第二十章 专题4 利用勾股定理解决最值或最短路径问题（教师用书）-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

[答案 P7] 平面图形中的最值问题　　 【模型】 两点之间，线段最短 轴对称最值 垂线段最短 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，P是边AC上的一个动点，则线段BP长度的最小值为(C) 1题图 A．3 B．2.5 C．2.4 D．2 2．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，Q为BC的中点，P为边AC上一动点，则△PBQ周长的最小值为1＋． 2题图 3．如图，高速公路MN的同一侧有A，B两个城镇，它们到高速公路的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，且A′B′＝8 km.现要在高速公路上的A′，B′之间建一个出口P，使A，B两个城镇到出口P的距离之和最小，求AP＋PB的最小值． 3题图 3题答图 解：如答图，作点A关于直线MN对称的点C，连接CB交MN于点P，连接AP，则点P为所建的出口，此时A，B两个城镇到出口P的距离之和最小，最小距离为BC的长． 过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D． ∵AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km， ∴BD＝A′B′＝8 km，A′D＝BB′＝4 km，AC＝4 km， ∴AD＝2 km，∴CD＝6 km， ∴在Rt△CDB中，CB＝＝10(km)， ∴这个最小距离为10 km. 立体图形中的最短路径问题　　 【模型】 圆柱 长方体 阶梯 4．如图是楼梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为(D) 4题图 A． B．3 C． D．2 5．如图，ABCD是长方形地面，长AB＝20，宽AD＝10，中间有一堵砖墙高MN＝2.若一只蚂蚁从点A爬到点C，过程中必须翻过中间那堵墙，则它爬行的最短路程为(D) 5题图 A．20 B．24 C．25 D．26 6．(教材母题变式)如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高线BC的长为6 cm，P是高线BC上一点且PC＝BC，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是5 cm． 6题图 7．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计) 7题图 8．如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是25 cm． 8题图 9.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是12 dm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高9 dm时，这段葛藤的长是多少？ 9题图 解：如答图，展开图中AC＝12 dm，BC＝9 dm. 在Rt△ABC中，AB＝＝＝15(dm). 答：这段葛藤的长是15 dm. 9题答图 数形结合求最短路径的长　　 10．【知识运用】 (1)如图，铁路上A，B两点(看作直线上的两点)相距40千米，C，D为两个村庄(看作两个点)，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝35千米，BC＝5千米，则两个村庄的距离为50千米； 10题图 (2)在(1)的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，现要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图中作出点P的位置，AP＝16千米； 解：(2)点P的位置如答图②所示． 10题答图② 【知识迁移】 (3)借助上面的思考过程与几何模型，则代数式＋(其中0<x<9)的最小值为15． 学科网（北京）股份有限公司 $