第18章 勾股定理及其逆定理（单元自测卷）八年级数学新教材沪科版

第18章 勾股定理及其逆定理 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　） A． B． C． D．或 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽池州·月考）如图，矩形是一块草地，折线是一条人行道，米，米，为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在B，D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（    ）米，踏之何忍”． A．2 B．4 C．6 D．8 6．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图所示如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图所示，若”生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·辽宁阜新·月考）如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 10．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．9.6 C．10 D．12 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．（23-24八年级上·安徽安庆·月考）如图，数轴上点表示的实数是 ． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）我国古代数学专著《九章算术》中记录了一个问题，其大致意思是说：有一个水面是边长为10尺的正方形水池，中央生长有一根芦苇，它露出水面部分高1尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直而顶端恰好到达岸边的水面，求池水深和芦苇的长．如果设水深尺，根据题意，那么可列方程 ． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为 ． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点后停止． （1） ． （2）设运动时间为，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分）（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，，为上一点，，，．求的长． 16．（（8分）24-25八年级下·安徽淮北·期末）下面正方形网格中，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个三角形，使三边长分别为，，，并求此三角形的面积． 17．（8分）（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 18．（8分）（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 19．（10分）（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 20．（10分）（25-26八年级上·安徽宿州·期中）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 平面内两点坐标，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)若轴，点的纵坐标为5，点的纵坐标为，则________； (2)若轴，，且，则点的坐标为________； (3)已知三角形各顶点坐标分别为，，，请判定此三角形的形状，并说明理由． 21．（12分）（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 22．（12分）（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，且可绕点O旋转，过点C作交直线于点E，连接． (1)如图1，当点E在线段上时，求证． (2)如图2，当点E在的延长线上时． （i）求线段之间的数量关系，并说明理由； （ii）若，请直接写出点D到的中点的距离． 23．（14分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 勾股定理及其逆定理 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据勾股定理即可求直角三角形的斜边长度． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 此直角三角形的斜边的长度为． 故选：A． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得的长． 根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长为， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴旗杆的高． 故选C． 5．（25-26八年级上·安徽池州·月考）如图，矩形是一块草地，折线是一条人行道，米，米，为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在B，D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（    ）米，踏之何忍”． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用；由长方形的性质得，再由勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， （米）， ∴牌子上写着“少走4米，踏之何忍”． 故选：B． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图所示如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图所示，若”生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键． 根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由题意可得一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图， 正方形的面积为， 由勾股定理得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，利用勾股定理找到之间的关系即可求解． 【详解】解：因为，所以， 由勾股定理得， ， 所以，所以． 因为，， 所以， 故选：B． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 9．（24-25八年级上·辽宁阜新·月考）如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 10．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．9.6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，勾股定理，等腰三角形的性质，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则，为所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则，为所求的最小值， ∵，D是边上的中点， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，，D是边上的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．（23-24八年级上·安徽安庆·月考）如图，数轴上点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）我国古代数学专著《九章算术》中记录了一个问题，其大致意思是说：有一个水面是边长为10尺的正方形水池，中央生长有一根芦苇，它露出水面部分高1尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直而顶端恰好到达岸边的水面，求池水深和芦苇的长．如果设水深尺，根据题意，那么可列方程 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 首先设水深尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程即可． 【详解】解：设水池的深度为尺， 由题意得： 故答案为： 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键． 分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：分两种情况： ①当为最大线段时， 点 、是线段的勾股分割点， ； ②当为最大线段时， 点、是线段的勾股分割点， ． 综上所述：的长为或5． 故答案为：或5． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点后停止． （1） ． （2）设运动时间为，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了勾股定理、动点问题、等腰三角形的性质． 利用勾股定理求出的长度即可； 当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况，一种情况是，则，所以运动的时间是；另一种情况是，过点作，利用勾股定理求出的长度是，则，所以，即点的运动时间是． 【详解】解：在中，，，， ， 故答案为：； 解：当时， 运动时间为， ， ， ， 解得：； 当时， 如下图所示，过点作， 则有， ， ， 解得：， ， ， ， ； 综上所述，的值为或． 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分）（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，，为上一点，，，．求的长． 【答案】5 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，利用勾股定理分别计算，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵，为上一点，，，， ∴，， ∴. 16．（（8分）24-25八年级下·安徽淮北·期末）下面正方形网格中，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个三角形，使三边长分别为，，，并求此三角形的面积． 【答案】见解析，3 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由勾股定理确定的位置，再由勾股定理逆定理得到，即可由三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，即为所求， 即 ∴是直角三角形且 ． 17．（8分）（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，根据四边形的面积的面积的面积列式求解即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ． （2）解：，，， ，， ， 是直角三角形，即， 四边形的面积的面积的面积 ， 答：这块菜地的面积为． 18．（8分）（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)正确，见解析 【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键． （1）根据勾股数定义进行解答即可； （2）根据勾股数定义进行证明即可． 【详解】（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 19．（10分）（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 【答案】(1)米 (2)风筝上升了米 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米． 20．（10分）（25-26八年级上·安徽宿州·期中）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 平面内两点坐标，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)若轴，点的纵坐标为5，点的纵坐标为，则________； (2)若轴，，且，则点的坐标为________； (3)已知三角形各顶点坐标分别为，，，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)或 (3)等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离． （1）根据两点间的距离公式来求A、B两点间的距离． （2）根据两点间的距离公式和A、B两点间的距离求点B的坐标． （3）先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得、、的长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状． 【详解】（1）解：∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为， ∴，即A、B两点间的距离是6； （2）解：∵轴，， ∴设， ∵， ∴， 解得或5， ∴点B的坐标为或； （3）解：等腰直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 而， ∴是等腰直角三角形． 21．（12分）（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握各知识点并综合应用． （1））根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到． （2）先由勾股定理可得：，再利用，然后整体代入求解即可. （3）作如解析所示图象，可根据余角的性质得到，先证得，得到，，再根据，，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 即：； （3）解：过点M作轴于点，过点作于点， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 点的坐标为． 22．（12分）（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，且可绕点O旋转，过点C作交直线于点E，连接． (1)如图1，当点E在线段上时，求证． (2)如图2，当点E在的延长线上时． （i）求线段之间的数量关系，并说明理由； （ii）若，请直接写出点D到的中点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析② 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造等腰三角形是解答本题的关键． （1）由等腰直角三角形知，由可求出，由得，得，故可得结论； （2）①分别证明，即可得出结论；②取的中点，连接、，过点作于点，证明，根据勾股定理可解决问题． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，其中， ∴， ∵，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 同（1）可得， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴； ②取的中点，连接、，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 在中，． 23．（14分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)6或 (3) 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合中点的定义可得，从而得到，即可解答； （2）先根据勾股定理可得，然后分两种情况：当时，当时，结合直角三角形的性质以及全等三角形解答即可； （3）当点在上时，取得最小值，最小值为，根据勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或； （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 勾股定理及其逆定理 单元测评卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A B C B A B B B B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分. 11．/ 12． 13．或5 14． 或 三、解答题：本题共9小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（8分） 【答案】5 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，利用勾股定理分别计算，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵，为上一点，，，， ∴，， ∴.·············································8分 16．（（8分） 【答案】见解析，3 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由勾股定理确定的位置，再由勾股定理逆定理得到，即可由三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，即为所求， ·············································4分 即 ∴是直角三角形且 ．·············································8分 17．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，根据四边形的面积的面积的面积列式求解即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ．·············································4分 （2）解：，，， ，， ， 是直角三角形，即， 四边形的面积的面积的面积 ， 答：这块菜地的面积为．·············································8分 18．（8分） 【答案】(1)是，理由见解析 (2)正确，见解析 【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键． （1）根据勾股数定义进行解答即可； （2）根据勾股数定义进行证明即可． 【详解】（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数；·············································3分 （2）证明：∵， 又， ∴，·············································6分 ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确．·············································8分 19．（10分） 【答案】(1)米 (2)风筝上升了米 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米；·············································4分 （2）解：如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米．·············································10分 20．（10分） 【答案】(1)6 (2)或 (3)等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离． （1）根据两点间的距离公式来求A、B两点间的距离． （2）根据两点间的距离公式和A、B两点间的距离求点B的坐标． （3）先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得、、的长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状． 【详解】（1）解：∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为， ∴，即A、B两点间的距离是6；·············································2分 （2）解：∵轴，， ∴设， ∵， ∴， 解得或5， ∴点B的坐标为或；·············································6分 （3）解：等腰直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 而， ∴是等腰直角三角形．·············································10分 21．（12分） 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握各知识点并综合应用． （1））根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到． （2）先由勾股定理可得：，再利用，然后整体代入求解即可. （3）作如解析所示图象，可根据余角的性质得到，先证得，得到，，再根据，，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴， 故答案为：．·············································3分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 即：；·············································6分 （3）解：过点M作轴于点，过点作于点， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 点的坐标为．·············································12分 22．（12分） 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析② 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造等腰三角形是解答本题的关键． （1）由等腰直角三角形知，由可求出，由得，得，故可得结论； （2）①分别证明，即可得出结论；②取的中点，连接、，过点作于点，证明，根据勾股定理可解决问题． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，其中， ∴， ∵，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；·············································3分 （2）解：，理由如下： 同（1）可得， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴；·············································6分 ②取的中点，连接、，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，·············································9分 由勾股定理得， ∴， 在中，．···································12分 23．（14分） 【答案】(1)见解析 (2)6或 (3) 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合中点的定义可得，从而得到，即可解答； （2）先根据勾股定理可得，然后分两种情况：当时，当时，结合直角三角形的性质以及全等三角形解答即可； （3）当点在上时，取得最小值，最小值为，根据勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形；·············································4分 （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；·············································7分 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或；·············································10分 （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：·············································14分 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $