第二十章 20.2 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用（教师用书）-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

第2课时　勾股定理及其逆定理的综合应用 [答案 P6] 勾股定理的逆定理的应用　　 1．某市地图上有一块草地，三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，已知这块草地最短边的实际长度为90 m，则这块草地的实际面积是(D) A．60 m2 B．120 m2 C．180 m2 D．5 400 m2 2．一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据(B) A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11 3．一根电线杆高12 m，为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5 m处之间加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面不垂直．(填“垂直”或“不垂直”) 4．现有长度分别为2 cm，3.2 cm，2.4 cm，5.5 cm和4 cm的小木棒各一根，小林要从中选出三根做成一个直角三角形，则小林选出的三根木棒长分别是2.4 cm，3.2 cm，4 cm． 勾股定理及其逆定理的综合应用　　 5．如图，若AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AC边上的中线BD的长为(C) 5题图 A．5 B．4 C．2 D．2 6．(山东青岛期中)如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是(C) 6题图 A．35° B．40° C．45° D．50° 7．一个零件的示意图如图所示，测得AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，则∠ACD＝90°． 7题图 8．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AC＝12，AE＝5，BE＝13，则BC＝6． 8题图 9．如图，有一块四边形的草地ABCD，其中∠B＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，DA＝24 m，求这块草地的面积． 9题图 解：连接AC，如答图所示． ∵∠B＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m， ∴AC＝＝＝25 (m). ∵AC＝25 m，CD＝7 m，AD＝24 m， ∴AD2＋DC2＝AC2， 9题答图 ∴△ACD是直角三角形， 且∠ADC＝90°， ∴S△ABC＝×AB×BC ＝×20×15＝150 (m2)， S△ACD＝×CD×AD＝×7×24＝84 (m2)， ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝234 m2. 10．(湖北恩施州期末)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD为△ABC的角平分线，则CD的长为(C) 10题图 A．2 B． C．3 D． 11．如图，某风景区的沿湖公路AB＝3千米，BC＝4千米，CD＝12千米，AD＝13千米，其中AB⊥BC，图中阴影是草地，其余是水面．那么乘游艇从点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用0.4小时． 11题图 12．如图，上午9时50分，反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度向正西方向航行，便立即通知正在沿直线MN巡逻的反走私艇B密切注意，反走私艇A通知反走私艇B时，A和C两艇的距离是20海里，A，B两艇的距离是12海里，反走私艇B测得距离C 16海里，若走私艇C的速度不变，最早到达直线MN的时间是上午11时50分． 12题图 13．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300 km和400 km，且AB＝500 km，以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域． (1)求证：∠ACB＝90°； (2)海港C会受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为40 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 13题图 (1)证明：∵AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°. (2)解：海港C会受台风影响． 理由：如答图，过点C作CD⊥AB于点D． ∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝＝＝240(km). ∵250>240，∴海港C会受台风影响． 13题答图 (3)解：在直线AB上取点E，F，且EC＝250 km，FC＝250 km. 在Rt△CED中，由勾股定理， 得ED＝＝＝70(km)， ∴EF＝140 km. ∵台风的速度为40 km/h，∴140÷40＝3.5 (h). ∴台风影响该海港持续的时间为3.5 h． 14．如图①，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类). (1)当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为钝角三角形； (2)猜想：当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2；当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2；(填“>”或“<”) (3)试证明(2)中猜想的正确性； 14题图①　　　14题图②　　　　　14题图③ (4)在图④、图⑤、图⑥中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上． 　　14题图④　　　　14题图⑤　　　　　14题图⑥ (3)证明：若△ABC是锐角三角形，则有a2＋b2>c2. 理由：如答图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 设CD＝x，则有BD＝a－x. 根据勾股定理，得b2－x2＝AD2＝c2－(a－x)2， 即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2，则a2＋b2＝c2＋2ax. ∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2＋b2>c2. 若△ABC是钝角三角形，则有a2＋b2<c2. 理由：如答图②，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D． 设CD＝x，则有AD2＝b2－x2. 根据勾股定理，得(a＋x)2＋b2－x2＝c2，即a2＋b2＋2ax＝c2. ∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2＋b2<c2. 　14题答图①　　　　14题答图② (4)解：画法不唯一，示例如答图③④⑤所示． 14题答图③　　　　14题答图④　　　　14题答图⑤ 学科网（北京）股份有限公司 $