专题02 整式与分式（5考点解题技巧+避坑口诀，专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 专题02 整式与分式（5考点解题技巧+避坑口诀，专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：代数式推理题 解｜题｜技｜巧 口诀记忆（七步推理法） 审式定域标特征，化繁归简循法则，等量代换找关联，分类讨论不遗漏， 特殊验证探方向，严谨推导步步证，回代检验锁答案。 安徽中考代数推理题常以 “化简 + 求值 + 推理证明”“含参方程 / 不等式的推理”“代数式恒成立 / 定值探索”为核心题型， 结合考情的 2 个专属技巧：配方优先法、法则逆用法。 解题流程速记（结合口诀） 审式标域→化简变形→找等量 / 关联→分情况推导→特殊值验证→步步严谨证明→回代检验→书写结论（注：安徽中考解答题要求 “步骤清晰、依据明确，结论规范”，推理过程忌只写结果不写推导）。 1．（2025·安徽合肥·二模）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C． D．2 2．（2025·安徽滁州·三模）已知x，y是实数，且满足，若，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·安徽合肥·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·安徽芜湖·二模）已知实数a，b，c满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2025·安徽合肥·二模）已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2025·安徽滁州·一模）若，，则的值满足（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽淮南·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（2025·安徽合肥·一模）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 9．（2025·安徽合肥·三模）已知实数满足，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽·二模）已知两个不为零的实数满足其中．则（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足且，则下列结论判断正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·安徽安庆·一模）已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 13．（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2025·安徽合肥·二模）若，，则的值满足（   ） A．小于0 B．小于或等于0 C．大于0 D．大于或等于0 15．（2025·安徽滁州·二模）已知三个实数a，b，c满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 16．（2025·安徽芜湖·三模）若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·安徽滁州·三模）已知三个实数a，b，c满足 则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 18．（2025·安徽合肥·三模）已知，，下列结论中正确的是（　　） A． B．， C． D．， 19．（2025·安徽合肥·一模）已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 20．（2025·安徽滁州·三模）已知实数a，b，c均不为0，且 ．下列说法中错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 21．（2025·安徽·三模）已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 22．（2025·安徽淮北·三模） 已知实数满足，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 考点二：代数式规律探索 解｜题｜技｜巧 技巧口诀（速记版） 观形先看数与式，标序编号是第一； 差商倍方找递变，分组分段辨周期； 特殊值代入验证，通用式归纳统一； 图形转数译关系，消繁化简出规律。 安徽中考代数式规律题以数字序列、图形递变、循环规律、复合式规律为主，解题分四步，贴合考场实操：标序定元、找递变规律、归纳通项、验证收尾。 安徽特色考法技巧 图形类规律（如点阵、多边形、小棒拼图形）：先数图形中基础量的个数，再转成数字序列，如小棒拼三角形，第 1 个 3 根，第 2 个 5 根，第 3 个 7 根，转序列后即等差数列，规避 “数图形漏数、多数” 问题。 近 5 年安徽中考规律题均为中档题（8-10 分），多结合 “数字序列 + 图形递变”，解题时牢记： 数字规律题：优先用 “待定系数法”。 图形规律题：“数转形，形译数”，先将图形转化为数字序列，再按数字规律解题，降低图形分析难度； 循环规律题：“序号 ÷ 循环节，看余数”，余数为 0 则为循环节最后一项，余数为m则为循环节第 m项（安徽 2022、2024 年均考此方法）。 23．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 24．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 25．（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 26．（2025·安徽滁州·二模）观察下列等式． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)仿照上面的书写格式：______． (2)设等式左边的两个两位数分别是，，其中，用含m，a，b的等式表示上述规律，并证明． 27．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 28．（2025·安徽滁州·三模）观察下面的一系列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 根据以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式； (2)直接写出第n个等式（用含n的式子表示）． 29．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了均为自然数，且）的问题．研究过程如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ………… (1)按照以上规律，填空． ①请你写出当时，（    ）（    ）； ②猜想（    ） (2)兴趣 ………… 按照以上规律，请你猜想__________________，并证明． 30．（2025·安徽亳州·三模）数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： (1)请用上述方法验证266能否被7整除． (2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217      945 ______ ______ … … … (3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 31．（2025·安徽马鞍山·三模）数学活动课上，老师设计了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每组相邻的两个数字之间插入这两个数字的和，形成一列新的有序数字．老师列出的初始数字为2，5，第1次构造后得到2，7，5，第2次构造后得到2，9，7，12，5……依次类推．设第次构造后得到，并定义为所有数字的和，即． (1)老师将部分信息整理如下表，请根据表中规律回答下列问题： 构造次数 构造后的有序数字 的值 0 2，5 7 1 2，7，5 14 2 2，9，7，12，5 35 3 2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5 98 （ⅰ）第3次构造后的有序数字为2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5； （ⅱ）第4次构造后的的值为_____． (2)兴趣小组猜测当时，与存在等量关系（，为常数）．老师给出部分分析过程，请你阅读内容，完成未完成的解答，并求出，的值． 假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 …… 32．（2025·安徽蚌埠·三模）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 33．（2025·安徽六安·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 34．（2025·安徽宣城·三模）数学兴趣小组发现在实数范围内不能因式分解，接着他们研究的因式分解问题，过程如下． (1)当x为正整数时： ； ； ； ； …… 按照以上规律，回答下列问题： （ⅰ）__________=____________； （ⅱ）_________=___________． (2)在（1）的研究基础上，请你猜想：当x为任意实数时，因式分解所得的结果．并证明该因式分解结果的正确性． 35．（2025·安徽安庆·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式用含n的等式表示，并证明其正确性． 考点三：整式的运算与化简求值 解｜题｜技｜巧 解题技巧核心口诀（速记版） 整式运算三步走，先判类型再下手；幂的运算记法则，同底不变指运算； 乘除先算后加减，去括添括看符号；公式活用是关键，平方和差辨清楚； 合并同类项要细，系数相加减不变；最后检查莫偷懒，降幂排列更直观。 分模块技巧口诀（贴合安徽中考考点） 1.幂的运算（安徽中考高频基础考点） 同底相乘指数加，同底相除指数减；幂的乘方指数乘，积的乘方遍乘方； 零次幂值恒为 1，底数不为 0 记牢；负指数幂倒过来，正指数算完取倒数。 2. 整式乘除（含单项式 / 多项式运算） 单乘单，系数乘，同底幂，指数加，单独字母照写下； 单乘多，用分配，一项一项乘下来，符号跟着系数走； 多乘多，逐项乘，合并同类项收尾，有序计算不遗漏； 单除单，系数除，同底幂，指数减，余式保留莫省略； 多除单，分配律，每一项都要相除，系数字母分别算。 3. 乘法公式（安徽中考必考，常结合化简求值） 平方差：两数和乘两数差，等于平方相减差， (a+b)(a-b)=a²-b²，认准 “一同一反” 才可用； 完全平方：和平方，差平方，首平方尾平方，积的两倍中间放； 和平方加两倍，差平方减两倍，符号跟着中间走，切勿漏项丢系数。 4. 整式加减（去括号 + 合并同类项） 去括号，看符号，正号不变负号变，括号前有数先乘遍；合并同类项，两相同（字母同、指数同），系数相加减，字母指数不动弹。 安徽中考适配补充口诀（贴合本地考情） 安徽整式考化简，先化最简再求值；带值必看取值范围，分母根号不为 0；混合运算分步写，草稿清晰少出错；压轴题中嵌整式，先拆后合再代入。 36．（2025·安徽淮南·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·安徽淮南·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·安徽合肥·三模）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 39．（2025·安徽合肥·二模）若实数，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（2024·安徽合肥·三模）计算：． 41．（2024·安徽合肥·二模）已知，，求的值． 42．（2025·安徽蚌埠·三模）化简：． 43．（2025·安徽黄山·三模）计算：． 44． （2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中，． 考点四：因式分解 易｜混｜易｜错 通用避坑总口诀 一提二套三检验，分解到底是关键；符号正负看仔细，公因式要提干净；公式特征别记混，十字相乘拆对边。 分题型避坑小口诀 提公因式避坑：数字找最大，字母取最低；整体当单母，漏提全白做。 1. 公式套用避坑：平方差看两项，一正一负平方项；完全平方看三项，中间两倍首尾积；符号跟着中间走，少个符号错到头。 2. 十字相乘法避坑：常数拆积，一次拆和；正积同号，负积异号；拆完验证，别忘检验。 3. 最终结果避坑：括号里面无公因，括号之外无加减；相同因式写成方，多个因式按序排。 4. 安徽中考因式分解高频易错点（对应 “闭坑” 重点） 5. 第一步忘提公因式，直接套公式（安徽中考最易丢分点，占因式分解错题 80%）； 6. 公因式提不净，仅提字母不提数字、仅提一次不提整体； 7. 完全平方公式混淆中间项系数，忽略 “2 倍积”； 8. 符号处理失误，尤其是整体公因式的符号变形； 9. 分解不彻底，未检验括号内是否可继续分解； 结果书写不规范（未写乘方、括号外有加减、因式顺序混乱） 45．（2025·安徽滁州·三模）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（  ） A． B． C． D． 46．（2025·安徽亳州·模拟预测）分解因式： ． 47．（2025·安徽滁州·三模）因式分解： ． 48．（2025·安徽蚌埠·二模）因式分解： ． 49．（2025·安徽滁州·模拟预测）分解因式： ． 50．（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 51．（2025·安徽合肥·模拟预测）分解因式： 考点五：分式的化简求值 易｜混｜易｜错 核心总口诀 分式化简三不走，分母为 0 坚决丢；先分解再约通，代入之前验范围；加减看公分母，乘除变乘交叉约；整体代入巧凑形，最后计算别粗心。 分题型避坑子口诀 1. 概念判断坑：有母有字母，分母不为 0，二者同时满足，才是真分式（避：误把分母无字母、分母为 0 的式子当成分式）； 2. 约分通分坑：约通只乘除，勿漏 1 和负；分解要彻底，公因全消去（避：漏提公因式、符号处理错误、约分时直接约掉字母）； 3. 取值代入坑：原分除式都不为 0，选数先把范围定（避：代入使分母为 0 的数，忽略除式不能为 0 的隐藏条件）； 4. 计算符号坑：分子相加减，括号要添全；负号提出来，各项都变号（避：通分后分子加减漏括号，导致符号错误）； 5. 整体代入坑：式子先化简，再凑已知形；不求单独值，整体代更灵（避：强行解复杂方程求 x，计算繁琐易出错）。 解｜题｜技｜巧 化简求值解题技巧（三步法秒杀） 安徽中考分式化简求值多结合因式分解、通分约分、整体代入，核心按 “先化筒、再验条件、最后求值” 三步走，精准高效： 第一步：化繁为简 —— 先分解再约分，再通分算加减 1. 因式分解优先用：提公因式→平方差→完全平方（安徽中考高频考这三类，极少考十字相乘）； 2. 乘除混算：统一化为乘法，分子分母交叉约分（约分到最简再计算，减少计算量）； 3. 加减运算：先找最简公分母（系数取最小公倍数，字母取最高次幂），通分后分子相加减，分母不变，最后再约分。 第二步：验证条件 —— 圈定取值范围，排除增根 1. 先根据原分式分母≠0、除式≠0列不等式，确定 x 的取值范围； 2. 若题目给 “选一个合适的数代入”，优先选0、±1、2（安徽中考常考，计算简便），但必须避开使分式无意义的数。 第三步：代入求值 —— 直接代 / 整体代，灵活选 1. 直接代入：化简后式子最简，直接将符合条件的 x 值代入计算； 2. 整体代入：若已知条件是等式，不单独求 x，将化简后的式子凑成已知等式的形式代入（安徽中考压轴型化简求值高频考此技巧）。 安徽中考高频考法适配技巧 1. 基础型（化简后直接代入）：严格按 “分解→约分→验范围→代入”，重点避约分不彻底、代入无意义数； 2. 中档型（结合因式分解）：优先分解平方差（a²-b²）、完全平方（a²±2ab+b²），安徽中考 90% 的化简题仅考这两种分解； 3. 压轴型（整体代入）：已知条件多为x²+mx+n=k，化简后式子往已知条件上凑，如 x²+3x=2，直接代入选好的形式，无需解一元二次方程。 52．（2025·安徽合肥·三模）先化简，再求值：．其中． 53．（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中． 54．（2025·安徽蚌埠·三模）先化简，再求值：，其中． 55．（2025·安徽滁州·二模）先化简，再求值：，其中． 56．（2025·安徽六安·三模）先化简，再求值：，其中． 57．（2025·安徽合肥·三模）先化简、后求值：，其中． 58．（2025·安徽安庆·三模）先化简，再求值：，其中． 59．（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中． 60．（2025·安徽滁州·二模）化简求值：，其中． 61．（2025·安徽蚌埠·三模）先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值． 62．（2025·安徽·三模）先化简，然后从，0，1这三个数中选一个合适的数代入求值． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）下列运算中，计算正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 4．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·安徽六安·模拟预测）已知为实数，且，，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽宿州·模拟预测）新考法·代数推理已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽·模拟预测）下列式子变形是正确的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）分解因式： ． 9．（2025·安徽亳州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 10．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 11．（2025·安徽·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 12．（2025·安徽淮南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 13．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， (1)写出第个式子： ． (2)按照以上规律，第个等式为 ，写出证明过程． 14．（2025·安徽宿州·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________． (2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示）．并证明． 15．（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知实数，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结． 【观察与思考】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题． （1）请直接写出第6个等式：__________； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明； 【实践与应用】直接写出下列式子的结果． （3）__________． 4．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）我们先从多米诺骨牌游戏说起．这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 由上述问题的启发，我们发现了一种新的数学证明方法． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值（为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设（，k为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法（）． 例：用数学归纳法证明：（n为正整数）． 证明：（1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立，即．那么，，即当时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对于任何正整数n都成立． 根据上述材料解决下面问题： (1)观察图形与等式的关系，并填空． ； ； (2)用数学归纳法证明上面的结论． ．（n为正整数） 6．（2025·安徽阜阳·模拟预测）在数学的奇妙世界里，等式就像一座桥梁，连接着不同的数学量．如果一个等式，在所讨论的范围里不是对字母的所有允许值都成立，而是仅当字母满足某些条件时才能使等式成立，这样的等式叫做条件等式．例如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，实际上我们学过的很多方程都属于条件等式．现在让我们研究一个有趣的等式，其中，那么，这个等式成立的条件是什么呢？ 【探究之旅】假设该等式成立，先对它进行移项，得到．然后，我们在等式两边同时加上4，这时左边就变成了，根据完全平方公式可以写成；右边写成．将右边的式子移到左边，再利用平方差公式进一步分解因式，可得①___________．因为，所以等式成立的条件应为②___________． 请将两处空缺①②补充完整； 【实践运用】根据我们刚刚探究得到的结果，我们来玩一个有趣的“等式创造”游戏．大家观察这两个等式：，，仿照这样的思路，补全等式：______________________； 【拓展创新】经过前面的探究和运用，相信大家对这类条件等式有了更深入的理解．现在，我们进入拓展阶段．豆包同学经过思考，推广得到了这样一个等式： （其中）．请你证明这个等式是否成立． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 专题02 整式与分式（5考点解题技巧+避坑口诀，专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：代数式推理题 解｜题｜技｜巧 口诀记忆（七步推理法） 审式定域标特征，化繁归简循法则，等量代换找关联，分类讨论不遗漏， 特殊验证探方向，严谨推导步步证，回代检验锁答案。 安徽中考代数推理题常以 “化简 + 求值 + 推理证明”“含参方程 / 不等式的推理”“代数式恒成立 / 定值探索”为核心题型， 结合考情的 2 个专属技巧：配方优先法、法则逆用法。 解题流程速记（结合口诀） 审式标域→化简变形→找等量 / 关联→分情况推导→特殊值验证→步步严谨证明→回代检验→书写结论（注：安徽中考解答题要求 “步骤清晰、依据明确，结论规范”，推理过程忌只写结果不写推导）。 1．（2025·安徽合肥·二模）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故选：C． 2．（2025·安徽滁州·三模）已知x，y是实数，且满足，若，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：原方程变形为：， 对x和y分别配方： ， ∵， ∴， ∴， 将代入得：． 故选：A． 3．（2025·安徽合肥·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∴，则，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故D选项正确 ，不符合题意； 故选：C． 4．（2025·安徽芜湖·二模）已知实数a，b，c满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A. 若，则，故A正确，不合题意； B. 若，则， ∵ ∴，即，故B正确，不合题意； C.∵， ∴ 若，则 ∴，故C正确，不合题意     D.根据C可得， 若，则 ∴ ∵ ∴ ∴，即所以D选项不正确，符合题意． 故选：D． 5．（2025·安徽合肥·二模）已知三个实数a，b，c满足，且，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故选项A正确，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得：， ∴；故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故选项C正确，不符合题意； 若，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 6．（2025·安徽滁州·一模）若，，则的值满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 故选：D． 7．（2025·安徽淮南·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ， ∴； ， ， 由可知， 则， 又， 故， ； 综上， 且 ． 故选： A． 8．（2025·安徽合肥·一模）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 【答案】D 【详解】解：、．显然成立，故该选项不符合题意； 、展开得：，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n同号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个同号根， ∴， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n异号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个异号根， ∴， ∴，则或, 又∵ 综上可，故该选项符合题意； 故选：D． 9．（2025·安徽合肥·三模）已知实数满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴． 故选：A． 10．（2025·安徽·二模）已知两个不为零的实数满足其中．则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 11．（2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足且，则下列结论判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 又 ，即①． ，故A错误． ，即． ②，故B错误． 由①②，得． ， 必为正数． ，故C正确． ， ，故D错误． 故选C． 12．（2025·安徽安庆·一模）已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ，即， ， ， 将代入得， ， ，， 故选：A． 13．（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：、∵，∴， ∴，∴，原选项正确； 、若，由于，， ∵， ∴， ∴， ∴，原选项正确； 、若，∵， ∴，即，原选项正确； 、若，则， ∴， 将代入等式， 左边，右边， 左边右边，原选项错误， 故选：． 14．（2025·安徽合肥·二模）若，，则的值满足（   ） A．小于0 B．小于或等于0 C．大于0 D．大于或等于0 【答案】D 【详解】解：， 得， 则， 将代入②得：， 解得：， 则 ， 故选：D． 15．（2025·安徽滁州·二模）已知三个实数a，b，c满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上：， 故选：D． 16．（2025·安徽芜湖·三模）若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴， 故选：B． 17．（2025·安徽滁州·三模）已知三个实数a，b，c满足 则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵， ∴，即 故选B． 18．（2025·安徽合肥·三模）已知，，下列结论中正确的是（　　） A． B．， C． D．， 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∴， 综上所述，，，， 故选：D． 19．（2025·安徽合肥·一模）已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解：，， ， ，，是互不相等的实数， ， ， ， ，，是互不相等的实数， ， ； 最大； 故选：A 20．（2025·安徽滁州·三模）已知实数a，b，c均不为0，且 ．下列说法中错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：若，则， ∵， ，即A 正确． ， 若，则， ∴， ，即B正确． 若，则 ，即 ，即C正确． 若，则可设， ，即， 而，即D错误． 故选：D． 21．（2025·安徽·三模）已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 22．（2025·安徽淮北·三模） 已知实数满足，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，故A错误； ， ， ， ，故B错误； ， ， ， ，故C错误； ， ，故D正确． 故选：D． 考点二：代数式规律探索 解｜题｜技｜巧 技巧口诀（速记版） 观形先看数与式，标序编号是第一； 差商倍方找递变，分组分段辨周期； 特殊值代入验证，通用式归纳统一； 图形转数译关系，消繁化简出规律。 安徽中考代数式规律题以数字序列、图形递变、循环规律、复合式规律为主，解题分四步，贴合考场实操：标序定元、找递变规律、归纳通项、验证收尾。 安徽特色考法技巧 图形类规律（如点阵、多边形、小棒拼图形）：先数图形中基础量的个数，再转成数字序列，如小棒拼三角形，第 1 个 3 根，第 2 个 5 根，第 3 个 7 根，转序列后即等差数列，规避 “数图形漏数、多数” 问题。 近 5 年安徽中考规律题均为中档题（8-10 分），多结合 “数字序列 + 图形递变”，解题时牢记： 数字规律题：优先用 “待定系数法”。 图形规律题：“数转形，形译数”，先将图形转化为数字序列，再按数字规律解题，降低图形分析难度； 循环规律题：“序号 ÷ 循环节，看余数”，余数为 0 则为循环节最后一项，余数为m则为循环节第 m项（安徽 2022、2024 年均考此方法）。 23．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 24．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 25．（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 【答案】(1)， (2)66 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）求出前面几个图形中黑色正方形和白色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题干得，图n的黑色正方形有，白色正方形比黑色正方形多n个 ∴图n 的白色正方形有个； （2）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 26．（2025·安徽滁州·二模）观察下列等式． …… 按照以上规律，解答下列问题． (1)仿照上面的书写格式：______． (2)设等式左边的两个两位数分别是，，其中，用含m，a，b的等式表示上述规律，并证明． 【详解】（1）和41的十位均为4，个位，符合题目规律． 按照规律，结果应为：； 故答案为：； （2）规律表达式：， 证明：展开左边：， 代入条件：由，得：， 整理右边：， 左右两边相等， 27．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 【详解】（1）解：观察图形可知，每增加一个大正方形，则增加3个小正方形，可得第5个图形中有6个大正方形，13个小正方形，共有19个正方形； （2）解：观察图形可知：第1个图形中有个大正方形，个小正方形，共有3个正方形； 第2个图形中有个大正方形，个小正方形，共有7个正方形； 第3个图形中有个大正方形，个小正方形，共有11个正方形； ……； 第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形． （3）解：观察图2，基础图形的交点的坐标为，则小正方形的对角线长为2， ∴的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， ……， 以此类推，则的坐标为； 28．（2025·安徽滁州·三模）观察下面的一系列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 根据以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式； (2)直接写出第n个等式（用含n的式子表示）． 【详解】（1）解：由前几个等式变化可得：第5个等式为； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 依次规律， 得：第n个等式为． 证明：， ， ∴． 29．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了均为自然数，且）的问题．研究过程如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ………… (1)按照以上规律，填空． ①请你写出当时，（    ）（    ）； ②猜想（    ） (2)兴趣 ………… 按照以上规律，请你猜想__________________，并证明． 【详解】（1）解：①当时，； ②猜想：． 故答案为：①，43；②； （2）解：猜想：， 证明： ， 所以左边右边，猜想成立． 30．（2025·安徽亳州·三模）数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： (1)请用上述方法验证266能否被7整除． (2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217      945 ______ ______ … … … (3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ∴能被整除； （2）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 当能被7整除时，也是的倍数，即是的倍数， ∴也是的倍数，能被整除， ∴当能被7整除时，也能被7整除． 31．（2025·安徽马鞍山·三模）数学活动课上，老师设计了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每组相邻的两个数字之间插入这两个数字的和，形成一列新的有序数字．老师列出的初始数字为2，5，第1次构造后得到2，7，5，第2次构造后得到2，9，7，12，5……依次类推．设第次构造后得到，并定义为所有数字的和，即． (1)老师将部分信息整理如下表，请根据表中规律回答下列问题： 构造次数 构造后的有序数字 的值 0 2，5 7 1 2，7，5 14 2 2，9，7，12，5 35 3 2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5 98 （ⅰ）第3次构造后的有序数字为2，_____，9，_____，7，_____，12，_____，5； （ⅱ）第4次构造后的的值为_____． (2)兴趣小组猜测当时，与存在等量关系（，为常数）．老师给出部分分析过程，请你阅读内容，完成未完成的解答，并求出，的值． 假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 …… 【详解】（1）解：（i）， 故答案为：11，16，19，17 ； （ii）第三次构造后的数为：2，11，9，16，7，19，12，17，5， 按照同样分式构造，那么第四次构造后的数为：2，13，11，20，9，25，16，23，7，26，19，31，12，29，17，22，5， ∴第四次构造后， 故答案为：287； （2）解：假设第次构造后的数字为“”（其中，），， 则， 即 ， ∴． 32．（2025·安徽蚌埠·三模）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【详解】解：（1） ． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． 33．（2025·安徽六安·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【详解】（1）解：（ⅰ）； （ⅱ）能被8整除； 证明： ， 又是正整数， 能被8整除，结论成立； （2）解： ， ． 故答案为：（或），． 34．（2025·安徽宣城·三模）数学兴趣小组发现在实数范围内不能因式分解，接着他们研究的因式分解问题，过程如下． (1)当x为正整数时： ； ； ； ； …… 按照以上规律，回答下列问题： （ⅰ）__________=____________； （ⅱ）_________=___________． (2)在（1）的研究基础上，请你猜想：当x为任意实数时，因式分解所得的结果．并证明该因式分解结果的正确性． 【详解】（1）解：（1）（ⅰ）； 故答案为：，； （ⅱ）； 故答案为：，； （2）猜想：因式分解的结果为．     证明：∵， ∴是正确的． 35．（2025·安徽安庆·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式用含n的等式表示，并证明其正确性． 【详解】（1）根据规律，第n个等式左边为， 右边为， 当时：左边分子：，分母分别为4和，即， 右边为， 第4个等式为：； 故答案为：； （2）第n个等式为：， 验证：左边：， 右边：， 两边相等，猜想成立． 考点三：整式的运算与化简求值 解｜题｜技｜巧 解题技巧核心口诀（速记版） 整式运算三步走，先判类型再下手；幂的运算记法则，同底不变指运算； 乘除先算后加减，去括添括看符号；公式活用是关键，平方和差辨清楚； 合并同类项要细，系数相加减不变；最后检查莫偷懒，降幂排列更直观。 分模块技巧口诀（贴合安徽中考考点） 1.幂的运算（安徽中考高频基础考点） 同底相乘指数加，同底相除指数减；幂的乘方指数乘，积的乘方遍乘方； 零次幂值恒为 1，底数不为 0 记牢；负指数幂倒过来，正指数算完取倒数。 2. 整式乘除（含单项式 / 多项式运算） 单乘单，系数乘，同底幂，指数加，单独字母照写下； 单乘多，用分配，一项一项乘下来，符号跟着系数走； 多乘多，逐项乘，合并同类项收尾，有序计算不遗漏； 单除单，系数除，同底幂，指数减，余式保留莫省略； 多除单，分配律，每一项都要相除，系数字母分别算。 3. 乘法公式（安徽中考必考，常结合化简求值） 平方差：两数和乘两数差，等于平方相减差， (a+b)(a-b)=a²-b²，认准 “一同一反” 才可用； 完全平方：和平方，差平方，首平方尾平方，积的两倍中间放； 和平方加两倍，差平方减两倍，符号跟着中间走，切勿漏项丢系数。 4. 整式加减（去括号 + 合并同类项） 去括号，看符号，正号不变负号变，括号前有数先乘遍；合并同类项，两相同（字母同、指数同），系数相加减，字母指数不动弹。 安徽中考适配补充口诀（贴合本地考情） 安徽整式考化简，先化最简再求值；带值必看取值范围，分母根号不为 0；混合运算分步写，草稿清晰少出错；压轴题中嵌整式，先拆后合再代入。 36．（2025·安徽淮南·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是同类项，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算正确，符合题意； D、，故计算错误，不符合题意； 故选：C． 37．（2025·安徽淮南·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 38．（2025·安徽合肥·三模）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 39．（2025·安徽合肥·二模）若实数，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：． 根据积的乘方法则，，系数2需单独乘方，即；乘方得． 原式应为，但选项A结果为，系数错误且多出，故错误，不符合题意． B：． 根据同底数幂乘法法则，，指数相加得，但选项B结果为，故错误，不符合题意． C：． 根据同底数幂除法法则，，指数相减得，与选项C一致，故正确，符合题意． D：． 与不是同类项，无法直接相减． 例如取，左边为，右边为，不相等，故错误，不符合题意． 故选：C． 40．（2024·安徽合肥·三模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 41．（2024·安徽合肥·二模）已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 42．（2025·安徽蚌埠·三模）化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 43．（2025·安徽黄山·三模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 44．（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解： 代入 和 得 原式 考点四：因式分解 易｜混｜易｜错 通用避坑总口诀 一提二套三检验，分解到底是关键；符号正负看仔细，公因式要提干净；公式特征别记混，十字相乘拆对边。 分题型避坑小口诀 提公因式避坑：数字找最大，字母取最低；整体当单母，漏提全白做。 1. 公式套用避坑：平方差看两项，一正一负平方项；完全平方看三项，中间两倍首尾积；符号跟着中间走，少个符号错到头。 2. 十字相乘法避坑：常数拆积，一次拆和；正积同号，负积异号；拆完验证，别忘检验。 3. 最终结果避坑：括号里面无公因，括号之外无加减；相同因式写成方，多个因式按序排。 4. 安徽中考因式分解高频易错点（对应 “闭坑” 重点） 5. 第一步忘提公因式，直接套公式（安徽中考最易丢分点，占因式分解错题 80%）； 6. 公因式提不净，仅提字母不提数字、仅提一次不提整体； 7. 完全平方公式混淆中间项系数，忽略 “2 倍积”； 8. 符号处理失误，尤其是整体公因式的符号变形； 9. 分解不彻底，未检验括号内是否可继续分解； 结果书写不规范（未写乘方、括号外有加减、因式顺序混乱） 45．（2025·安徽滁州·三模）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：B． 46．（2025·安徽亳州·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 47．（2025·安徽滁州·三模）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为： 48．（2025·安徽蚌埠·二模）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 49．（2025·安徽滁州·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 50．（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 51．（2025·安徽合肥·模拟预测）分解因式： 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：． 考点五：分式的化简求值 易｜混｜易｜错 核心总口诀 分式化简三不走，分母为 0 坚决丢；先分解再约通，代入之前验范围；加减看公分母，乘除变乘交叉约；整体代入巧凑形，最后计算别粗心。 分题型避坑子口诀 1. 概念判断坑：有母有字母，分母不为 0，二者同时满足，才是真分式（避：误把分母无字母、分母为 0 的式子当成分式）； 2. 约分通分坑：约通只乘除，勿漏 1 和负；分解要彻底，公因全消去（避：漏提公因式、符号处理错误、约分时直接约掉字母）； 3. 取值代入坑：原分除式都不为 0，选数先把范围定（避：代入使分母为 0 的数，忽略除式不能为 0 的隐藏条件）； 4. 计算符号坑：分子相加减，括号要添全；负号提出来，各项都变号（避：通分后分子加减漏括号，导致符号错误）； 5. 整体代入坑：式子先化简，再凑已知形；不求单独值，整体代更灵（避：强行解复杂方程求 x，计算繁琐易出错）。 解｜题｜技｜巧 化简求值解题技巧（三步法秒杀） 安徽中考分式化简求值多结合因式分解、通分约分、整体代入，核心按 “先化筒、再验条件、最后求值” 三步走，精准高效： 第一步：化繁为简 —— 先分解再约分，再通分算加减 1. 因式分解优先用：提公因式→平方差→完全平方（安徽中考高频考这三类，极少考十字相乘）； 2. 乘除混算：统一化为乘法，分子分母交叉约分（约分到最简再计算，减少计算量）； 3. 加减运算：先找最简公分母（系数取最小公倍数，字母取最高次幂），通分后分子相加减，分母不变，最后再约分。 第二步：验证条件 —— 圈定取值范围，排除增根 1. 先根据原分式分母≠0、除式≠0列不等式，确定 x 的取值范围； 2. 若题目给 “选一个合适的数代入”，优先选0、±1、2（安徽中考常考，计算简便），但必须避开使分式无意义的数。 第三步：代入求值 —— 直接代 / 整体代，灵活选 1. 直接代入：化简后式子最简，直接将符合条件的 x 值代入计算； 2. 整体代入：若已知条件是等式，不单独求 x，将化简后的式子凑成已知等式的形式代入（安徽中考压轴型化简求值高频考此技巧）。 安徽中考高频考法适配技巧 1. 基础型（化简后直接代入）：严格按 “分解→约分→验范围→代入”，重点避约分不彻底、代入无意义数； 2. 中档型（结合因式分解）：优先分解平方差（a²-b²）、完全平方（a²±2ab+b²），安徽中考 90% 的化简题仅考这两种分解； 3. 压轴型（整体代入）：已知条件多为x²+mx+n=k，化简后式子往已知条件上凑，如 x²+3x=2，直接代入选好的形式，无需解一元二次方程。 52．（2025·安徽合肥·三模）先化简，再求值：．其中． 【答案】；． 【详解】解： 原式 当时，原式 53．（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中． 【答案】 【详解】解：， 当时，原式=． 54．（2025·安徽蚌埠·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解： ． 当时，原式． 55．（2025·安徽滁州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：， ， 原式． 56．（2025·安徽六安·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时， 原式． 57．（2025·安徽合肥·三模）先化简、后求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： = = 当时， 原式=． 58．（2025·安徽安庆·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ． 当时，原式． 59．（2025·安徽合肥·二模）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 60．（2025·安徽滁州·二模）化简求值：，其中． 【答案】，． 【详解】解： ∵ ∴原式 ． 61．（2025·安徽蚌埠·三模）先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值． 【答案】；，原式 【详解】解：原式 ， 整数解为，0，1， 又，且时，分式有意义， 当时，原式． 62．（2025·安徽·三模）先化简，然后从，0，1这三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】；时原式 【详解】解： ， ∵， 当时 原式． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）下列运算中，计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A：，计算正确，故本选项符合题意； B：，正确结果为，与原式不符，原式错误，故本选项不符合题意； C： 与不是同类项，无法合并，结果应为，原式错误，故本选项不符合题意； D：完全平方公式应为，原式错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 3．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】C 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴． 故选C． 4．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∴结合二次函数图象可解得：， ∵， ∴， 故选：B． 5．（2025·安徽六安·模拟预测）已知为实数，且，，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， 由，得，即， ∵， ∴， ∴，即， 由，得，即，， ∴， ∴，即， 故选：． 6．（2025·安徽宿州·模拟预测）新考法·代数推理已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 代入得， ， ， ， 故选：C 7．（2025·安徽·模拟预测）下列式子变形是正确的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．等号右边有分式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左到右的变形属于整式的乘法，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 8．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（2025·安徽亳州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ； 当时， 原式． 10．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 11．（2025·安徽·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 12．（2025·安徽淮南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴原式． 13．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， (1)写出第个式子： ． (2)按照以上规律，第个等式为 ，写出证明过程． 【详解】（1）解：第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 故答案为：； （2）解：由（）的规律可得，第个等式为． 证明：∵， ， ∴， 故答案为：． 14．（2025·安徽宿州·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________． (2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示）．并证明． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：． ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）第n个等式：， 证明：右边左边． 故答案为：． 15．（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 【详解】（1）解：∵，， ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）由题意可知，左边前后3的指数差1， 总结规律得：第n个等式：． 证明：左边右边， ∴等式成立． （3）∵， ∴， 原式 ． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知实数，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，则 ∵ ∴ ∴， ∴或 即或，故A，B不正确 ∵ ∴，故C选项不正确，D选项正确 故选：D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，． ， ∵， ， ∴． 故选A． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结． 【观察与思考】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题． （1）请直接写出第6个等式：__________； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明； 【实践与应用】直接写出下列式子的结果． （3）__________． 【详解】解：（1）由题意可得：第6个等式：， （2）猜想：第n个等式为：． 证明：等式左边 等式右边， 所以等式成立 （3） ； 故答案为：． 4．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ， ， 故答案为：5，5； （2）解：， 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：； （3）解：根据之前的探究，可得． 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）我们先从多米诺骨牌游戏说起．这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下，只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 由上述问题的启发，我们发现了一种新的数学证明方法． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值（为正整数）时命题成立； （2）（归纳递推）假设（，k为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法（）． 例：用数学归纳法证明：（n为正整数）． 证明：（1）当时，左边，右边，等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立，即．那么，，即当时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对于任何正整数n都成立． 根据上述材料解决下面问题： (1)观察图形与等式的关系，并填空． ； ； (2)用数学归纳法证明上面的结论． ．（n为正整数） 【详解】（1）解：，； 故答案为：16，； （2）证明：（1）当时， 左边，右边， 等式成立． （2）假设当（k为正整数）时等式成立， 即． 那么，， 即当时等式也成立． 根据（1）和（2）， 可知等式对于任何正整数n都成立． 故答案为：． 6．（2025·安徽阜阳·模拟预测）在数学的奇妙世界里，等式就像一座桥梁，连接着不同的数学量．如果一个等式，在所讨论的范围里不是对字母的所有允许值都成立，而是仅当字母满足某些条件时才能使等式成立，这样的等式叫做条件等式．例如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，实际上我们学过的很多方程都属于条件等式．现在让我们研究一个有趣的等式，其中，那么，这个等式成立的条件是什么呢？ 【探究之旅】假设该等式成立，先对它进行移项，得到．然后，我们在等式两边同时加上4，这时左边就变成了，根据完全平方公式可以写成；右边写成．将右边的式子移到左边，再利用平方差公式进一步分解因式，可得①___________．因为，所以等式成立的条件应为②___________． 请将两处空缺①②补充完整； 【实践运用】根据我们刚刚探究得到的结果，我们来玩一个有趣的“等式创造”游戏．大家观察这两个等式：，，仿照这样的思路，补全等式：______________________； 【拓展创新】经过前面的探究和运用，相信大家对这类条件等式有了更深入的理解．现在，我们进入拓展阶段．豆包同学经过思考，推广得到了这样一个等式： （其中）．请你证明这个等式是否成立． 【详解】解：探究之旅： 根据题意可知， ， 即 ∵， ∴， 故答案为：，； 实践运用： 由（）得：， 则，解得：， 故答案为：，； 拓展创新： 证明：等式左边， 等式右边， ∴左边右边， ∴等式成立． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $