，最终实付220元. (3)设该商场购进电饭煲m个，则购进电饼铛(70－m)个， 由(1)(2)可得电饭煲的进价为200元/个，电饼铛的进价为160元/个， 由题意，得200m＋(70－m)×160≤13 500， 解得m≤， ∵m为正整数， ∴m=57， 答：最多能购进该品牌电饭煲57个. 【满分技法】列一元一次不等式解决实际问题的常见关键词与不等号的对 比表如下： 常见关键词 不等号 大于，多于，超过，高于 ＞ 小于，少于，不足，低于 ＜ 至少，不低于，不小于，不少于 ≥ 至多，不高于，不大于，不超过 ≤ 例2　为了让偏远山区的孩子有丰富的课外生活，有书读，读好书，某校 积极开展了学生自愿捐书活动，已知八、九年级各捐图书1 800本，九年 级捐书人数比八年级多150人，八年级人均捐书量是九年级人均捐书量的 1.5倍，求八年级捐书人数是多少？ 【思路分析】请用表格分析： 捐书总数/本 捐书人数 人均捐书量/本 八年级 1 800 x 　 九年级 1 800 ⁠　 　 ​ x＋150 ​ 解：设八年级捐书人数是x人，则九年级捐书人数是(x＋150)人， 由题意，得=1.5× 解得x=300， 经检验，x=300是原分式方程的解，且符合题意， 答：八年级捐书人数是300人. 题后思考 若设九年级的人均捐书量是y本，又能列出怎样的方程. 解：九年级的人均捐书量是y本，则八年级的人均捐书量是1.5y本， ∴可列方程为－=150. 例3　(2024太原三模改编)芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招 商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公 司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产300万个，第三季 度生产432万个.已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生 产量的平均增长率. 【思路分析】请用流程图分析： 解：【思路分析】300，300(1＋x)，x，300(1＋x)2 设前三季度生产量的平均增长率为x， 由题意，得300(1＋x)2=432， 解得x1=0.2=20%，x2=－2.2(不符合题意，舍去)， 答：前三季度生产量的平均增长率为20%. 真题、模拟题随堂练 一次方程(组)的实际应用 1. (2025太原二模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了 这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量 之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还 剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这 个问题可用方程x－4.5－x=1来解决，则方程中的x表示(　C　) C A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 2. (2025长治模拟)“践行垃圾分类∙助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和 琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪 说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍.”如果他们说 的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意 可列方程组为(　A　) A. B. C. D. A 3. (2025临汾模拟)完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成.现 在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天. 若设完成此项工程甲、乙合作了x天，则下列方程正确的是(　B　) A. (＋)x=1 B. ＋(＋)x=1 C. ＋=1 D. ＋(＋)x=1 B 4. (2024山西19题)当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不 断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可 利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克. 已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提 炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多 少克. 解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克， 白银y克，(1分) 解得(6分) 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1 000克.(7分) 由题意，得(4分) 5. 某校利用假期开展研学活动，由老师带领学生乘坐动车从太原前往忻州，票价信息如图所示(老师按照标准票价购买，学生按照学生票价购买)，已知学生票价为标准票价的七五折(一等座没有折扣).若所有学生统一购买一等座票，则花费同样的费用全部购买二等座票可比购买一等座票多100张，求参加研学活动的学生人数. 解：设有x名学生参加研学活动， 由题意，得38x=24×0.75(x＋100)， 解得x=90， 答：参加研学活动的学生人数为90人. 分式方程的实际应用 6. (2025山西19题)我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进 的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速 换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更 换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一 辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里. 解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，(1分) 解得x=2. (5分) 经检验，x=2是原分式方程的解，且符合实际.(6分) 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里.(7分) 由题意，得 －=22，(4分) 7. (2025太原一模)2025年4月23日是第30个“世界读书日”.学校为给师生增 加阅读空间，在走廊设置学科延伸阅读区，提供更丰富的书籍资源，现需 购进弧形和直角两种书架，弧形书架的单价比直角书架的单价高20%.已 知用18 000元购买弧形书架的数量比用9 000元购买直角书架的数量多6 个，求弧形书架和直角书架的单价. 解：设直角书架的单价是x元， 则弧形书架的单价是(1＋20%)x元， 由题意，得－=6， 解得x=1 000， 经检验，x=1 000是原分式方程的解，且符合题意， ∴(1＋20%)x=(1＋20%)×1 000=1 200(元). 答：弧形书架的单价是1 200元，直角书架的单价是1 000元. 一元二次方程的实际应用 8. (北师九上习题改编)某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长 60 cm，宽40 cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边.若除丝绸花边外白 色部分的面积为1 750 cm2，求丝绸花边的宽度. 解：设丝绸花边的宽度为x cm， 由题意，得(60－2x)(40－x)=1 750. 整理，得x2－70x＋325=0， 解得x1=5，x2=65(舍去). 答：丝绸花边的宽度为5 cm. 9. (2021山西17题)2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上 可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最 大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答). 解：设这个最小数为x，则最大数为(x＋8)，(1分) 由题意，得x(x＋8)=65，(3分) 解得x1=5，x2=－13(不符合题意，舍去).(5分) 答：这个最小数为5.(6分) 不等式的实际应用 10. (2022山西14题)某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出 售.“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格 降价出售，则该护眼灯最多可降价 元. 【解析】设该护眼灯降价x元，由题意，得(320－240－x)≥240×20%，解 得x≤32，∴该护眼灯最多可降价32元. 32 11. (2024山西17题)为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭 火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器 的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最 多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 解：设可购买这种型号的水基灭火器x个， 则可购买干粉灭火器(50－x)个，(1分) 由题意，得540x＋380(50－x)≤21 000(0＜x≤50)，(4分) 解得x≤12.5，(6分) ∵x为整数，且x要取最大值， ∴x=12. 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个.(7分) 12. (2023山西19题)风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的 交通要塞 .该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通 行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部 件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输，已知1个A部件和2个B部件 的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等. (1) 求1个A部件和1个B部件的质量各是多少？ 解：(1)设一个A部件的质量为x吨， 一个B部件的质量为y吨，(1分) 解得(4分) 答：一个A部件的质量为1.2吨， 一个B部件的质量为0.8吨； 由题意，得(3分) 现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件 和3个B部件组成，这种设备必须成套运输，已知1个A部件和2个B部件的 总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等. (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种 设备？ (2)设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥，(6分) 由题意，得(1.2＋0.8×3)m＋8≤30，(7分) 解得m≤.(8分) ∵m为整数， ∴m=6. 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.(9分) $第二章　方程(组)与不等式(组) 解一元一次方程与不等式(组) 真题、模拟题随堂练 等式与不等式的基本性质(常在实际应用中涉及考查) 1. (人教七下习题改编)根据等式的性质，下列判断一定正确的是(　B　) A. 若a=b，则a＋3=b＋5 B. 若a－4=b－4，则a=b C. 若3a=4b，则= D. 若ac=bc，则a=b B 2. (北师八下例题改编)若a＞b，则下列不等式一定成立的是(　B　) A. a＋2＜b＋2 B. －＜－ C. ac2＞bc2 D. ac＞bc B 3. (数学抽象)已知三种小球的质量分别为a，b，c，如图，将小球放置在天 平托盘上，天平右侧向下倾斜，则下列关于小球的质量关系中一定成立的 是(　D　) A. a＞b B. a＞c C. c＞b D. b＞c 【解析】根据图形，天平两边同时去掉一个a和一个c，得到b＞c. D 解一元一次方程及不等式(组) 4. (2025山西5题)不等式组 的解集是 (　C　) A. x＜2 B. x≥3 C. 2＜x≤3 D. 无解 C 5. (2025运城一模)不等式组的解集在数轴上表示正确的是 (　B　) 【解析】由3－x＞0得x＜3，由x＋2≥1得x≥－1，则不等式组的解集为－ 1≤x＜3，其解集在数轴上表示如B选项. B 6. (人教七上习题改编)解方程：=3－. 答题规范 得分要点 给方程每一项乘分母的最小公倍数 系数化为1时，若结果为分数要化到最简 去括号时，若括号前是负号，去括号时每一项都要变号 解：去分母，得2(x＋1)=12－(2－x)， 去括号，得2x＋2=12－2＋x， 移项，得2x－x=12－2－2， 解得x=8. 答题规范 得分要点 7. (2025晋中模拟)解不等式组： 并写出它的所有的正整数解. 解：令 解不等式①，得x≤4， 解不等式②，得x＞－1， ∴该不等式组的解集是－1＜x≤4， ∴该不等式组的正整数解为1，2，3，4. 分别求出每个一元一次不等式的解集 取解集的公共部分，即为不等式组的解集 8. ［2021山西16(2)题］下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并 完成相应任务. ＞－1 解： 2(2x－1)＞3(3x－2)－6 ……… 第一步 4x－2＞9x－6－6 ……………………第二步 4x－9x＞－6－6＋2 …………………第三步 －5x＞－10 ………………………… 第四步 x＞2 ………………………………… 第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 ⁠ (运算律)进行变形的； 乘法分配律(或分配 律) ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ⁠ ⁠； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集. 解：x＜2. 五 不等式两边同除以 －5，不等号的方向没有改变(或不符合不等式的性质3) ＞－1 解： 2(2x－1)＞3(3x－2)－6 ……… 第一步 4x－2＞9x－6－6 ……………………第二步 4x－9x＞－6－6＋2 …………………第三步 －5x＞－10 ………………………… 第四步 x＞2 ………………………………… 第五步 $第二章　方程(组)与不等式(组) 方程(组)的解法(转化思想的运用) 真题、模拟题随堂练 命题点 方程(组)的解法 一、解方程(组) 1. 解二元一次方程组. (1)［2025山西16(2)题］ 答题规范 得分要点 解：(1)①＋②，得4x=12，(1分) 解得x=3，(2分) 将x=3代入②， 得 3＋2y=1，(3分) 解得y=－1，(4分) ∴原方程组的解为(5分) 当其中一个未知数的系数相同或相反时，可利用加减消元法消去未知数x 回代，解得另一个未知数 作答，得出方程的解 (2) (2)令 由①得x=4＋2y③， 将③代入②中，得4(4＋2y)＋3y=5， 解得y=－1， 将y=－1代入③，得x=2， ∴原方程组的解为 答题规范 得分要点 2. 解分式方程. (1)＋2=； 解： (1)去分母，得1＋2(x－3)=x－4， 去括号，得1＋2x－6=x－4， 移项、合并同类项，得x=1， 检验：当x=1时，x－3≠0， ∴x=1是原分式方程的解 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程 去括号时，若括号前是负号，去括号时每一项都要变号 解分式方程求得的x值必须要进行检验 (2)=； (2)去分母，得2x－5=3(x－2)， 去括号，得2x－5=3x－6， 移项、合并同类项，得－x=－1， 解得x=1， 检验：当x=1时，(x－2)(2x－5)≠0， ∴x=1是原分式方程的解 (3)＋1=. (3)原方程可化为＋1=， 方程两边同乘2(x－2)，得2＋2(x－2)=3， 解得x=， 检验：当x=时，2(x－2)≠0， ∴x=是原分式方程的解. 3. 解一元二次方程. (1)(x－1)2－4=0； 解： (1)移项，得(x－1)2=4， 两边开平方，得x－1=±2， ∴x1=3，x2=－1 答题规范 得分要点 (2)3x2＋2x－2=0； (2)∵a=3，b=2，c=－2， ∴b2－4ac=22－4×3×(－2)=28＞0， 则x==， ∴x1=，x2= 先确定各项系数，需注意系数的符号 当b2－4ac≥0时，方程才有解 注意当方程有两个解时要分开写 (3)x2－4x－7=0； (3)∵x2－4x=7， ∴x2－4x＋4=11， ∴(x－2)2=11， ∴x－2=±， ∴x1=2＋，x2=2－ (4)(2025太原一模)x2－9=2(x＋3). (4)方程整理，得(x＋3)(x－3)－2(x＋3)=0， ∴(x＋3)(x－5)=0， ∴x＋3=0或x－5=0， ∴x1=－3，x2=5. 二、根的判别式及根与系数的关系 4. 已知关于x的一元二次方程x2－5x＋m=0，若方程有两个不相等的实数 根，则实数m的取值范围是  ，若方程没有实数根，则m的值 可能是 ⁠. m＜ ​ 8(答案不唯一) 5. (人教九上习题改编)已知方程x2－3x＋2=0的两根分别是x1，x2，请解答 下列问题： (1)x1＋x2= ，x1x2= ⁠； 【解析】∵x1，x2是方程x2－3x＋2=0的两根，∴x1＋x2=3，x1x2=2； (2)＋= ，＋= 　. 【解析】=(x1＋x2)2－2x1x2=9－4=5；＋==. 3 2 5 ​ 也可以先求解出两方程的根再代入计算. 一题多解法 三、解方程(组)过程的探究 6. 下面是小希同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应 任务. 解方程组： 现有两组思路：思路一：第一步将①转化为用含y的代数式表示x，得到方 程③；第二步将③代入②，可消去未知数x. 思路二：第一步给①×3，得到方程③；第二步用③－②，可消去未 知数x. 任务：(1)我选择思路 ，该思路解二元一次方程组的方法为 ⁠ (填“加减消元法”或“代入消元法”)； 一(二) 代 入消元法(加减消元法) (2)按照(1)中选择的思路，完成此方程组的解题过程； 思路一：由①，得x=1－3y ③， 将③代入②，得3(1－3y)＋y=－5， 解得y=1， 将y=1代入③，解得x=－2，∴原方程组的解为 思路二：①×3，得3x＋9y=3③， ③－②，得8y=8， 解得y=1， 将y=1代入①，x＋3=1， 解得x=－2， ∴原方程组的解为 ［(1)(2)选择一种思路解答即可］ (3)上述两种思路的基本思想是“消元”，在此过程中体现的数学思想 是 ⁠. A. 转化思想 B. 公理化思想 C. 演绎思想 D. 数形结合思想 A 7. (2024太原二模改编)下面是小华解分式方程＋1=的过程，请你认 真阅读并完成相应的任务. 解：原方程可变形为＋1=，………………………..第1步 去分母，得2＋2(1－x)=3， …………………………………..第2步 解得x=， ………………………..…………………………… 第3步 检验：将x=代入2(1－x)，2(1－x)≠0， 所以，x=是原方程的解. ……………………………………..第4步 ①上述解答过程中第1步变形逆用了 (填运算律)； 乘法分配律 任务： 解：原方程可变形为＋1=，………………………..第1步 去分母，得2＋2(1－x)=3， …………………………………..第2步 解得x=， ………………………..…………………………… 第3步 检验：将x=代入2(1－x)，2(1－x)≠0， 所以，x=是原方程的解. ……………………………………..第4步 ②上述解答过程中，从第 步开始出错，请你将这步改正 为 ⁠ ⁠； 2 －2＋2(1－x)=3 解：原方程可变形为＋1=，………………………..第1步 去分母，得2＋2(1－x)=3， …………………………………..第2步 解得x=， ………………………..…………………………… 第3步 检验：将x=代入2(1－x)，2(1－x)≠0， 所以，x=是原方程的解. ……………………………………..第4步 ③你写出正确的解答过程. 解：③原方程变形为＋1=， 去分母，得－2＋2(1－x)=3， 去括号，得－2＋2－2x=3， 移项，得－2x=3＋2－2， 合并同类项，得－2x=3， 系数化为1，得x=－， 检验：当x=－时，2(1－x)≠0， ∴x=－是原分式方程的解. 8. (北师九上阅读改编)阅读材料. 一元二次方程的几何解法 我国古代数学家赵爽(公元3~4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载 过一元二次方程(正根)的几何解法，以方程x2＋2x－35=0即x(x＋2)=35为 例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是(x＋x＋2)2.同时它 又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积， 即4×35＋22，因此x=5. 任务： 小颖根据以上解法解方程2x2＋3x－2=0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为x2＋x－1=0，即x( 　　　　　　)=1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形(画图解答)； 如解图，利用四个全等的 矩形构造“空心”大正方形； x＋ ​ 解图 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ⁠，解得原方程的一个根为 ⁠. (x＋x＋ )2=4×1＋ ( )2 x= . 解图 $