专题03 函数的单调性（思维导图+3大知识点+5大题型）讲义-2026年高二数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题03 函数的单调性 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、函数的单调性与导数的关系 4 知识点二、利用导数研究函数的单调性 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：运用导数求解函数的单调区间 6 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 6 题型三：根据函数单调性求解参数的取值范围 8 题型四：函数单调性的判断与证明方法 8 题型五：含参数情况下函数单调性的分类讨论 9 05 强化训练 12 知识点一、函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增； ②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 知识点诠释： 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间； 在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：，，，而在R上递增． 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 知识点二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导， （1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减； （3）如果恒有，则函数在内为常数函数． 知识点诠释： （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 题型一：运用导数求解函数的单调区间 【例1】（2025·高二·北京·期中）函数的递增区间是 ；递减区间 ． 【对点训练1】（2025·高二·北京·期中）函数的单调递增区间是 ． 【对点训练2】（2025·高二·广东江门·期中）函数的单调递增区间为 . 【对点训练3】（2025·高二·江西宜春·期中）函数的单调增区间为 ． 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 【例2】（多选题）（2025·高二·新疆和田·月考）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【对点训练4】（多选题）（2025·高二·四川成都·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【对点训练5】（多选题）（2025·高二·江苏苏州·期中）若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ） A．在与处的瞬时增长率相同 B．在上不单调 C．可能为奇函数 D． 【对点训练6】（多选题）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【对点训练7】（多选题）（2025·高二·河北保定·月考）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【对点训练8】（2025·高二·广东中山·月考）函数的单调递增区间为 . 题型三：根据函数单调性求解参数的取值范围 【例3】（2025·高二·湖北孝感·月考）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练9】（2025·高二·江苏南通·月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【对点训练10】（2025·高二·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练11】（2025·高二·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【对点训练12】（2025·高二·北京大兴·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【对点训练13】（2025·高二·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【对点训练14】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四：函数单调性的判断与证明方法 【例4】（2025·高三·河南郑州·月考）已知函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增. 【对点训练15】证明：函数在上严格增． 【对点训练16】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：为单调递增函数． 【对点训练17】（2025·高二·江苏盐城·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增． 题型五：含参数情况下函数单调性的分类讨论 【例5】（2025·高二·河北衡水·期末）已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【对点训练18】已知函数，讨论单调性． 【对点训练19】已知，讨论的单调性. 【对点训练20】（2025·高二·江苏南京·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【对点训练21】（2025·高二·山东菏泽·期末）已知函数． (1)若在点处的切线方程为，求的值； (2)求的单调区间． 【对点训练22】（2025·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【对点训练23】（2025·高二·广东佛山·月考）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)试讨论函数的单调性. 【对点训练24】（2025·高二·四川成都·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 1．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京顺义·月考）下列函数中满足定义域为且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 4．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 6．若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（25-26高二上·江西·月考）已知为上的奇函数，，为的导函数，且当时，，则（   ） A．当时， B． C． D． 9．（多选题）若实数时，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 ． 11．（25-26高二上·江西·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ． 12．已知实数满足，则 ． 13．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若函数的图象与相切，求的值. 14．（25-26高二上·云南昭通·月考）设函数. (1)若在点处的切线为，求，的值； (2)求的解集. 15．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 16．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 17．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围． 18．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的单调性 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、函数的单调性与导数的关系 4 知识点二、利用导数研究函数的单调性 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：运用导数求解函数的单调区间 6 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 7 题型三：根据函数单调性求解参数的取值范围 10 题型四：函数单调性的判断与证明方法 14 题型五：含参数情况下函数单调性的分类讨论 15 05 强化训练 23 知识点一、函数的单调性与导数的关系 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若，则在这个区间上单调递增； ②若，则在这个区间上单调递减； ③若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 知识点诠释： 1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减． 2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）． 即在某区间上，在这个区间上单调递增； 在这个区间上单调递减，但反之不成立． 3、在某区间上单调递增在该区间； 在某区间上单调递减在该区间． 在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：，，，而在R上递增． 4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 5、注意导函数图象与原函数图象间关系． 知识点二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导， （1）如果恒有，则函数在内单调递增； （2）如果恒有，则函数在内单调递减； （3）如果恒有，则函数在内为常数函数． 知识点诠释： （1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则． （2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或． 知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 题型一：运用导数求解函数的单调区间 【例1】（2025·高二·北京·期中）函数的递增区间是 ；递减区间 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. 所以函数的递增区间是；递减区间． 故答案为：； 【对点训练1】（2025·高二·北京·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 【对点训练2】（2025·高二·广东江门·期中）函数的单调递增区间为 . 【答案】和 【解析】，令 解得或从而的单调递增区间为和 故答案为：和 【对点训练3】（2025·高二·江西宜春·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【解析】，， ，得，所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 题型二：函数图像与导函数图像的关联分析 【例2】（多选题）（2025·高二·新疆和田·月考）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】由图知，在区间上，在区间上， 所以在、上不单调，在上单调递减，在上单调递增. 故选：BC 【对点训练4】（多选题）（2025·高二·四川成都·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由的图象知，当时，， 所以的图象在上单调递增， 且在区间上增长的速度越来越快， 在区间上增长的速度越来越慢. 对于A，函数在区间上增长的速度越来越慢， 在区间上增长的速度越来越快，故A不可能； 对于B，函数在区间上增长的速度越来越快， 在区间上增长的速度越来越慢，故B可能； 对于C，函数在区间上增长的速度越来越快，故C不可能； 对于D，函数在区间上增长的速度越来越慢，故D不可能. 故选：ACD． 【对点训练5】（多选题）（2025·高二·江苏苏州·期中）若函数，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ） A．在与处的瞬时增长率相同 B．在上不单调 C．可能为奇函数 D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由函数的导函数为偶函数，得， 因此在与处的瞬时增长率相同，A正确； 对于B，当时，，因此在上单调递减，B错误； 对于C，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，C正确； 对于D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数， 因此，即，D正确. 如图，在凹函数定义域内，观察图象得. 故选：ACD 【对点训练6】（多选题）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于选项A，若为的图象，当时，，在单调递增； 当时，，在单调递增，图象可能正确，故A正确； 对于选项B，若为的图象，，在上单调递增，图象可能正确，故B正确； 对于选项C，若为的图象，当时，，为常函数；当时，，在单调递增，图象可能正确，故C正确； 对于选项D，若为的图象，当时，，单调递增，不符合； 若为的图象，当时，，单调递减，不符合； 当时，，单调递减，也不符合，故D错误； 综上，故选ABC． 【对点训练7】（多选题）（2025·高二·河北保定·月考）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由图像可知，在上单调递增，则在上，故C、D选项的图象不可能是的图象；在上先减后增再减，则先负后正再负，故A选项的图象不可能是的图象，B选项的图象可能是的图象. 故选：ACD 【对点训练8】（2025·高二·广东中山·月考）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，，令，解得，所以函数的单调递增区间为． 故答案为：． 题型三：根据函数单调性求解参数的取值范围 【例3】（2025·高二·湖北孝感·月考）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，故需满足，故， ， ，解得，，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值. 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意； 当时，函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 在内， 即，即，即， 此时，综上. 故选：B. 【对点训练9】（2025·高二·江苏南通·月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，此时为单调递增函数，且， 当时，则， 要使得在上单调递增，则需要在恒成立， 故在恒成立，即在恒成立 由于，当且仅当时取到等号， 故，即， 又，即， 综上可得， 故选：C 【对点训练10】（2025·高二·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C 【对点训练11】（2025·高二·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 【对点训练12】（2025·高二·北京大兴·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】对函数求导得：， 因为函数在定义域上不是单调函数，所以导函数的函数值既有正值又有负值， 故，即，所以，所以实数不可能是. 故选：C 【对点训练13】（2025·高二·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 【对点训练14】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 题型四：函数单调性的判断与证明方法 【例4】（2025·高三·河南郑州·月考）已知函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增. 【解析】（1）因为， 所以， 依题意可得，即，解得， 所以. （2）证明：由（1）可得，则， 令，，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，即当时， 所以在上单调递增. 【对点训练15】证明：函数在上严格增． 【解析】要证明在上严格增，即证明在上恒为正， 因为，所以， 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上恒为正数， 则在上严格增. 【对点训练16】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：为单调递增函数． 【解析】（1）由题可得：． 当时，，． 故曲线在处的切线方程为． （2）(方法一) 定义域为，当时，． 设，则在单调递增． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以，从而． 当且仅当且时，． 于是当时，为单调递增函数，得证. (方法二) 定义域为，． 设，则为单调递增函数等价于且没有连续的值使． ，设，则在单调递增． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，所以， 当且仅当时，． 于是当时，为单调递增函数，得证. 【对点训练17】（2025·高二·江苏盐城·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增． 【解析】（1）因为， 所以, 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由（1）知，， 因为所以，又， 所以， 所以在上单调递增. 题型五：含参数情况下函数单调性的分类讨论 【例5】（2025·高二·河北衡水·期末）已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【对点训练18】已知函数，讨论单调性． 【解析】求导得， 当时，，令得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令得或， 所以当或时，单调递减； 所以当时，，单调递增． 所以在上单调递减，在内单调递增； 当时，，故在上单调递减． 【对点训练19】已知，讨论的单调性. 【解析】的定义域为， . 当时，且，可得： 时，，单调递增， 时，，单调递减. 当时，. ①当时，且， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减. ②当时，，在内，，单调递增. ③当时，且， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【对点训练20】（2025·高二·江苏南京·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）函数的定义域为， 当时，， 则 则，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， ， ①当时，因为， 所以， 所以函数在上单调递增. ②当时，令， 则 当或时，. 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【对点训练21】（2025·高二·山东菏泽·期末）已知函数． (1)若在点处的切线方程为，求的值； (2)求的单调区间． 【解析】（1）因为，所以， 因为过点，所以解得， 又因为，在点处的切线方程为， 所以，， 所以. （2）因为，令， 解得，， ①当即时， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数； ②当即时，， 在上为增函数； ③当即时， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 综上：当时，的单调递增区间为和，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，递减区间为. 【对点训练22】（2025·河北保定·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【解析】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【对点训练23】（2025·高二·广东佛山·月考）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)试讨论函数的单调性. 【解析】（1）， 当时，，， 所以在处的切线方程为，整理得. （2）因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，在处取得最小值， 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得或， 令，解得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，上单调递减. 【对点训练24】（2025·高二·四川成都·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）当时，， 则， 则，又， 所以在点处的切线方程为. （2）由，， 则， 当时，， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或， 当时，，由，得或； 由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增； 当时，，由，得或； 由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 1．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，. 则， 由，解得，此时单调递增. 故选：B 2．（25-26高三上·北京顺义·月考）下列函数中满足定义域为且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，易知的定义域为，所以A错误， 对于B，因为，则在上单调递减，所以B错误， 对于C，易知的定域为，又在上恒成立， 所以在上单调递增，故C正确， 对于D，因为，对称轴为， 由二次函数的性质知，当时，在上单调递减，所以D错误， 故选：C. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【解析】因为函数的图像上任一点的切线方程为， 即函数图像在点的切线斜率，所以， 由，解得或， 即函数的单调递增区间是，. 故选：D. 4．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【解析】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据可得， 可知当时，，即， 所以可知函数在上是增函数，即， 从而得， 故选：A． 6．若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知，单调递增，且增长趋势越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示点与两点连线的斜率， 由图可知 故选：D． 7．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A选项，对函数求导得， 当时，；当时，. 故函数在上单调递增，在上单调递减，A不符合条件； 对于B选项，对函数求导得，当时，. 故函数在上单调递增，B符合条件； 对于C选项，对函数求导得，当时，. 故函数在上单调递增，C符合条件； 对于D选项，对函数求导得对任意的恒成立， 故函数在上单调递增，D符合条件. 故选：BCD. 8．（多选题）（25-26高二上·江西·月考）已知为上的奇函数，，为的导函数，且当时，，则（   ） A．当时， B． C． D． 【答案】ABD 【解析】设，则， 当时，0，所以， 所以在上单调递减， 又为上的奇函数，所以为上的奇函数， 所以在上也单调递减， 因为，所以，， 当时，，即时，， 因为，所以，故A正确； 因为在上单调递减， 所以，即， 所以，故B正确； 因为在上单调递减， 所以，即，故C错误； 因为在上单调递减， 所以，即， 所以，故D正确， 故选：ABD． 9．（多选题）若实数时，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】令，则， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因为，，所以， 所以，A正确； 同理，所以， 所以，B正确； 令，， 则，故在上单调递减， 当时，，所以，所以， 故，D正确； 对于C，时，，故C不一定成立. 故选：ABD. 10．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为且，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 对于不等式， 整理得，即， 根据函数的单调性及其定义域得， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 11．（25-26高二上·江西·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题知， 因为在上单调递减，即在上恒成立， 所以， 故答案为：． 12．已知实数满足，则 ． 【答案】 【解析】由题易知，令，则在上单调递增， ， 即，由于， 故，即． 故答案为：. 13．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若函数的图象与相切，求的值. 【解析】（1）， ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增. （2），设切点坐标为， 则，消去得， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以，所以，解得. 14．（25-26高二上·云南昭通·月考）设函数. (1)若在点处的切线为，求，的值； (2)求的解集. 【解析】（1）易知的定义域为，       因为，       因为在点处的切线为， 所以，所以，所以， 把点代入得：.       即，的值为：，. （2）.       ①当时，在上恒成立，所以的解集为；       ②当时，令，解得：.       综上所述：当时，的解集为； 当时，的解集为. 15．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 【解析】（1）； （2）定义域，令，即，即， ，其中判别式，故恒成立， 单调递增区间为，无递减区间. 16．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 【解析】（1）若，则，， 所以又， 所以曲线在点处的切线方程为即. （2）因为在上单调递减，所以当时，， 即，亦即. 令，，则，故在上单调递增， 所以. 要使，只需，故的取值范围是. 17．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，可得，则， 所以，所以的图象在处的切线方程为， 即． （2）由函数，可得， 因为在区间上单调递减，所以当时，恒成立， 设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 18．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【解析】（1）因为，所以. 因为 ， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为，因为恒成立，恒成立， 所以令，解得或，令，解得， 所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $