第10讲 菱形（2个知识点+6个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第10讲 菱形 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：6大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 菱形的定义及性质】 1.菱形的定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形. （1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可. （2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法. 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质， 性质 数学语言 图形 边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， . 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， , 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 （1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线. （2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和. （3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形. 3.菱形的面积： 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高. 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. 【知识点2 菱形的判定】 判定方法 数学语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）. 在中， 是菱形. 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形中， 四边形是菱形. 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， 是菱形. 【题型1 利用菱形的性质求解】 【例1-1】如图，在边长为5的菱形中，，于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由菱形的性质可知，则由勾股定理可求，根据可求长． 【详解】解：菱形的边长为5，， ，，； ； ， ． 故答案为：． 【例1-2】如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/24度 【分析】利用菱形性质得出，可知为斜边中线，结合等腰三角形的性质求出，利用外角即可求出的值． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【例1-3】如图，点E、F分别在菱形边、上，，如果的面积是6，的面积为9，那么的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形中线的性质，菱形的性质．连接，，利用三角形中线的性质求得，，推出，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 的面积为， 故答案为：15． 【变式1-1】如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先证明，得到，再利用“三线合一”解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的勾股定理以及辅助线的构造方法。掌握通过菱形性质推导等边三角形，并利用勾股定理在直角三角形中逐步求解线段长度是解题的关键．首先，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得出对角线；其次，设，通过的角性质得到，结合的等量关系求出，确定和的长度；最后，作构造直角三角形，通过勾股定理逐步计算、和，最终在中求得． 【详解】解：在菱形中，，， 则， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵过点作于点， ∴， 在中，，， ∴， 由， 得，解得， 故，， 过P作于点M， ∵， ∴ 在中，，， ∴， 在中，，由勾股定理可得： ， ， 在中，，由勾股定理可得： ． 故答案为：． 【变式1-3】如图，在菱形中，，，E，F分别是和的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长度为 cm． 【答案】10 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识；连接，交于点O，证四边形是平行四边形，得，利用勾股定理求出的长，，即可求出． 【详解】解：连接，交于点O，如图： ∵菱形的边长为， ∴，， ∵ 点E、F分别是边的中点， ∴， ∵是菱形的对角线，， ∴，，， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 【变式1-4】如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质及面积求法，三角形面积公式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点作于点，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式，得到，证明是等腰直角三角形，从而得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：连接，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴由勾股定理可得，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1-5】已知菱形的一个内角，对角线相交于点O，点E在菱形的边上，且与顶点不重合，若，则的度数为 度． 【答案】10或170/170或10 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握知识并能够分类讨论是解题的关键．分点E在上时和点在上时两种情况讨论即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 当点E在上时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在上时， ∵， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：10或170． 【题型2 菱形与折叠问题】 【例2】如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上.若，则的长为 . 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、角的直角三角形的性质、折叠性质等知识．过点M作于点F．求出．则，．设，则，，，．根据勾股定理，得，即，解得，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点M作于点F．    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴，． 设，则，，，． 根据勾股定理，得，即， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】如图，菱形的对角线长分别为6和8，点为对角线的交点，过点O折叠菱形，点B，C的对应点分别为点，，是折痕．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，延长交的延长线于点E，利用等面积法求出的长，根据对称性求出角度，再利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， 在中，， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或 【变式2-3】如图，四边形是菱形，，，点是射线上一动点，把沿折叠，其中点的对应点为，连接，若为等边三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．分两种情况进行讨论：当点在上时，当点在延长线上时，依据折叠的性质、等边三角形的性质以及含角直角三角形的性质，即可得到和的度数，进而得到的长． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， 分两种情况： 如图，当点在上时，点与点重合时，此时为等边三角形， 由折叠可得，， ， 在中，； ②如图，当点在延长线上时，当为等边三角形时，， ， 由折叠可得，， ， 在中，． 故答案为：或． 【题型3 利用菱形的性质证明】 【例3】已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点E，，且． (1)如图1，当点是线段的中点时，直接写出线段，，之间的数量关系； (2)如图2，当点是线段上任意一点时（点不与，重合），求证：； (3)如图3，当点在线段的延长线上，且时，求的长度． 【答案】(1)．理由见解析 (2)见解析 (3)的长度为 【分析】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、锐角的三角函数等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线． （1）先证明，再证明，得出，由此证明是等边三角形，即可得出结论； （2）欲证明，只要证明即可； （3）过点A作于点，先求出，然后证明，即可得出． 【详解】（1）解：连接，如图1 ∵在菱形中，，， 为等边三角形，， 为中点， ， ∵， ， 在和中， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）证明：连接，如图2， ∵在菱形中，，， ∴，为等边三角形， ∴，， 又， ， ， 在和中， ， ； （3）过点作于点， 在中，，， ，，， 又， 为等腰直角三角形， ， ， ∵在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ，， ， 在和中， ∴， ， 【变式3-1】在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． (1)若点M是的中点，求证：； (2)若，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，由勾股定理即可得证； （2）过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接，再根据判定，再根据判定，得出，结合角平分线的判定定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 点M是的中点， ，， ， ； （2）解：过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接， 由（1）知，和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 又，， ， ， ，， 平分， ， ， ． 【变式3-2】如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合． (1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有； (2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化，理由见详解 【分析】本题主要考查菱形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）根据题意得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积不会发生变化，理由如下， 已知， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点G， ∴，， ∴， ∴点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化． 【变式3-3】如图，点P是菱形的对角线上一点，连接，，点E在边上，连接． (1)求证：； (2)若． ①求证：； ②试探究与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②，理由见解析 【分析】（1）证明，可得． （2）①证明，结合，可得，可得，可得； ②延长至M，使，过点P作于，连接，如下图所示：证明，可得，证明，，结合在中，，，进一步可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）证明：①∵四边形是菱形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 延长至M，使，过点P作于，连接，如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∴． 【题型4 菱形的判定条件】 【例4】如图，四边形是平行四边形，给出下列四个条件：①；②；③；④平分．若添加其中一个条件，不能使四边形是菱形的为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．根据菱形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、添加，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以得出四边形是菱形，不符合题意； B、添加，不能得出四边形是菱形，故符合题意； C、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得出四边形是菱形，不符合题意； D、四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴添加平分，可以得出四边形是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、、，与交于点，添加下列条件不能使四边形成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是一道关于菱形判定的题目，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质； 根据平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定对选项一一进行判定即可求解； 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ， 四边形为平行四边形． A．， ， 又， ， 四边形为菱形，故本选项正确； B．无法判定平行四边形是菱形，故本选项错误； C．， ，， 对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确； D．，， ， 平行四边形为菱形，故本选项正确． 故选B． 【变式4-2】如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4-3】如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件 能使四边形是菱形． 【答案】②③/③② 【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定定理，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由，得到四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理求解即可． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形 若添加条件①，可以证明四边形是矩形，不能证明是菱形，故①不符合题意； 若添加条件②平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故②符合题意； 若添加条件③， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故③符合题意； 综上所述，选择条件②③能使四边形是菱形． 故答案为：②③． 【题型5 证明四边形是菱形】 【例5】在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形．请你判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由见解析． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，得出，再证明四边形为平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴，， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 【变式5-1】如图，在中，点分别是边的中点，连结，且与对角线分别相交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． ()根据平行四边形的性质可得，根据点分别是边的中点，可得，则四边形是平行四边形，进而证明，得出，即可得证； ()根据()的结论得出四边形是平行四边形，根据已知可得，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点分别是边的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ． （2）连接， 由（）知，，， 四边形是平行四边形， 点分别是边的中点， ， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形． 【变式5-2】已知：如图，的对角线，交于点O，分别过点A，B作，，连接交于点F． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形得，证明四边形是平行四边形，则有，然后根据证明即可； （2）证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出四边形为菱形． 【详解】（1）证明：的对角线，交于点O，，， ，四边形是平行四边形，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：当时，四边形为菱形；理由如下： 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形为菱形． 【变式5-3】如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交BE的延长线于F，且，连接CF． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解答 (2)四边形是菱形，证明见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定，全等三角形的性质与判定等知识﹒ （1）根据“”即可证明； （2）连接交于点，先分别证明四边形，四边形是平行四边形，得到，进而证明，即可证明是菱形﹒ 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形﹒ 证明：如图，连接交于点﹒ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形﹒ 【题型6 菱形的判定与性质综合】 【例6】如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理是解题的关键． （1）先证明，利用证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的长为． 【变式6-1】【问题背景】 如图，在中，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． 【探索求证】 （1）求证：四边形为菱形； 【问题解决】 （2）在的延长线上取一点，连接，使得．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． （1）根据平行四边形的性质可证，，根据点、分别是、的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质和三角形外角的性质可知，利用勾股定理可求，过点作于点，在中，利用勾股定理可求，从而可得：，在中利用勾股定理可求． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）可知四边形是菱形， ，，， ， ， ， ∵四边形是菱形，，， ，， ， ， 如下图所示，过点作于点， 则， ， ， 解得：， 在中，， ， 在中，， 的长度是． 【变式6-2】已知：如图，在平行四边形中，M，N分别是，的中点，，连接交于点O． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)过点C作 于点E， 交于点P， 若 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，，求出，，利用证得； （2）首先证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质求出，可得平行四边形是菱形，然后根据菱形的性质可得答案； （3）证明，可求出，然后由含角的直角三角形的性质求出，再证明，进而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵M是的中点，， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴； （3）解：由（2）得， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-3】已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)求：的值． (3)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)24 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，中位线，全等三角形的判定与性质，线段的和差，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得 ，可证，进而可求解； (2) 分别作的中点M，N，连接，先证明，继而证明，得到，推导出， 即，则，即可解答． （3）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：分别作的中点M，N，连接，如图 ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （3）连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是中线， ∴， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积=． 1．如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到是解题的关键． 先证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点O为菱形对角线的交点， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 2．如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则 ． 【答案】 【分析】连接，过点C作交于点G，证明四边形是平行四边形，是等边三角形，设，则根据勾股定理列式解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点C作交于点G， ∵四边形是菱形，且菱形的边长为，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴，， ∵边的中点是， ∴， ∴， 设， 则 ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 3．如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得平分，由角平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】四边形是菱形， 平分， ， 又 ， ， ， ， 菱形的面积， 故答案为：． 4．如图，在菱形中，，，，分别是边和的延长线上一点，且，以为边作，连接相交于点是的中点，连接．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质得出，证出是等边三角形，，证明四边形是菱形，得出，，，，再证出，根据勾股定理得出，根据H是的中点，得出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有 （只填写序号）．    【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④正确； 所以正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 6．如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．根据，，可得四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线平分，可得，由此可推出，再结合菱形的判定可知平行四边形即为菱形，进而判断①说法错误； 根据菱形的性质，可得、上一些对应条件，则可得出两三角形是否全等，判断②说法正确； 根据只有当为中点，为中点时，比较四边形的面积与的面积的关系，进而得到③说法错误； 根据菱形性质可得，，据此判断④说法正确，从而完成解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 同理可得四边形是菱形， 即有3个菱形，菱形、菱形、菱形， ①说法错误； 四边形是菱形， ， 在和中，， ， ②说法正确； 只有当为中点，为中点时，四边形的面积等于的面积的一半， ③说法错误； 易证四边形、四边形是菱形，四边形、四边形是平行四边形， ， ， 同理， 四边形的周长=四边形的周长， ④说法正确； 故答案为：②④． 7．如图，在中，，，，分别为边，的中点，连接并延长到点，使，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】要证明四边形是菱形，需先证明它是平行四边形，再证明一组邻边相等．可利用三角形中位线定理得到线段的平行和数量关系，结合直角三角形的性质推出边相等． 【详解】解：，分别为，的中点， ，． ， ，， 四边形为平行四边形． 在中，， ． ， 是等边三角形， ， ∴四边形为是菱形． 8．如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状 【答案】(1)见解析 (2)选①时，四边形是菱形，理由见解析；选②时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握这些特殊四边形的判定与性质； （1）根据平行四边形和平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）选①时，先证明平行四边形是矩形，可得出，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证；选②时，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，结合已知和平行四边形的性质可证得，然后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴； （2）解：选①时，四边形是菱形； 理由：如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 又， ∴平行四边形是菱形； 选②时，四边形是矩形； 理由：如图， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴平行四边形是矩形． 9．四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称， ∴； ∵，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 10．如图1，中，对角线的中垂线分别交于点E，O，F． (1)连结，请判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，连结，求的度数： (3)如图2，连结交于点G，若，，，求的度数和的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析． (2) (3)， 【分析】（1）由可证，可得，由菱形的判定可求解； （2）由平行四边形的性质可得，由菱形的性质可求，即可求解； （3）由面积关系可求，由勾股定理可求m的长，由面积关系可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由如下： 在中， ∵， ∴． ∵为中垂线， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（1）得，四边形是菱形， ∴， ∴； （3）解：在中， ∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ，即， ∴， ∴设，则，， 在中：，即， 在中：， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∵，， 过点A作于点H， ， 解得， 在中，，， ， ， 在Rt中，． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 菱形 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：6大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 菱形的定义及性质】 1.菱形的定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形. （1）菱形必须具备两个条件：①是平行四边形；②是有一组邻边相等.这两个条件缺一不可. （2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法. 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质， 性质 数学语言 图形 边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， . 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， , 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 （1）菱形的两条对称轴分别是两条对角线所在直线. （2）菱形的两条对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形.把菱形的性质与勾股定理相联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线一半的平方和. （3）如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形. 3.菱形的面积： 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高. 菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半 【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半. 【知识点2 菱形的判定】 判定方法 数学语言 图示 边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）. 在中， 是菱形. 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形中， 四边形是菱形. 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， 是菱形. 【题型1 利用菱形的性质求解】 【例1-1】如图，在边长为5的菱形中，，于点，则的长为 ． 【例1-2】如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是 ． 【例1-3】如图，点E、F分别在菱形边、上，，如果的面积是6，的面积为9，那么的面积为 ． 【变式1-1】如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点，连接．若，则的度数为 ． 【变式1-2】如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，，则的长为 ． 【变式1-3】如图，在菱形中，，，E，F分别是和的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长度为 cm． 【变式1-4】如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 ． 【变式1-5】已知菱形的一个内角，对角线相交于点O，点E在菱形的边上，且与顶点不重合，若，则的度数为 度． 【题型2 菱形与折叠问题】 【例2】如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上.若，则的长为 . 【变式2-1】如图，菱形的对角线长分别为6和8，点为对角线的交点，过点O折叠菱形，点B，C的对应点分别为点，，是折痕．若，则的长为 ． 【变式2-2】如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【变式2-3】如图，四边形是菱形，，，点是射线上一动点，把沿折叠，其中点的对应点为，连接，若为等边三角形，则的长为 ． 【题型3 利用菱形的性质证明】 【例3】已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点E，，且． (1)如图1，当点是线段的中点时，直接写出线段，，之间的数量关系； (2)如图2，当点是线段上任意一点时（点不与，重合），求证：； (3)如图3，当点在线段的延长线上，且时，求的长度． 【变式3-1】在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． (1)若点M是的中点，求证：； (2)若，试求的度数． 【变式3-2】如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合． (1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有； (2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由． 【变式3-3】如图，点P是菱形的对角线上一点，连接，，点E在边上，连接． (1)求证：； (2)若． ①求证：； ②试探究与之间的关系，并说明理由． 【题型4 菱形的判定条件】 【例4】如图，四边形是平行四边形，给出下列四个条件：①；②；③；④平分．若添加其中一个条件，不能使四边形是菱形的为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-1】如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、、，与交于点，添加下列条件不能使四边形成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 【变式4-3】如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件 能使四边形是菱形． 【题型5 证明四边形是菱形】 【例5】在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形．请你判断四边形的形状，并说明理由． 【变式5-1】如图，在中，点分别是边的中点，连结，且与对角线分别相交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【变式5-2】已知：如图，的对角线，交于点O，分别过点A，B作，，连接交于点F． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 【变式5-3】如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交BE的延长线于F，且，连接CF． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【题型6 菱形的判定与性质综合】 【例6】如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【变式6-1】【问题背景】 如图，在中，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． 【探索求证】 （1）求证：四边形为菱形； 【问题解决】 （2）在的延长线上取一点，连接，使得．若，，求的长． 【变式6-2】已知：如图，在平行四边形中，M，N分别是，的中点，，连接交于点O． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)过点C作 于点E， 交于点P， 若 ，求的长． 【变式6-3】已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)求：的值． (3)若，求菱形的面积． 1．如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 ． 2．如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则 ． 3．如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为 ． 4．如图，在菱形中，，，，分别是边和的延长线上一点，且，以为边作，连接相交于点是的中点，连接．则线段的长为 ． 5．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有 （只填写序号）．    6．如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是 ．（填序号） 7．如图，在中，，，，分别为边，的中点，连接并延长到点，使，连接，．求证：四边形是菱形． 8．如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状 9．四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 10．如图1，中，对角线的中垂线分别交于点E，O，F． (1)连结，请判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，连结，求的度数： (3)如图2，连结交于点G，若，，，求的度数和的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $