6.3 用关系式表示变量之间的关系-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦“用关系式表示变量之间的关系”，通过复习三角形、梯形面积等已学几何公式导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生从熟悉的公式过渡到变量关系的表达。 以动态情境（如三角形顶点运动、圆锥底面半径变化）驱动探究，培养抽象能力与几何直观，结合“低碳生活”计算碳排放等实际问题，发展模型意识与应用意识，助力学生理解变量对应关系，提升教师教学效率。

3 用关系式表示变量之间的关系 课题 用关系式表示变量之间的关系 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P153-154 教学目标 1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得用关系式表示变量之间关系的体验，发展抽象能力。 2.能在具体情境中，用关系式表示变量之间的关系，感受自变量取值的变化与因变量值的变化之间的对应关系。 教学重难点 重点：探索具体问题中变量间的关系，并能用表达式表示出来。 难点：能根据表达式求值，体会自变量和因变量的对应关系。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 1.如果三角形ABC的底边长为a，高为h，那么三角形ABC的面积S三角形ABC=_________。 2.如果梯形的上底、下底长分别为a，b，高为h，那么梯形的面积S梯形=___________。 3.圆的半径为r，则圆的面积S=_________。 4.圆锥底面的半径为r，高为h，那么圆锥的体积V圆锥＝_______________。 师生活动：教师出示问题，让学生口答。 答案：1. S三角形ABC=ah。2. S梯形=（a+b）×h。 3. S=πr2。4. V圆锥=πr2h。 教师活动：前面列举出的这些公式其实反映了面积或体积与几何图形的长、宽、高或半径等之间的关系，我们能不能用这种方式来表示变量之间的关系呢？这节课我们就来学习用关系式表示变量之间的关系。（教师板书课题：用关系式表示变量之间的关系） 让学生复习以前学过的公式，公式本身也可以看做是一个关系式，因此在这里我用学生熟悉的公式来引入课题。 2.实践探究，学习新知 【探究】 如图，△ABC底边BC上的高是6 cm。当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化。 (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的? (2)如果三角形的底边长为x(单位：cm)，那么三角形的面积y(单位：cm2)如何表示? (3)在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积y的值能确定吗?与同伴进行交流。 师生活动：学生思考问题，口答。教师操作多媒体向学生演示三角形面积变化过程，让学生直观体验变量关系。 （1）自变量是三角形ABC的底边BC的长，因变量是三角形ABC的面积。底边长减少时，面积也减少。 （2）如果三角形底边BC长为x（cm），那么三角形的面积y（cm2）可以表示为y=3x。 （3）三角形底边长为12 cm时，面积为×12×6=36（cm2），三角形底边长为3 cm时，面积为×3×6=9（cm2）。 所以取定一个底边x的值，面积y的值就确定了。 y=3x表示了图中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式。 【归纳总结】 关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法。利用关系式，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值。 【观察·思考】 如图，圆锥的高是4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之而发生了变化。 （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的? （2）如果圆锥底面半径为r（单位：cm），那么圆锥的体积V（单位：cm3）如何表示？ （3）在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗? 师生活动：教师操作多媒体向学生演示圆锥的变化过程，学生观察、思考，完成题目，然后小组交流，交流完成后，教师找学生口答。 （1）自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积。当底面半径增大时，圆锥的体积也跟着增大 （2）根据圆锥的体积公式：V=，已知圆锥的高度是4 cm，所以圆锥的体积V(cm3)与r的关系式为V=。 （3）在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定。 【尝试·交流】 你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式。 一些常见的二氧化碳排放量计算公式见下表： （1）你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗?其中的字母表示什么? （2）随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的?与同伴进行交流。 （3）当用电量为100 kW·h时，二氧化碳排放量是多少? （4）小明家本月大约用电110kW·h、耗油75L、用天然气20 m3、用自来水5m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和。 学生活动：根据题目中的排碳计算公式，学生自主完成上述题目，小组交流答案及解题过程，然后请两位同学口述解题过程，教师最后出示答案。 （1）y=0.785x y表示家居用电的二氧化碳排放量，x表示耗电量 （2）根据（1）可知家居用电的二氧化碳排放量用表达式表示为y=0.785x。随着用电量的增加，二氧化碳排放量也增加。 （3）0.785×100=78.5（kg） 所以，当用电量为100 kW·h时，二氧化碳排放量是78.5kg。 （4）0.785×110=86.35(kg)，2.7×75=202.5(kg) 0.19×20=3.8(kg)，0.91×5=4.55(kg)， 86.35+3.8+4.55+202.5=297.2(kg)。 所以，小明家这几项的二氧化碳排放总和为297.2kg。 在小学阶段已经学会计算三角形面积的基础上，讨论由底边长的变化引起的三角形面积的变化，使学生进一步体会变量之间的关系，这是对用关系式表示变量关系的初步经历。 通过探索圆锥底面半径和体积的关系，使学生进一步体会变量之间的对应关系。 通过解决实际问题，发展学生数学表示的能力，如用字母表示变量、把语言表示转化为关系式等.同时也有关注发展学生社会责任感方面的目的. 3.学以致用，应用新知 考点1 用关系式表示变量间的关系 例1 用长为50的栏杆围成一个长为x，宽为y的长方形，则y与x的表达式为(　　) A.y=25-x B.y=25+x C.y=50-x D.y=50+x 答案：A 变式训练 汽车开始行驶时，油箱中有油40L，如果每小时耗油5L，则油箱内余油量y（单位：L）与行驶时间x（单位：h）的关系式为_________，该汽车最多可行驶_____h。 答案：y=40-5x 8 考点2 根据关系式求值 例2 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离。根据有关资料，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s（单位：m）与车速v（单位：km/h）之间的关系为s=v。 （1）写出上述关系中的变量和常量； （2）当v=30 km/h时，求相应的刹车距离s的值； （3）若该车在限速40 km/h的公路上行驶时，当刹车距离为12m时，通过计算说明该车是否超速。 解：（1）s,v是变量，是常量。 （2）当v=30km/h时，s=×30=7.5（m）。 （3）该车在限速40km/h的公路上行驶时，当刹车距离为12m时， 12=v，解得v=48， 因为48＞40，所以该车超速了。 通过例题讲解，让学生结合实际情境进一步感受变量之间的关系，学会用关系式表示变量之间的关系。 4.随堂训练，巩固新知 1.班级计划用50元购买乒乓球，则所购买的总数n（单位：个）与单价a（单位：元）的关系式为（ ） A.an=50 B.a= C.n= D.以上书写均不规范 答案：C 2.声音在空气中传播的速度y(单位：m/s)与气温x(单位：℃)之间有如下对应表达式：y=x+331.当气温为15℃时，声音传播速度为________。 答案：340m/s 3.张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y=_________，当x=20时，y=_______。 答案：5x+10 110 4.如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h cm由大到小变化时，圆柱的体积V（单位：cm3）随之发生变化。 （1）在这个变化中，自变量、因变量、常量各是什么？ （2）写出圆柱的体积V与高h之间的关系式。 （3）当h由10 cm变化到5 cm时，V是怎样变化的？ （4）当h=0时，V等于多少？此时表示什么？ 解：（1）自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积，常量是π和底面直径。 （2）圆柱底面半径r=2÷2=1（cm），体积V与高h之间的关系式为V=πr2h=πh。 （3）当h=10时，V=πh=10π.当h=5时，V=πh=5π。体积由减少10π到5π。 （4）当h=0时，V=πh=0。表示一个直径是2 cm的圆面。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1. 课堂小结 （1）表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式。 （2）关系式准确地反映了自变量与因变量之间的数值关系。利用关系式我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以根据已知的因变量的值通过解方程求自变量的值。 2.布置作业 课本P155习题6.3。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 用关系式表示的变量间关系 1.常用面积、体积公式 2.用关系式表示的变量间关系 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $