精品解析：浙江省金华市开发区2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试题

2025学年第一学期九年级期末学业水平检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号，并在试卷首页指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知 的半径为4，点 在 外， 的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线， 分别与，，相交于点， ，和点， ， ．若， ，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明袋子中有20个白球、6个黑球、3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，取出某一颜色球的频率稳定在 ，则该球的颜色最可能是（ ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的倍的位似图形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数 的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法准确判断 8. 如图，弦，相交于点 ，且点为的中点，连接 ， ，．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽 为 、高 为 ，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线 开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的两个交点分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，b，则的值为______． 12. 刮刮乐是中国福利彩票发行中心发行的网点即开型福利彩票，返奖率达 ．某彩票点12月份总计销售这种刮刮乐彩票2万元，该彩票店12月份刮刮乐开出奖金的期望值为__________． 13. 两个相似三角形的对应面积之比是，如果较小三角形的周长是厘米，那么较大三角形的周长是__________厘米． 14. 如图，四边形是半圆 的内接四边形， 是直径，．若，则的度数为__________． 15. 已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为__________ 16. 如图，点是半径为2的圆上一点，内接于该圆，，将线段 绕点逆时针旋转 得到线段 ，直线 与圆的另一个交点记为 ，连接，，则线段的取值范围为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数 的图象经过，两点．求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上． 18. 杭州学生小明制定了今年寒假的游玩计划：第一站到上海，第二站到北京．因为是自由行，所以他的出行交通选择都是随机的．已知杭州到上海的交通选择有3种：大巴，高铁，飞机，上海到北京的交通选择有2种：高铁和飞机． （1）求小明从杭州到上海选择高铁的概率； （2）用树状图或表格求小明恰好两站出行交通方式相同的概率 19. 如图1是2012年6月6日上演的“金星凌日”的照片．金星轨道在地球轨道内侧，某些特殊时刻，地球、金星、太阳会在一条直线上，这时从地球上可以看到金星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动，天文学称之为“金星凌日”．已知金星距太阳约千米，地球距太阳约150000000千米，图2表示2012年6月6日太阳和地球的位置， （1）用科学记数法表示地球与太阳的距离； （2）请你在图2中利用直尺和圆规找到“金星凌日”时金星的位置，用点 表示（保留作图痕迹）． 20. 三个全等的矩形如图所示摆放，已知矩形长为 宽为，，，求 和的长度． 21. 如图，在中， 平分是 上一点，且 ． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，为等边三角形，，图中大圆为的外接圆，小圆为的内切圆． （1）请分别求出的外接圆和内切圆的半径； （2）求阴影部分面积． 23. 如图是一座抛物线型拱桥的示意图，当水面宽为 时，桥洞顶部离水面高 ．以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式． （2）现在需要对拱桥进行夜景改造，在桥洞的拱形上安装 盏彩灯，为了美观需要 盏彩灯相邻两盏之间距离相等，其中， ，三点分别安装一盏．另外两盏分别安装在哪个位置？小聪给出了一种安装思路：将 四等分，然后把两盏灯分别安装在距离点 和 的等分点的正上方． ① 请计算说明小聪的方案是错误的． ②请你求出正确的安装位置坐标． 24. 如图，， 是 的切线，切点分别为， ．连接并延长，交 于点，． （1）求证：平分． （2）如图，若四边形为菱形，，求 的长度． （3）如图，过圆心 作，交的角平分线于点．已知，．设，的面积为 ，求 关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期末学业水平检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号，并在试卷首页指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 3. 如图，直线，直线， 分别与，，相交于点 ，，和点 ，，．若， ，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：直线，， ， ， 即， ． 故选：D． 4. 一个不透明袋子中有20个白球、6个黑球、3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，取出某一颜色球的频率稳定在 ，则该球的颜色最可能是（ ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为 ，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：根据题意，该球的频率稳定在 左右，所以抽到该球的概率为 ， 总球数为， ∵抽到白球的概率为：， 抽到黑球的概率为：， 抽到红球的概率为：， 抽到黄球的概率为：， ∴该球的颜色最有可能是黑色． 故选：C． 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据tanB＝ 即可解答． 【详解】解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝． ∴tanB＝． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理及锐角三角函数的定义，即在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 6. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的倍的位似图形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的位似三角形，解题关键是掌握位似三角形的性质和坐标规律． 根据平面直角坐标系内位似图形的性质和坐标规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：，且相似比为 ， ， ，， ，， ． 故选：C． 7. 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法准确判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据图象判断一元二次方程的根的情况，根据二次函数与一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：由图可得与x轴有两个不同的交点， 则该图象向下平移5个单位长度后，所得新图象的解析式为，与x轴也有两个不同的交点， 有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. 如图，弦，相交于点，且点为的中点，连接 ， ， ．若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握相关性质定理．连接 ，由圆内接四边形的对角互补可得的度数，根据等弧（同弧）所对的圆周角相等可得，再结合三角形外角的性质即可得解． 【详解】解：如图所示，连接 ， ，， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为 、高 为 ，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键． 如图，连接，交于 点，过点O作，延长并延长交于点E，利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径 ，再利用矩形的性质求得半径长，再根据垂径定理和勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于 点，过点O作，延长并延长交于点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 是直径， ， ， ， ， ∴， ∴改建后门洞的高是， 故选：B． 10. 抛物线 开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的两个交点分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由抛物线开口向上知 ，由对称轴得 ，结合根与系数的关系表示 ，进而求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ， ∵对称轴为直线 ， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的两个交点分别为，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴的符号取决于 ， ∵ ， ∴， 解得， 又， ∴； 设， 可将 看作是关于的二次函数，其图象开口向下，对称轴为， 当时，， ∴， ∴． 故选：B． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，b，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知等式 出发，通过代数变形求解 的值． 【详解】解：，且 ． 将等式两边同时除以 ，得： 再将等式两边同时除以 3，得： 故答案为 ． 12. 刮刮乐是中国福利彩票发行中心发行的网点即开型福利彩票，返奖率达 ．某彩票点12月份总计销售这种刮刮乐彩票2万元，该彩票店12月份刮刮乐开出奖金的期望值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了概率，根据返奖率的定义，奖金等于销售额乘以返奖率求解即可． 【详解】解：销售额为2万元，返奖率为 ， 则奖金为（万元）． 故答案为：． 13. 两个相似三角形的对应面积之比是，如果较小三角形的周长是厘米，那么较大三角形的周长是__________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比是解题的关键．由面积比可得相似比，进而可得周长比，最后根据周长比列式计算即可． 【详解】解：两个相似三角形的对应面积之比是， 这两个相似三角形的相似比是， 这两个相似三角形的对应周长之比是， 设较大三角形的周长为厘米，则有： ，解得 ， 即较大三角形的周长是 厘米． 故答案为： ． 14. 如图，四边形是半圆 的内接四边形， 是直径，．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理． 连接 ，根据圆内接四边形的性质求出 的度数，再利用直角所对圆周角是直角求出，继而求出，再利用等弦对等弧，即可求解． 【详解】解：连接 ， ∵四边形是半圆的内接四边形，， ∴， ∵ 是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，设一条直角边为，则另一条直角边为，则，变形为顶点式，即可求出最值． 【详解】解：设一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，S取最大值， 即这个直角三角形的面积的最大值为． 故答案为：． 16. 如图，点 是半径为2的圆上一点，内接于该圆，，将线段绕点 逆时针旋转得到线段，直线与圆的另一个交点记为，连接， ，则线段 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．利用勾股定理的逆定理求得 ，根据瓜豆原理求得点 的轨迹是一个圆，将线段绕点 逆时针旋转得到线段 ，则点就是点 运动轨迹的圆心，半径为 的长，当点 在直径 的延长线上时，线段 有最大值，当点 在直径 上时，线段 有最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接 ，，则， ∵，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形，且 ， ∵点 在上，将线段绕点 逆时针旋转得到线段， ∴点 的轨迹是一个圆，则点 的轨迹是一个圆，将线段绕点 逆时针旋转得到线段 ，则点就是点 运动轨迹的圆心，半径为 的长， ∵， ∴， ∴点在同一直线上，且 为的直径， ∴， ∴， 当点 在直径 的延长线上时，线段 有最大值，最大值为， 当点 在直径 上时，线段 有最小值，最小值为， ∴线段 的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过，两点．求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上． 【答案】 ，点不在此函数图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据待定系数法求出函数解析式，验证当时的纵坐标即可解题． 【详解】解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，， ∴不在函数图象上． 18. 杭州学生小明制定了今年寒假的游玩计划：第一站到上海，第二站到北京．因为是自由行，所以他的出行交通选择都是随机的．已知杭州到上海的交通选择有3种：大巴，高铁，飞机，上海到北京的交通选择有2种：高铁和飞机． （1）求小明从杭州到上海选择高铁的概率； （2）用树状图或表格求小明恰好两站出行交通方式相同的概率 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，熟练掌握其求法是解题的关键． （1）根据列举法即可求解； （2）根据列表法解题即可． 【小问1详解】 解：小明从杭州到上海的选择一共有三种，高铁是其中一种， ∴小明从杭州到上海选择高铁的概率为； 【小问2详解】 解： 第一次选择 第二次选择 大巴 高铁 飞机 高铁 （大巴，高铁） （高铁，高铁） （飞机，高铁） 飞机 （大巴，飞机） （高铁，飞机） （飞机，飞机） 由表格可知，小明两站出行不同的选择有6种等可能情况，其中两站出行方式相同的有2种， ∴小明恰好两站出行交通方式相同的概率为． 19. 如图1是2012年6月6日上演的“金星凌日”的照片．金星轨道在地球轨道内侧，某些特殊时刻，地球、金星、太阳会在一条直线上，这时从地球上可以看到金星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动，天文学称之为“金星凌日”．已知金星距太阳约千米，地球距太阳约150000000千米，图2表示2012年6月6日太阳和地球的位置， （1）用科学记数法表示地球与太阳的距离； （2）请你在图2中利用直尺和圆规找到“金星凌日”时金星的位置，用点表示（保留作图痕迹）． 【答案】（1）千米； （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，平行线分线段成比例定理，尺规作图作一个角等于已知角． （1）科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． （2）设太阳为点 ，地球为点，过点 作射线，在射线上依次取点，， ，使，连接 ，作过点作 的平行线，交 于点，则点即为所作． 【小问1详解】 解：150000000千米用科学记数法表示为千米； 【小问2详解】 解：如图，点即为所作． ． 20. 三个全等的矩形如图所示摆放，已知矩形长为宽为，，，求 和的长度． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，等腰直角三角形性质，解题的关键是构造直角三角形，根据含角直角三角形的性质求解． 过点E作于M，延长交于点N，求得，则，再求，得到，在中，由勾股定理，求得，在中，由直角三角形的性质和勾股定理，求得，从而求得．在中，由直角三角形的性质和勾股定理，求得，即可由求解． 【详解】解：过点E作于M，延长交于点N，如图， 由题意可得：，，，，， ∴， ，， ∴， 在中，由勾股定理，得 ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴ 由勾股定理，得 ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，平分是 上一点，且 ． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义、等量代换、三角形外角的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，易得；再证明可得，即，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵平分 ， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，即，解得：， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 22. 如图，为等边三角形，，图中大圆为的外接圆，小圆为的内切圆． （1）请分别求出的外接圆和内切圆的半径； （2）求阴影部分面积． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）先用等边三角形的外接圆和内切圆求得，，延长交 于点，即为 的中垂线求出， ，利用三角函数即可求解； （2）先求内部阴影部分面积，再求外接圆与之间阴影部分面积，相加即为阴影部分面积，即可求解． 【小问1详解】 解： 为等边三角形，大圆为的外接圆，小圆为的内切圆， ，， 延长交 于点，即为 的中垂线， ， ， 在直角中，，， ， ， 同理得， 的外接圆半径为，内切圆的半径为； 【小问2详解】 由（1）得，， ， 内部阴影部分面积为：， 外接圆与之间阴影部分面积为：， 阴影部分面积为:． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆和内切圆、三角函数、圆的面积，掌握相关知识解题的关键． 23. 如图是一座抛物线型拱桥的示意图，当水面宽为 时，桥洞顶部离水面高 ．以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式． （2）现在需要对拱桥进行夜景改造，在桥洞的拱形上安装盏彩灯，为了美观需要盏彩灯相邻两盏之间距离相等，其中 ，，三点分别安装一盏．另外两盏分别安装在哪个位置？小聪给出了一种安装思路：将 四等分，然后把两盏灯分别安装在距离 点 和 的等分点的正上方． ① 请计算说明小聪的方案是错误的． ②请你求出正确的安装位置坐标． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为： （2）正确的安装位置坐标为和 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系， 利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出当 和时，对应的值，再比较各点离水面高度的距离进行判断； ②设正确的安装位置横坐标为 ，则两盏灯的坐标为和，根据两点坐标距离公式列方程计算即可． 【小问1详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 顶点为，且过点，． 设抛物线的表达式为：， 把点代入得： ， ， 抛物线的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：①把两盏灯分别安装在距离 点 和 的等分点的正上方，即安装在 和处， 当 时， ； 当时， ； 此时这两点离水面高度为 ，点离水面高度为 ， 、两点离水面高度为 ， 小聪的方案仅保证了水平距离相等，但垂直距离不同，说明小聪的方案不能保证“相邻两盏间距离相等”（距离为直线距离，而非仅水平距离），故小聪的方案是错误的． ②根据抛物线的对称性，设正确的安装位置横坐标为，则两盏灯的坐标为和． 由得， 整理，得 ， 解得 （负值已舍去），则 ， 则，， 正确的安装位置坐标为和． 24. 如图，， 是的切线，切点分别为 ，．连接并延长，交于点， ． （1）求证：平分． （2）如图 ，若四边形为菱形，，求 的长度． （3）如图，过圆心 作，交的角平分线于点．已知，．设，的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，， 证明， 得到对应角相等，即可得证； （2）连接 ，根据切线的性质可得，由菱形的性质可得，根据等边对等角，结合圆周角定理可得，得到，设的半径为，则，，然后列方程计算即可求得的值，进一步根据勾股定理即可求得的长； （3）根据平分，，结合三角形内角和定理证明，根据，进行等量代换得到得到，证明，得到，过点作交 于点，连接，证明四边形是矩形，得到，证明，得到，，从而得到，即，根据，等量代换可得，进而得到，由勾股定理得到，最后根据三角形的面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 证明：， 是的切线， ，， 在 与中， ， ， ， 平分． 【小问2详解】 解：如图，连接 ， 是的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ，， ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， 解得 ， ， ． 【小问3详解】 解：平分， ， ，， ，即， ， ，， ，，， ， ， ，，， ， ， ， 如图，过点作交 于点，连接， ， 是的切线， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的切线的性质，角平分线的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的计算，函数关系式的确定等，解题的关键是灵活应用相关性质定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $