第二十章 专题2 利用勾股定理探究两点间距离公式（教师用书）-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

[答案 P6] 方法指导：在平面直角坐标系中，已知任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，如图，分别过点A，B作AA′⊥x轴、BB′⊥x轴，垂足为A′，B′；作AA″⊥y轴，垂足为A″，作BB″⊥y轴，垂足为B″，且与AA′交于点C，则△ABC是直角三角形． ∵BC＝，AC＝， ∴AB2＝BC2＋AC2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2， ∴AB＝. 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 特别地，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或. 1．(云南昆明期末)在平面直角坐标系中，点P(－2，)到原点的距离是(A) A．3 B．4 C．2 D． 2．在平面直角坐标系中，点A(2，－1)，B(5，3)，则AB的长为(B) A． B．5 C．4 D．3 3．(教材母题变式)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(1，2)，C(5，2)，B(5，4)，则AB的长为2． 3题图 4．(河北石家庄期末) (1)计算点M(4，2)和点N(2，－1)之间的距离； (2)在(1)的条件下，点O为原点，求△MNO的周长. 解：(1)∵MN＝＝， ∴点M(4，2)和点N(2，－1)之间的距离是. (2)MO＝＝2， NO＝＝， ∴△MNO的周长＝MN＋MO＋NO＝＋3. 5．(1)已知点A(2，3)，B(4，2)，试求A，B两点间的距离． (2)已知点A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为7，点B的横坐标为－5，试求A，B两点间的距离． (3)已知一个三角形的各顶点坐标为A(1，4)，B(1，－4)，C(1－a，5)，试用含a的式子表示△ABC的面积S. 解：(1)∵点A(2，3)，B(4，2)， ∴AB＝＝， ∴A，B两点间的距离为. (2)∵点A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为7，点B的横坐标为－5， ∴AB＝7－(－5)＝12，∴A，B两点间的距离为12. (3)∵A(1，4)，B(1，－4)， ∴点A和点B在平行于y轴(或垂直于x轴)的直线x＝1上， ∴AB＝4－(－4)＝8. 当1－a＝1，即a＝0时，点C(1－a，5)在直线x＝1上，此时A，B，C三点共线，不能构成三角形； 当1－a≠1，即a≠0时，点C(1－a，5)到直线AB的距离为＝， ∴S△ABC＝×8×＝4， ∴△ABC的面积S＝4(a≠0). 学科网（北京）股份有限公司 $