4.4 利用三角形全等测距离-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(北师大版·新教材)

该教案聚焦“利用三角形全等测距离”核心知识点，通过战争故事导入，将战士测碉堡距离的实际问题转化为三角形全等判定，衔接已学的全等三角形判定定理，搭建从理论到实践的学习支架。 资料特色在于结合真实情境（如池塘测距、卡钳测内径）设计多方案探究，引导学生用数学眼光抽象实际问题为全等模型，用数学思维推理证明（如SAS、ASA判定全等），采用情境导入与小组合作，提升学生应用意识与推理能力，为教师提供丰富案例与清晰教学流程。

5 利用三角形全等测距离 课题 利用三角形全等测距离 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P110-111 教学目标 1.理解利用全等三角形测距离的数学原理，体会数学与实际生活的联系。 2.在解决问题的过程中能进行有条理的思考和表达。 教学重难点 重点：能利用三角形的全等解决实际问题。 难点：能构造全等三角形，将不便测量的距离转化为方便测量的距离。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望（如右图）。为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出来这样一个办法：如下图，他面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。 教师提问：你知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？ 学生活动：学生先独立思考这个情境，然后小组合作讨论，教师引导学生可以用全等的方法测距离，选取小组代表总结并解释战士采用的方法的数学道理。 教师活动：上述问题可转化为求右图中AB的长度。 由战士所讲述的方法可知：战士的身高AD不变，战士与地面是垂直的(AD⊥BC)；视角∠ADC=∠ADB，可以得到△ABD与△ACD全等，由三角形全等，可得AB=AC，因此只要测得AC的长度即可。 用真实的故事引入新课，体现了三角形全等在生活中的广泛应用，激发学生积极性。 2.实践探究，学习新知 【探究】 【观察·思考】 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位叔叔帮她出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离。 你能说明其中的道理吗? 师生活动：学生独立思考后小组合作讨论方案并说明理由，教师选取不同小组展示各自的方案，并讲述画法和原理，全班选定最佳方案，教师作出评价。 方案一：题中所述方法，理由： 在△ABC与△DEC中， 因为AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC， 所以△ABC≌△EDC(SAS)， 所以AB=DE。 方案二：过点B作AB的垂线BF，在BF上分别取点C，E，使得BC=EC，过点E作BE的垂线EG，在EG上找一点D，使得点A，C，D在一条直线上，测得DE的长度就是A，B间的距离。理由： 在△ABC和△DEC中， 因为∠ABC=∠DEC，BC=EC，∠ACB=∠DCE， 所以△ABC≌△DEC（ASA），所以AB＝DE。 方案三：先构造△ABC，再确定点D，使得AD∥BC，AD=BC，连接CD并测量出它的长度，CD的长度就是A，B间的距离。理由： 在△ABC和△CDA中， 因为BC=AD，∠BCA=∠DAC，AC=CA， 所以△ABC≌△CDA（SAS），所以AB＝CD。 【归纳总结】 由于两个三角形全等，对应边相等，所以利用三角形全等可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离。 借助测量池塘这个情境，通过设计方案，利用三角形全等得出对应边相等，即用间接地方法得出两点间的距离，加深学生对三角形全等测距离的理解，培养学生分析和解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点 利用三角形全等测距离 例1 如图，小明设计了一种测工件内径A′B′的卡钳，在卡钳的设计中，A′O，B′O，AO，BO应满足下列的哪个条件？（ ） A. A′O=BO B. B′O=AO C. A′B=B′A D. A′O=BO且B′O=AO 答案：D 例2 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20 m，请根据上述信息求标语CD的长度。 解：因为AB∥CD，所以∠ABO=∠CDO。 因为OD⊥CD，所以∠CDO=90°。 所以∠ABO=90°，即OB⊥AB。 因为相邻两平行线间的距离相等，所以OD=OB。 在△ABO与△CDO中， 因为∠ABO=∠CDO，OB=OD，∠AOB=∠COD， 所以△ABO≌△CDO(ASA)，所以CD=AB=20 m。 通过例题讲解，加深学生对利用三角形全等测距离的理解与掌握，感受三角形全等的实际应用，锻炼学生思维，提高应用意识。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA′=∠CBA，∠BCA′=∠BCA。可得△A′BC≌△ABC，所以A′B＝AB，所以测量A′B的长即可得AB的长。判定图中两个三角形全等的理由是(　　) A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 答案：B 2.如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由。 解：能。如图，沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC=CD，过D点作DE⊥BF，使点E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是两座宝塔A，B间的距离。理由如下： 在△ACB和△ECD中， 因为∠ACB=∠DCE，BC=CD，∠ABC=∠EDC， 所以△ACB≌△ECD（ASA），所以AB=DE。 3.小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P。测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10 m，量得旗杆与楼之间距离为DB=36 m，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？ 解：因为∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°， 所以∠DCP=∠APB=54°， 在△CPD和△PAB中， 因为∠CDP=∠ABP，DC=PB，∠DCP=∠APB， 所以△CPD≌△PAB（ASA），所以DP=AB。 因为DB=36 m，PB=10 m，所以AB=36﹣10=26（m）。 因此，楼高AB是26 m。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.课堂小结 由于两个三角形全等，对应边相等，所以利用三角形全等可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离。 利用三角形全等测两点之间的距离的方法： （1）构造两边及其夹角对应相等的两个全等三角形。 （2）构造两角及其夹边对应相等的两个全等三角形。 （3）构造两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个全等三角形。 2.布置作业 课本P112习题4.4。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。 板书设计 利用三角形全等测距离 构造三角形全等测距离 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $