期末冲刺检测卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上学期

2025-2026学年九年级上学期期末数学冲刺试卷（北师大版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．注意存在看不见的用虚线表示． 根据从正面看和从上面看得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：该几何体的主视图和俯视图为： 故选B． 2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A. ，时不是一元二次方程，故此选项错误；     B. ，含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误； C. ，化简后方程为，是一元二次方程，此选项正确 D. ，化简后方程为，是一元一次方程，故此选项错误. 故选：C． 3．汽车经过某十字路口时，可以直行、向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少会有一辆右转的情况共有（   ） A．3种 B．5种 C．6种 D．9种 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，根据题意画出树状图即可得到答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中至少会有一辆右转的结果数有5种， 故选：B． 4．如图，直线，直线，分别与，，相交于点，，和点，，．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：直线，，， ， 即， ． 故选：D． 5．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：树的高度为； 故选：C． 6．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据流感传染模型，两轮传染后总患病人数为初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数之和，据此列方程． 【详解】∵ 开始有1人患了流感， 第一轮后患病人数为， 第二轮新增患病人数为， ∴ 两轮后总患病人数为， ∴， 故满足的方程为， 故选：A． 7．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接， ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ， 故选B． 8．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设出未知数使用勾股定理建立方程． 连接，设，则有，先由勾股定理求解出，再表示出，，再由勾股定理求解x的值，即可求解的长． 【详解】解：连接，如图， 设，则有， 在中，， 在中，， 在中，， ∵，即， 在中，， 即，解得， ∴． 故选：C． 9．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形和正方形的判定，解题的关键是先判定四边形为矩形，再根据正方形的判定条件添加合适条件． 先根据已知角的条件判定四边形是矩形，再分析各选项能否使矩形变为正方形即可． 【详解】解： ∴四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形， 故选：D． 10．如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限， ∴， ∴A错误，故本选项不符合题意； B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴B错误，故本选项不符合题意； C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，， ∵，， ∴， ∴C正确，故本选项符合题意； D、由反比例函数的对称性可知： 若在图象上，则在图象上， ∴D错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知点是线段的黄金分割点（），若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于为线段的黄金分割点， 且是较长线段； 则． 故答案为． 12．已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积为，设方程的另一个根为，即可解答． 【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，两根之积为， ∴， 解得． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且．点是轴上的动点，当的值最小时，则点的坐标为 ．（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质、两点之间线段最短以及一次函数的性质．解题的关键是利用轴对称的性质，将的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，然后通过求直线方程来确定点的坐标． 利用轴对称的性质得到点关于轴的对称点的坐标，根据两点之间线段最短确定取最小值时的情况，先求出直线的方程，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵， ∴点关于轴的对称点的坐标为， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 设直线的方程为， ∵直线经过点和， 代入直线方程可得， ∵， ∴解得， ∴直线的方程为， ∵点在轴上， ∴点的横坐标为， 将代入直线的方程，得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 【答案】 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 15．一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是 ．       【答案】 【分析】由三视图可知，该几何体底面是直角边为的等腰直角三角形，高为的三棱柱，根据三棱柱的表面积公式求解即可． 【详解】解：这个几何体的表面积为： ； 故答案为． 16．如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ．（用含k的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点P的坐标为，可得出，由点P和点Q关于原点对称可得出，再结合已知条件可得出，再得出，，再根据三角形面积公式得出，最后根据反比例函数的图象得出即可得出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在反比例函数上， ∴， ∵点P和点Q关于原点对称， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数在第二和第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分 ） 17．解下列方程： (1) ； (2) ； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ 解得． 18．如图，已知D，E为的边上的两点，且． (1)求证：． (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查相似三角形的证明、分式方程，证明三角形相似是解题的关键． （1）首先根据结合等角转化得到即可得到，进而得到结合即可求证； （2）根据（1）中的得到即可求解的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由（1）得， ∴，即， ∴． 19．为了解全校名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． (1)______，这次共抽取了______名学生进行调查；并补全条形图； (2)请你估计该校约有多少名学生喜爱打篮球； (3)现学校准备从喜欢跳绳活动的人（三女一男）中随机选取人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【答案】(1)，，见解析； (2)名； (3)． 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图综合，用样本估计总体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）首先由条形图与扇形图可求得；由跳绳的人数有人，占的百分比为，可得总人数； （）由，即可求得该校约有名学生喜爱打篮球； （）根据题意画出树状图，然后由树状图可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：， ∵跳绳的人数有人，占的百分比为， ∴总人数（名）， ∴喜爱乒乓球的人数为：（名）； 补全条形图如图， 故答案为：，； （2）解：（名）， 答：估计该校约有名学生喜爱打篮球； （3）解：画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有种， ∴抽到一男一女学生的概率为． 20．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 21．一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时)． (1)求关于的函数解析式； (2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 【答案】(1) (2)平均每小时至少要卸货吨 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据实际问题建立反比例函数模型，并利用函数性质解决不等式问题． （1）根据实际问题中的数量关系建立反比例函数模型； （2）利用反比例函数的增减性解决实际最值问题，根据反比例函数的性质可知，在的范围内，随的增大而减小；因此要使卸货速度最小，需取的最大值，将代入函数解析式计算，即可得到平均每小时至少要卸货的吨数． 【详解】（1）解：根据题意，卸货总量为吨，卸货速度为吨/小时，时间为小时， 由“卸货总量=卸货速度×时间”，得，变形可得， 因此关于的函数解析式为； （2）已知卸货时间不超过小时，即， 由，可知随的增大而减小， 因此当取最大值时，取得最小值， 将代入，得， 所以平均每小时至少要卸货吨． 22．如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： (1)求鸡场的长和宽各为多少米？ (2)若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 【答案】(1)长是米，宽是米 (2)至少为米 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，不等式的应用，利用长方形的面积得出等量关系建立方程解决问题． （1）设鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，根据面积为平方米，可列方程求解． （2）如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米，则只能取（1）中时，米这种情况，由此进一步分析得出答案即可． 【详解】（1）解：设养鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 由题意得：， 即， 解得：或， 当时，，符合实际意义； 当时，，不符合实际意义，舍去． 答：养鸡场的长是米，宽是米； （2）解：如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米， 由（1）知即垂直墙的长度为米，平行于墙的长度为米， ∴米， 此时养鸡场的长至少为米． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，当的面积为时，求的值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：． ， 把代入得：． 的值为，的值为； （2）解：当时，． ， 为轴上的一动点， ． ， ， ， ， 或． 24．小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间的函数关系式； (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3）解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末数学冲刺试卷（北师大版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A． B． C． D． 3．汽车经过某十字路口时，可以直行、向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少会有一辆右转的情况共有（   ） A．3种 B．5种 C．6种 D．9种 4．如图，直线，直线，分别与，，相交于点，，和点，，．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A． B． C． D． 6．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 7．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（   ） A．10 B． C． D． 8．如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 9．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知点是线段的黄金分割点（），若，则 ． 12．已知是一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且．点是轴上的动点，当的值最小时，则点的坐标为 ．（用含的式子表示）． 14．如图，在四边形中，，，，则的度数是 °． 15．一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是 ．       16．如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ．（用含k的式子表示） 三、解答题（每小题9分，共72分 ） 17．解下列方程： (1) ； (2) ； 18．如图，已知D，E为的边上的两点，且． (1)求证：． (2)当时，求的长． 19．为了解全校名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． (1)______，这次共抽取了______名学生进行调查；并补全条形图； (2)请你估计该校约有多少名学生喜爱打篮球； (3)现学校准备从喜欢跳绳活动的人（三女一男）中随机选取人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 20．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 21．一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时)． (1)求关于的函数解析式； (2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 22．如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： (1)求鸡场的长和宽各为多少米？ (2)若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，当的面积为时，求的值． 24．小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间的函数关系式； (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $