第11讲 正方形（2个知识点+6个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第11讲 正方形 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：6大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 正方形的定义及性质】 1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 【注意】 （1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可. （2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形. 2.正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质. 元素 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 【注意】 （1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示. （2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半. （3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质. 【知识点2 正方形的判定】 1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形. 2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形. 【注意】 由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形. 【题型1 利用正方形的性质求解】 【例1-1】如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．先由正方形的性质得到，，再证明得到，由等边三角形的性质推出，，据此求出的度数，进而求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例1-2】如图，已知点是正方形外的一点，连接若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，以为对角线画正方形，延长交于点H，得，可得，，再根据勾股定理即可求出的长 【详解】解：如图，以为对角线画正方形，延长交于点H，    ∴，得矩形， ∴ 在中， ∴ ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点．当线段与正方形的某条边的夹角是时，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，四边形内角和，三角形外角的性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：①当与的夹角是时，即，利用四边形内角和求解即可；②当与的夹角是时，即，利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：点为对角线上一点， 线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况： ①当与的夹角是时，即，如图所示： ， ， ， 在四边形中，， ， ； ②当与的夹角是时，即，如图3②所示： 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 【变式1-2】如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等．根据正方形的四个角都是，四条边都相等，对角线平分对角得出，，，根据等边三角形的三个角都是，三条边都相等得出，，求出，，根据等边对等角和三角形内角和是求出，即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 故， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】如图，已知正方形的边长为4，M点为边上的中点，若M点是A点关于线段的对称点，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的运用，连接，由轴对称性质可知，设，则，，由勾股定理得，解方程求出x的值即可． 【详解】解：连接， ∵M、A关于对称， ∴， 设，则，， ∵M点为边上的中点， ∴， 在直角中，由勾股定理得： 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接、，先证明，然后利用勾股定理分别求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得． 【详解】解：连接、，如图， 四边形和四边形都是正方形，，， ，，，， ， ∵，， ，， 在中，， 是的中点， ， 故答案为：． 【题型2 正方形与折叠问题】 【例2】如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：由题意得，， 点是边的中点，且， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ， 的面积为． 故答案为． 【变式2-1】如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，由正方形的性质可得，．过点E作于点H，则四边形是矩形，可得，证明≌，得到．则．设，则，根据勾股定理，得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． 如图，过点E作于点H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠得，， ∴， 又∵， ∴， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， 故答案为；． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则的长为 ；点E的坐标为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．设正方形的边长为，与轴相交于，则四边形 矩形，推出， ，．由折叠的性质，得，．根据点的坐标为 ，点的坐标为，得出， ，所以．在 中，，解得 ，则，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于， 则四边形是矩形， ， ，． 由折叠的性质，得，． 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ． 在中，， ， 解得，即， ，． 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为 ． 故答案为：5，． 【变式2-3】如图，在正方形中，是边上的一点，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接．则（1） ．（2） ． 【答案】 /45度 24 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠，勾股定理解决本题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可解答； （2）设，则，可得，然后在中，利用勾股定理求出x的值，即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠的性质得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴． 故答案为：24 【题型3 利用菱形的性质证明】 【例3】（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，以及在正方形背景下利用这些知识解决问题．解题的关键在于利用正方形的性质找出证明全等三角形所需的条件．在（3）中，构造全等三角形是解题的关键步骤，通过合理的辅助线找到与已知条件相关的全等关系． （1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明． （2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明． 【详解】证明：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； 【变式3-1】如图，在正方形中，是边上任意一点（不与点，重合），于点，交于点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由正方形的性质得，，由得，根据同角的余角相等可以证明，由得，则，于是可以证明，得，最后根据线段的和差关系以及等量代换即可得到结论． 【详解】证明：四边形是正方形， ，． ， ，， ． 又， ， 在和中， ， ， ． 【变式3-2】如图，在正方形中，E为延长线上一点，且 ，F 为的中点，的延长线交于点 G ，连接． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】（1）证明，得，得，即得． （2）如图，过点G作于点H，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明，即得． 【详解】（1）解：∵F为的中点， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）证明：如图，过点G作于点H． 则． ∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【变式3-3】已知：如图，正方形中，点是对角线上的一个动点． (1)求证：； (2)如图2，点为边的中点，当点运动到线段上时，连接，相交于点． ①请你根据题意在图2中补全图形； ②猜想与的位置关系，并证明此猜想． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的应用；熟练掌握正方形的性质并准确找出全等三角形是解决本题的关键． （1）由正方形的性质得出，，由证明； （2）①根据题意补全图形即可；②由（1）得：，得出，由证明，得出，再由直角三角形的性质得出，得出，证出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：①补全图形，如图2所示： ②， 理由如下：如图3所示： 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型4 正方形的判定条件】 【例4-1】在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【例4-2】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊四边形的关系，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 根据四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 对角线垂直的矩形是正方形，故选项B正确，不符合题意； 邻边相等的平行四边形是菱形，平行四边形的对边本身就相等，故选项C错误，符合题意； 对角线相等的菱形是正方形，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】如图，的对角线、交于点，，要使为正方形还需增加一个条件．在条件①；②；③；④中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】先根据已知条件判断平行四边形为矩形，再逐一分析每个条件，看能否使矩形成为正方形． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，， ∴ ， 又∵ 平行四边形对角线互相平分，即，， ∴ ， ∴ 平行四边形是矩形． ①，矩形的邻边相等，则为正方形，故①正确； ②，矩形的对角线互相垂直，则为正方形，故②正确； ③，矩形本身对角线相等，不能判定为正方形，故③错误； ④，矩形本身角为直角，不能判定为正方形，故④错误． 故选：A． 【变式4-2】如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ∵ ， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ∵ ， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形， 但当 ，四边形不一定是正方形，故添加不使平行四边形成为正方形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形， ∵ ， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 故选：． 【变式4-3】如图在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理，正方形的判定定理逐项判定解答即可． 【详解】解：在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且， ， ， ， 四边形是菱形， 当添加时，则， 故四边形是菱形， 故A错误，该选项不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B错误，该选项不符合题意； 当时， ， ， ， 菱形是正方形， 故C正确，该选项符合题意； 当E为的中点时，得到， 无法判定菱形是正方形， 故D错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【题型5 证明四边形是正方形】 【例5】如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形. 【分析】由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证； 【详解】证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又 ， ， ， 四边形是正方形； 【变式5-1】如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 【变式5-2】如图，在中，，过点的直线，为边上的点．过点作交直线与点，垂足为，连接，．若为的中点，则当满足什么条件时，四边形是正方形．请说明理由． 【答案】当为等腰直角三角形时，四边形是正方形．理由见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，先结合为边上的点．得，因为，，则，得，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形．结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得四边形是菱形，最后由对角线相等的菱形是正方形进行作答即可． 【详解】解：当为等腰直角三角形时，四边形是正方形．理由如下： 为的中点， ． ， ． ∵ ∴， ． 又， 四边形是平行四边形， ， ． ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 四边形是平行四边形， ． 又∵为等腰直角三角形 ∴， ， 四边形是正方形． 【变式5-3】如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． (1)线段和的位置关系 ________； (2)线段与的数量关系 ________； (3)当点在边上运动到什么位置，四边形是矩形，请说明理由； (4)在（3）问的基础上，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)当点运动到中点时，四边形为矩形． (4)当时，矩形是正方形． 【分析】（1）由角平分线的性质和平角的性质，即可求解； （2）由角平分线的性质和平行线的性质可得，，可得； （3）利用矩形的判定可求解； （4）利用正方形的判定可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵平分，平分， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：．理由如下 ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． （3）解：运动到中点时，四边形是矩形．理由如下： ∵为中点， ∴， 由（）得， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴当点运动到中点时，四边形为矩形． （4）解：当时，矩形是正方形．理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由（3）得当点运动到中点时，四边形为矩形． ∴矩形是正方形． 【题型6 正方形的判定与性质综合】 【例6】如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形、菱形、正方形的判定，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、正方形的判定方法即可求证； （）在延长线上截取，连接，，由四边形是正方形，则，，证明，，设，则，，则，即，求出，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，在延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接，证明，设，则，可得为等腰直角三角形，，则，即可求解． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴ ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵，而由（1）得 ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【变式6-2】如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)过点作，交于点，连接，交于点，若点是的中点，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟知正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，则可利用证明； （2）过点E作于M，于N，由正方形的性质得到，由角平分线的性质得到，则可证明四边形是正方形，得到，证明，得到，则；利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图所示，过点E作于M，于N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； 【变式6-3】如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据正方形性质，得，结合，得，即得； （2）①证明：如图，作于M，于N，证明四边形是矩形，得，得，由角平分线性质，得，得，得，即得矩形是正方形；②根据正方形性质，得， ，得，得，∴．由，得． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①证明：如图，作于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②， 理由如下， ∵矩形为正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 1．已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；根据正方形的判定方法解答即可． 【详解】解：选项A（①②）： 条件①：平行四边形邻边相等，说明是菱形， 条件②：同理，邻边相等，仍为菱形， 两条件均使四边形为菱形，但无法保证存在直角，故不能判定为正方形； 选项B（②③）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件③（对角线相等）使平行四边形为矩形，故能判定四边形为正方形； 选项C（①④）： 条件①使平行四边形为菱形， 条件④：菱形邻角互补，又相等则每个角为，故能判定四边形为正方形； 选项D（②④）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件④同理使每个角为90°，故能判定四边形为正方形； 故选：A． 2．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及三角形的内角和，先根据折叠得到，，，，，根据三角形的内角和为得，再根据三角形的外角得到，计算出，从而得到的度数． 【详解】四边形是正方形，点为边的中点， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，已知是以正方形的对角线为一边的等边三角形，，垂足为点，那么的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】根据正方形性质得，，根据等边三角形性质得，由此可依据“”判定和全等得，进而得，则，然后根据即可得出的度数． 此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，在边长为3的正方形中，点、分别是、边上一点且，连接和相交于点，点是边上的一点，当时， ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，证明得出是解题关键. 先证明，从而可得，再利用面积法求出斜边的高，从而可得，在中，利用勾股定理即可求出. 【详解】解：∵边长为3的正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴. 故答案为. 5．如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形． 【答案】90° 【分析】要确定的度数使四边形为正方形，需先分析四边形的形状，利用角平分线、平行线的性质及正方形的判定条件推导． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理，平分，． ∴． ∵是边的中点， ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 当时，平分， 可得：． ∵， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，． ∴矩形是正方形． 故答案为： ． 6．将2025个边长为2的正方形，按照如图所示方式摆放，，，，，，……是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．连接， ，先证明，从而可得 ，然后可求阴影部分面积之和． 【详解】解：如图，连接， ，    ∵四边形是正方形， ∴， ． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为． ∴n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为． 所以这个正方形重叠部分的面积和， 故答案为：． 7．已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若 (1)求证：四边形是正方形； (2)E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据菱形的性质可知，，，可得，再结合即可变换为，得到即可证得四边形是正方形； （2）根据正方形的性质易得，，再根据，可得，结合即可得到，证得，从而得到． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，对角线与相交于点O，   ，，， ， ，   ， ，   ，   四边形是正方形； （2）证明：四边形是正方形 ； ，，，，   ，，   ，垂足为， ，，   ， ，   在和， ， ， ． 8．如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形，理由见解析 【分析】（）证明得，进而得，得到四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）先证四边形是平行四边形，得到，可得，进而得到，即可得，得到，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由（）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形． 9．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： (1)； (2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为正方形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后可证明，再利用来判定即可得解； （2）如图，连接交于，证明，可得四边形为平行四边形，结合，可得四边形为菱形，证明，可得四边形为正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵点E，F是对角线上的三等分点， ∴， ∴． （2）解：四边形为正方形．理由如下： 如图，连接交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形． 10．（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）由已知四边形为正方形得出，，证明，得到，，再利用，，通过角度等量代换得到，进一步证明，此时进一步通过线段等量代换证明； （2）在上截取，连接，构造全等三角形，证明，得到，，再通过（1）的方法进行角度等量代换得到，进一步证明，此时进一步通过线段等量代换证明． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由如下：如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 正方形 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：6大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 正方形的定义及性质】 1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 【注意】 （1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可. （2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形. 2.正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质. 元素 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 【注意】 （1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示. （2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半. （3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质. 【知识点2 正方形的判定】 1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形. 2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形. 【注意】 由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形. 【题型1 利用正方形的性质求解】 【例1-1】如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则 °． 【例1-2】如图，已知点是正方形外的一点，连接若，，则的长为 ．    【变式1-1】如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点．当线段与正方形的某条边的夹角是时，则的度数是 ． 【变式1-2】如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ． 【变式1-3】如图，已知正方形的边长为4，M点为边上的中点，若M点是A点关于线段的对称点，则等于 ． 【变式1-4】如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为 ． 【题型2 正方形与折叠问题】 【例2】如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为 ． 【变式2-1】如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为 ． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则的长为 ；点E的坐标为 ． 【变式2-3】如图，在正方形中，是边上的一点，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接．则（1） ．（2） ． 【题型3 利用菱形的性质证明】 【例3】（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【变式3-1】如图，在正方形中，是边上任意一点（不与点，重合），于点，交于点，连接，．求证：． 【变式3-2】如图，在正方形中，E为延长线上一点，且 ，F 为的中点，的延长线交于点 G ，连接． (1)求的值； (2)求证：． 【变式3-3】已知：如图，正方形中，点是对角线上的一个动点． (1)求证：； (2)如图2，点为边的中点，当点运动到线段上时，连接，相交于点． ①请你根据题意在图2中补全图形； ②猜想与的位置关系，并证明此猜想． 【题型4 正方形的判定条件】 【例4-1】在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 【例4-2】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【变式4-1】如图，的对角线、交于点，，要使为正方形还需增加一个条件．在条件①；②；③；④中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【变式4-2】如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式4-3】如图在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ） A． B． C． D． 【题型5 证明四边形是正方形】 【例5】如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形. 【变式5-1】如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【变式5-2】如图，在中，，过点的直线，为边上的点．过点作交直线与点，垂足为，连接，．若为的中点，则当满足什么条件时，四边形是正方形．请说明理由． 【变式5-3】如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． (1)线段和的位置关系 ________； (2)线段与的数量关系 ________； (3)当点在边上运动到什么位置，四边形是矩形，请说明理由； (4)在（3）问的基础上，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【题型6 正方形的判定与性质综合】 【例6】如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 【变式6-1】如图，在矩形中，的平分线交于点于点于点与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【变式6-2】如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)过点作，交于点，连接，交于点，若点是的中点，求线段的长． 【变式6-3】如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 1．已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 2．如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为 ． 3．如图，已知是以正方形的对角线为一边的等边三角形，，垂足为点，那么的度数是 ． 4．如图，在边长为3的正方形中，点、分别是、边上一点且，连接和相交于点，点是边上的一点，当时， ． 5．如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形． 6．将2025个边长为2的正方形，按照如图所示方式摆放，，，，，，……是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于 ． 7．已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若 (1)求证：四边形是正方形； (2)E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：． 8．如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 9．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上的三等分点，连接．求证： (1)； (2)连接，若，且，判断四边形的形状，并证明． 10．（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $