第二十章 20.1 第1课时 勾股定理（教师用书）-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(人教版·新教材)

第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 第1课时　勾股定理 [答案 P4] 勾股定理的认识　　 1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是(C) A．∠C是直角 B．∠B是直角 C．∠A是直角 D．没有直角 2．(教材母题变式)如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝7，S2＝9，则面积为S3的正方形的边长为(B) 2题图 A．3 B．4 C．5 D． 3．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形A，B，D的面积依次为6，10，24，则正方形C的面积为(C) 3题图 A．4 B．6 C．8 D．12 利用勾股定理进行计算　　 4．如果直角三角形的两直角边长分别是5，12，那么斜边长是(A) A．13 B． C．13或 D．12或13 5．求图中直角三角形中未知边的长度：b＝12． 5题图 6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，则AC2＋AB2＋BC2的值为8． 6题图 7．(教材母题变式)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10. (1)若∠A＝30°，则BC＝5，AC＝5； (2)若∠A＝45°，则BC＝5，AC＝5． 8．如图，∠ACB＝∠ABD＝90°，AC＝2，BC＝1，AD＝，则AB＝，BD＝3． 8题图 9．(重庆中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为4． 9题图 10．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c. (1)已知b＝2，c＝3，求a的值； (2)已知a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值． 10题答图 解：(1)如答图． ∵在△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3， ∴a＝＝＝. (2)设a＝3x，则c＝5x. ∵a2＋b2＝c2， ∴(3x)2＋322＝(5x)2， 解得x＝8(负值舍去)， ∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40. 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．若CD＝1，BC＝，求BD，AB的长． 11题图 解：∵在Rt△DBC中， ∠BDC＝90°，CD＝1，BC＝， ∴BD＝＝3. 设AB＝AC＝x，则AD＝AC－CD＝x－1. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AB2＝AD2＋BD2， ∴x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5， ∴AB＝5. 12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是(B) 12题图 A．S3＋S4＝4(S1＋S2) B．S1－S2＝S3－S4 C．S4－S1＝S3－S2 D．S4－3S1＝S3－3S2 13．如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3.若S1＝40，S3＝18，则S2＝(C) 13题图 A．18 B．20 C．22 D．24 14.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝168，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为(C) 14题图 A．7 B．24 C．17 D．25 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝18，DE是线段AB的垂直平分线，则BD的长为(C) 15题图 A．8 B．10 C．13 D．15 16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10，BC＝20，求CD的长． 16题图 解：设CD＝x，则BD＝20－x. ∵在Rt△ACD中， AC2－CD2＝AD2， 在Rt△ABD中，AB2－BD2＝AD2， ∴AC2－CD2＝AB2－BD2， ∴102－x2＝172－(20－x)2， 解得x＝，∴CD＝. 17．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△AED，连接BE，延长DE，BC相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形． (1)判断△ABE的形状，并证明你的结论； (2)根据四边形ADFC与四边形ABFE面积之间的关系，求证：a2＋b2＝c2. 17题图 (1)解：△ABE是等腰直角三角形． 证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△AED， ∴∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE＝90°. 又∵AB＝AE，∴△ABE是等腰直角三角形． (2)证明：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△ABE＋S△BFE， 即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，整理可得a2＋b2＝c2. 　构造直角三角形解题 【模型归纳】 条件：已知△ABC的三边长． 方法：作AD⊥BC，垂足为D． 结论：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2.　　　 　　 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为12． 1题图 2．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝13，AB＝15，则△ABC的面积为24． 2题图 学科网（北京）股份有限公司 $