第二十一章 21.2.2 第2课时 平行四边形的判定2（教师用书）-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

第2课时　平行四边形的判定2 [答案 P11] 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　　 1．如图，将一条长2 cm的线段AB向右平移3 cm后，连接对应点得到的图形是平行四边形． 1题图　　 2．(宿迁中考)如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点．求证：AF＝CE. 2题图　 证明：∵四边形ABCD是平行 四边形，∴AB∥CD，AB＝CD． ∵E，F分别是边AB，CD的中点， ∴AE＝AB，CF＝CD， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE. 3．(广安中考)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形． 3题图 证明：∵AF＝CE， ∴AF－EF＝CE－EF， ∴AE＝CF. ∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD． ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(ASA)， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 平行四边形判定方法的灵活应用　　 4．(衡阳中考)如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，添加下列条件中的一个后，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C) A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C 5．如图，已知点E，F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE＝DF，AE∥CF，请再添加一个条件(不要在图中再增加其他线段和字母)，使四边形ABCD是平行四边形，并证明． 你所添加的条件为AE＝CF(答案不唯一)． 5题图 证明： ∵AE∥CF，∴∠E＝∠F. ∵BE＝DF，AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， ∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E，F，DE＝BF. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 6题图 证明：∵DE＝BF， ∴DE＋EF＝BF＋EF， ∴DF＝BE. ∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠ABE. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 在△CDF和△ABE中， ∴△CDF≌△ABE(ASA)，∴CD＝AB． 又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形． 7．(舟山中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是(C) 7题图 A．32 B．24 C．16 D．8 8．如图，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，－1)，B(2，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是(D) 8题图 A．(3，－1) B．(－1，－1) C．(1，1) D．(－2，－1) 9．如图，已知四边形ABCD的面积为8 cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积为2cm2. 9题图 10．如图，在△ABC中，D是边AB上的任意一点，F是AC的中点，过点C作CE∥AB，交DF的延长线于点E，连接AE，CD． (1)求证：四边形ADCE是平行四边形； (2)若D是AB的中点，求证：DE＝BC． 10题图 证明：(1)∵CE∥AB， ∴∠FAD＝∠FCE，∠ADF＝∠CEF. ∵F是AC的中点，∴AF＝CF. 在△AFD和△CFE中， ∴△AFD≌△CFE(AAS)，∴DF＝EF， ∴四边形ADCE是平行四边形． (2)∵四边形ADCE是平行四边形， ∴CE∥AD，CE＝AD． ∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴CE＝BD． 又∵CE∥BD， ∴四边形BCED是平行四边形，∴DE＝BC． 11．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于点H，G，连接HG，EF.求证： (1)四边形AECF是平行四边形； (2)EF与GH互相平分． 11题图 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴AE∥CF. ∵AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形． (2)由(1)得，四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥CE，即HF∥EG. ∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，∴BE∥DF，BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形，∴BF∥DE，即GF∥EH， ∴四边形EGFH是平行四边形，∴EF与GH互相平分． 12．如图，△ABC为等边三角形，D，F分别为BC，AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE. (1)求证：△ACD≌△CBF； (2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF＝30°？ 　12题图 (1)证明：由△ABC为等边三角形，得 AC＝BC，∠FBC＝∠DCA＝60°. 在△ACD和△CBF中， ∴△ACD≌△CBF(SAS). (2)解：当D在线段BC上的中点处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF＝30°. 连接BE，在△AEB和△ADC中，AB＝AC，∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD＝60°，即∠EAB＝∠DAC． 又∵AE＝AD，∴△AEB≌△ADC． 又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB， ∴EB＝FB，∠EBA＝∠ACB＝60°， ∴△EFB为等边三角形， ∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60°. 又∵∠ABC＝60°，∴∠EFB＝∠ABC＝60°， ∴EF∥BC，而CD在BC上，∴EF平行且等于CD， ∴四边形CDEF为平行四边形． ∵D为线段BC的中点，∴F为线段AB的中点， ∴∠FCD＝×60°＝30°，则∠DEF＝∠FCD＝30°. 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q自点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截四边形ABCD为两个四边形．问：当点P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 13题图 解：设点P，Q同时出发t秒后 四边形PDCQ或四边形APQB 是平行四边形， 根据已知得到AP＝t cm， PD＝(24－t)cm，CQ＝2t cm， BQ＝(30－2t)cm. ①若四边形PDCQ是平行四边形，则PD＝CQ， ∴24－t＝2t，∴t＝8， ∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形； ②若四边形APQB是平行四边形，则AP＝BQ， ∴t＝30－2t，∴t＝10， ∴10秒后四边形APQB是平行四边形． 综上所述，出发10秒或8秒后，其中一个四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $