精品解析：广东省广州市荔湾区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷

2025学年第一学期初中学生素养练习 八年级数学 本练习共三大题25小题，共6页，满分150分．作答时间120分钟，不能使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在我国传统的祥瑞纹样中，云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动、灵性、精神以及祥瑞的载体和象征．下列四个云纹纹样中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，逐一判断即可得到答案，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形在直线两旁的部分折叠后可重合是解题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；   故选：C． 2. 为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此得到，即可求解． 【详解】解：在中，∵，， ∴． 故选：B． 3. 若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件得出：，解出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 4. 将因式分解，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．通过观察多项式的各项，找出公因式，即各项都含有的因子． 【详解】解：∵的两项和都含有因子，且系数1和3的最大公因数为1， ∴公因式为． 故选：C． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 6. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式. 通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式或可约分判断即可. 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、 ，不是最简分式，不符合题意； 故选B. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可. 【详解】解：原式； 故选B 8. 已知，，则的值为（ ） A. 11 B. 14 C. 45 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据同底数幂乘法和幂的乘方，将所求式子进行转化形式，然后代入即可得解． 【详解】解：由已知，得： ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的运算和幂的乘方运算，熟练掌握同底数幂乘法和幂的乘方运算法则，是解题的关键． 9. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在中，，，，是的角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，点，分别是线段和线段上的两个动点，连接，，则下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键． ①根据条件证明，利用互余的角即可得出结论； ②根据等边对等角，求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数，全等三角形的性质，得到的度数，的度数，即可得出结论； ③由②推出，，，再利用等量代换即可得出结论； ④连接，过点作于点，三线合一结合中垂线的性质，以及垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴；故②正确，符合题意； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确，符合题意； ④如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵点是线段上的动点， ∴， ∴， ∴的最小值为3．故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分解因式：____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的除法，掌握分式的运算法则是关键，根据分式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 14. 如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠的性质，得到，线段的和差关系求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换，进行计算即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：14． 15. 如图，的两个外角平分线和相交于点，连接，若，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形的外角的性质，根据题意得出，，进而根据三角形的外角的性质得出，即可求解．． 【详解】解：∵的两个外角平分线和相交于点， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，由图可知，则_____，_____． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，观察可知，每行第3个位置的数依次是从1开始的连续的整数的和，进而得到第个数为，得到，利用裂项相消法求和即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为：10，． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图，点E，F在上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即； 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用全等三角形的判定定理证得；然后由全等三角形的对应边相等证得． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，从、、、中选择一个合适的数作为的值求解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简，再根据分式有意义的条件确定所选的数，再代入求值即可，熟练掌握分式运算法则，分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解： ， ∵且， ∴且， ∴当时， 原式． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：请作出线段的垂直平分线，分别交边，于点，点（保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 【答案】（1） 线段的垂直平分线，如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键， （1）根据垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用直角三角形的性质得到，从而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． （1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．从中你发现的结论用等式表示为__________． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【小问1详解】 解：由图得； 故答案：； 【小问2详解】 解：，， ， 解得：． 22. 乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米． 【答案】200米 【解析】 【分析】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，根据题意列出分式方程，解方程即可求解． 【详解】设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原来每天修建道路200米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 23. 如图，在与中，，，且，过点作，垂足为，交于点，延长交于点，连接． （1）①求证：；②求的度数； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； ② （2） 解：，理由如下： 作，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）①证明即可；②全等三角形的性质，得到，对顶角相等得到，进而得到即可； （2）作，证明，得到，再证明，得到，即可． 【小问1详解】 ①略 ②∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 略 24. 某小区有一块休闲空地，其形状为直角，，米，米，米．社区计划在这块空地上种植花卉，为此设计了两种围三角形篱笆的方案．已知白色篱笆每米20元，金色篱笆每米30元． （1）先测算空地的基础数据，点到的距离为_____米； （2）方案一：若准备围出一块三角形区域种月季，如图1，分别在，边上取点，，围成，使得的面积为2平方米，且边用白色篱笆，边用金色篱笆，边不用篱笆，求该方案所需篱笆费用的最小值； 参考公式：对任意正实数，，有下列式子成立：；（当且仅当时取等号）． （3）方案二：若准备围出一块三角形区域种雏菊，如图2，分别在，，边上取点，，，围成，各边均使用白色篱笆，求该方案所需篱笆费用（元）的范围． 【答案】（1）米 （2）元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等面积法、不等式的应用、轴对称的应用等知识点，灵活运用轴对称的性质求最值是解题的关键． （1）直接运用等面积法求解即可； （2）由题意可得该方案所需篱笆费用，，即，再根据不等式的性质求解即可； （3）如图：作D关于的对称点，作D关于的对称点，连接，则的周长为，即当共线时，取最小值；进而求得，然后求费用的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设点到的距离为h， ∵的面积为， ∴，解得：米． ∴点到的距离为米． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设， 根据题意可得：该方案所需篱笆费用，，即， ∵， ∴， ∴该方案所需篱笆费用的最小值元． 【小问3详解】 解：如图：作D关于的对称点，作D关于的对称点，连接， ∴， ∴的周长为， ∴当共线时，取最小值， ∵， ∴点C在上，即共线， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，点，，，且． （1）求的度数； （2）如图1，点为延长线上一点，，为轴负半轴上一点，为线段上一点，连接交于点，，求的值； （3）如图2，，，点为线段上一动点，以为边作等腰，，且，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． （1）勾股定理求出，的长，证明为等边三角形，即可得出结果； （2）过点作，交轴于点，证明，得到，再证明，得到，进而得到，即可得出结果； （3）作，交轴于点，三角形的内角和定理结合，等角对等边，得到，证明，得到，证明，平行面积转化得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，交轴于点，则， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知：为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作，交轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初中学生素养练习 八年级数学 本练习共三大题25小题，共6页，满分150分．作答时间120分钟，不能使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在我国传统的祥瑞纹样中，云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动、灵性、精神以及祥瑞的载体和象征．下列四个云纹纹样中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 4. 将因式分解，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的值为（ ） A. 11 B. 14 C. 45 D. 30 9. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，是的角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，点，分别是线段和线段上的两个动点，连接，，则下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 12. 分解因式：____________． 13. 化简：_____． 14. 如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为_____． 15. 如图，的两个外角平分线和相交于点，连接，若，则_____． 16. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，由图可知，则_____，_____． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 如图，点E，F在上，，，，求证：． 19. 先化简，再求值：，从、、、中选择一个合适的数作为的值求解． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：请作出线段的垂直平分线，分别交边，于点，点（保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 21. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． （1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．从中你发现的结论用等式表示为__________． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 22. 乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米． 23. 如图，在与中，，，且，过点作，垂足为，交于点，延长交于点，连接． （1）①求证：；②求的度数； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 24. 某小区有一块休闲空地，其形状为直角，，米，米，米．社区计划在这块空地上种植花卉，为此设计了两种围三角形篱笆的方案．已知白色篱笆每米20元，金色篱笆每米30元． （1）先测算空地的基础数据，点到的距离为_____米； （2）方案一：若准备围出一块三角形区域种月季，如图1，分别在，边上取点，，围成，使得的面积为2平方米，且边用白色篱笆，边用金色篱笆，边不用篱笆，求该方案所需篱笆费用的最小值； 参考公式：对任意正实数，，有下列式子成立：；（当且仅当时取等号）． （3）方案二：若准备围出一块三角形区域种雏菊，如图2，分别在，，边上取点，，，围成，各边均使用白色篱笆，求该方案所需篱笆费用（元）的范围． 25. 在平面直角坐标系中，点，，，且． （1）求的度数； （2）如图1，点为延长线上一点，，为轴负半轴上一点，为线段上一点，连接交于点，，求的值； （3）如图2，，，点为线段上一动点，以为边作等腰，，且，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $