2026年寒假结业测试卷02-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

2026年寒假结业测试卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版必修第二册 第9章~第12章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·江苏常州·期末）复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）（24-25高一下·江苏南京·期末）（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5分）（2025·贵州毕节·一模）已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（5分）（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 6．（5分）（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一下·江苏扬州·月考）在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏南通·期中）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高一下·江苏常州·月考）如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则（    ）    A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，且有一解，则的取值范围为 C．若，且，为的内心，则 D．若，则的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·江苏南通·月考）若复数z满足，则 . 13．（5分）（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知三角形，点在上，，若，则 ． 14．（5分）（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·江苏盐城·期中）设为实数，已知向量，. (1)若，求的值； (2)设，向量与的夹角为，求的大小. 16．（15分）（24-25高一下·江苏无锡·期中）若复数，为虚数单位． (1)当复数为纯虚数时，求实数的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 17．（15分）（24-25高一下·江苏南通·期末）已知函数． (1)若，求的最大值和最小值； (2)设为锐角，且，求的值． 18．（17分）（24-25高一下·贵州黔西·月考）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 19．（17分）（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，求的值； (2)若，平分，求的值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假结业测试卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版必修第二册 第9章~第12章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·江苏常州·期末）复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】由复数的运算化简其为标准式，写出对应点的坐标，可得答案. 【解答过程】由，则该复数对应的点为，易知该点在第二象限. 故选：B. 2．（5分）（24-25高一下·江苏南京·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两角差的正弦公式化简可得所求代数式的值. 【解答过程】 . 故选：B. 3．（5分）（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，由，得到，结合三点共线，即可求解. 【解答过程】在中，因为，即为的中点，所以， 又因为，所以， 因为三点共线，可得，所以. 故选：B. 4．（5分）（2025·贵州毕节·一模）已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实系数多项式虚根成对定理，即可求解． 【解答过程】复数满足， 则， 是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根， 故，解得． 故选：B． 5．（5分）（24-25高一下·江苏扬州·月考）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用投影向量的定义推出，利用向量垂直的充要条件列式并化简，整理成关于的方程，求解即得. 【解答过程】因向量在向量上的投影向量为， 可得，即①， 由可得， 又，故可得：， 因为是非零向量，故，解得. 故选：A. 6．（5分）（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【解答过程】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C. 7．（5分）（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【解答过程】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C. 8．（5分）（24-25高一下·江苏扬州·月考）在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，求得，得到，再由为锐角三角形，求得，结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为，可得，且， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以， 因为为锐角三角形，则满足，可得， 由正弦定理得， 又因为，所以，可得，可得. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏南通·期中）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】对A，利用正切的二倍角公式化简；对B，利用两角和的正切公式化简；对C和D，利用二倍角公式和辅助角公式化简. 【解答过程】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高一下·江苏常州·月考）如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】利用向量的线性运算即可判断AB；对于CD，利用向量的线性运算与数量积运算即可判断. 【解答过程】对于A，，A正确；      对于B，由题意得为的中点，所以，B不正确； 对于C，因为为中点，，则， 所以，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若，且有一解，则的取值范围为 C．若，且，为的内心，则 D．若，则的取值范围为 【答案】ABD 【解题思路】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦判断A；利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式求得的范围判断B；利用正弦定理求出角及，由等面积法求得内切圆半径，进而求出的面积判断C；由正弦定理得，再求出角的范围判断D. 【解答过程】对于A，由，得， 即，而，因此，A正确； 对于B，由余弦定理得，整理得， 由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或， 解得或，B正确； 对于C，由，得，又，则， 即， 而，解得，由，得为锐角，则， 因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为， 则，， 因此，C错误； 对于D，由正弦定理可得， ，即, 在中，，解得，，则，D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·江苏南通·月考）若复数z满足，则 . 【答案】 【解题思路】根据复数的除法运算先求出，由共轭复数的意可求得，进而求出. 【解答过程】由，可得， 所以，. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知三角形，点在上，，若，则 ． 【答案】 【解题思路】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得解. 【解答过程】由可得，所以， 根据平面向量基本定理可得，故. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【解答过程】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的有两个，即三角形有两解， 所以，且，则， 即，解得， 则c的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·江苏盐城·期中）设为实数，已知向量，. (1)若，求的值； (2)设，向量与的夹角为，求的大小. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用共线向量的坐标表示，列式求解. （2）利用向量垂直的坐标表示求出，再利用向量夹角公式求解. 【解答过程】（1）向量，，由，得， 所以. （2）依题意，，由，得，解得， 因此，，，，， 则，而， 所以. 16．（15分）（24-25高一下·江苏无锡·期中）若复数，为虚数单位． (1)当复数为纯虚数时，求实数的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据复数为纯虚数，利用复数的概念，列出方程组，求得的值； （2）当时，得到，根据题意，得到是方程的一个根，结合方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解. 【解答过程】（1）解：由复数， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. （2）解：当时，可得， 由复数是方程的一个根，则是方程的一个根， 解方程的两个根为和， 则，即，解得. 17．（15分）（24-25高一下·江苏南通·期末）已知函数． (1)若，求的最大值和最小值； (2)设为锐角，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行恒等变换，再根据定义域，求出值域，求出最大值和最小值. （2）根据同角三角函数的平方关系，和两角和的余弦公式，求出的余弦值，判断角的值. 【解答过程】（1）由题意得， 当时，， 所以的最大值是2，最小值是. （2）则，同理， 由，得， 因为为锐角，所以，则. 18．（17分）（24-25高一下·贵州黔西·月考）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据平面向量基本定理即可写出答案； （2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明，，三点共线. 【解答过程】（1）因为是的中点，是线段上靠近点的三等分点， 所以，， 因为，， 所以， （2）证明：因为， 所以， 由（1）知，， 所以 所以与平行， 又与有公共点，所以，，三点共线. 19．（17分）（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，求的值； (2)若，平分，求的值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【解题思路】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； （3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域. 【解答过程】（1）由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． （2）由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． （3）在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 所以周长的取值范围为． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $