第二十章 20.2 第1课时 勾股定理的逆定理（教师用书）-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第1课时　勾股定理的逆定理 [答案 P5] 勾股定理的逆定理　　 1．下列长度的三条线段首尾相接能组成直角三角形的是(B) A．32，42，52 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 2．(重庆江津区期末)在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且满足b2－a2＝c2，则下列判断正确的是(A) A．∠A与∠C互余 B．∠B与∠C互余 C．∠A与∠B互余 D．△ABC是等腰三角形 3．下列说法中不正确的是(A) A．三个角度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 B．三边之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 C．三个角度数之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形 D．三边之比为1∶2∶的三角形是直角三角形 4．已知三角形的三边长a，b，c满足(a－)2＋＋＝0，则该三角形的形状是(C) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 5．(四川达州期末)已知一个三角形的三边长分别为 cm， cm，2 cm，则这个三角形的面积为cm2. 6．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D．若BD＝2，则∠ACB＝90°. 6题图 7．(教材母题变式)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形． (1)a＝5，b＝12，c＝13； (2)a＝，b＝1，c＝. 解：(1)52＋122＝132， 符合勾股定理的逆定理，是直角三角形． (2)＋≠12， 不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形． 8．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝6，E为AB上一点，AE＝8，ED＝10，求CD的长． 8题图 解：∵AD＝6，AE＝8，ED＝10， ∴ED2＝AD2＋AE2， ∴△ADE是直角三角形， ∴AD⊥AB． ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC， ∴CD＝AD＝6. 勾股数　　 9．下列四组数中，是勾股数的是(D) A．2.5，6，6.5 B．6，7，8 C．1，2， D．8，15，17 10．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定还是勾股数的是(C) A．a＋1，b＋1，c＋1 B．a2，b2，c2 C．2a，2b，2c D．3a，4b，5c 11．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是(C) A B C D 12．(黄冈中考)勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五．”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是m2＋1． 13．如图，已知C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝. (1)求证：∠ACE＝90°； (2)△ACE的斜边AE上的高的长为． 13题图 (1)证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2， ∴AC＝＝＝. 在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4， ∴CE＝＝＝2. ∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65， ∴AE2＝AC2＋CE2， ∴△ACE是直角三角形，AE是斜边，∴∠ACE＝90°. 14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－EA2＝AC2. (1)求证：∠A＝90°； (2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 14题图 14题答图 (1)证明：连接CE，如答图． ∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE. ∵BE2－EA2＝AC2，∴CE2－EA2＝AC2， 即EA2＋AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°. (2)解：∵DE＝3，BD＝4， ∴CE＝BE＝＝5， ∴AC2＝EC2－AE2＝25－EA2. ∵BC＝2BD＝8， ∴在Rt△BAC中，由勾股定理可得 BC2－BA2＝64－(5＋EA)2＝AC2， ∴64－(5＋AE)2＝25－EA2，解得AE＝. 15．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连接CQ. (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由； (2)若PA＝PC＝1，PB＝，求证：PC⊥CQ. 15题图 (1)解：AP＝CQ. 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°. ∵∠PBQ＝60°，∴∠ABP＝∠CBQ. 在△ABP和△CBQ中， ∴△ABP≌△CBQ(SAS)，∴AP＝CQ. 15题答图 (2)证明：如答图，连接PQ. ∵PA＝PC＝1，AP＝CQ， ∴PC＝CQ＝1. ∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴PQ＝PB＝，∴PC2＋CQ2＝PQ2， ∴∠PCQ＝90°，∴PC⊥CQ. 学科网（北京）股份有限公司 $