专题01 实数及其运算（6考点解题技巧+避坑口诀，专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 专题01 实数及其运算（6考点解题技巧+避坑口诀，专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：实数的分类与相关概念 解｜题｜技｜巧 1.无理数判断：带根号先化简，有循环是有理数，含π必是无理数。 2.实数相关概念： 相反数：“符号相反，数值相同”， 倒数：“乘积为 1”， 绝对值：“非负性”，正数和 0 的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数。 3.计算技巧：求倒数前先将带分数化为假分数、小数化为分数。 1．（2025·安徽宿州·模拟预测）下列为负数的是（    ） A． B．0 C． D． 2．（2025·安徽滁州·三模）下列为正数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）在，0，3，这四个数中，负整数是（    ） A． B．0 C．3 D． 4．（2025·安徽淮南·二模）下列各数中，与实数25互为倒数的是（    ） A．25 B．52 C． D． 5．（2025·安徽阜阳·三模）的相反数是（    ） A． B． C． D．3 6．（2025·安徽蚌埠·三模）化简：（   ） A． B．25 C． D．52 7．（2025·安徽淮南·二模）的相反数是（    ） A．25 B． C．5 D． 8．（2025·安徽黄山·三模）有理数在数轴上对应的点到原点的距离为5，则的相反数是（   ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 9．（2025·安徽·模拟预测）若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．5 D． 10．（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 12．（2025·安徽芜湖·三模）已知实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 考点二：科学记数法 易｜混｜易｜错 移位细节口诀（解决安徽中考易错的位数数错问题） 小数点，移到左，数到第一位非零处； 移几位，n 就是几，正数写在 10 右上角； 小数点，移到右，跳过零直到非零头； 移几位，n 负几，易错点别数零漏头。 13．（2025·安徽合肥·二模）2025年1～2月，安徽省汽车产量为万辆，首次反超广东，登顶中国第一汽车产量大省．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·安徽·模拟预测）“谷子”经济，即以漫画、动漫、游戏等IP为原型的二次元周边商品，正在成为年轻人的消费新宠．数据显示，中国“谷子经济”市场规模在2024年达1689亿元．数字“1689亿”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·安徽·模拟预测）水是生命之源．已知水分子的直径为0.00000000028米，则0.00000000028用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·安徽合肥·二模）哈尔滨工业大学团队利用飞秒激光在二维多层材料上制备出超分辨率纳米沟槽阵列（），沟槽宽度仅纳米（约为激光波长的），深度贯穿纳米片该技术突破了光学衍射极限，且加工过程低损伤，保留了材料的单晶特性，为高性能气敏传感器（如检测）和电子器件提供了新方案，纳米（纳米米）用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 17．（2025·安徽阜阳·三模）中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·安徽蚌埠·三模）将精确到百位的结果是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，若对x取近似值保留到个位，则 ． 考点三：数的开方与二次根式 易｜混｜易｜错 易错点防混口诀 平方根，算术根，一字之差别搞混； 根号里，别放负，分母别留根号位； 化简别漏系数倍，移出符号要配对； 混合运算先顺序，乘除优先加减后。 20．（2025·安徽合肥·二模）计算： ． 21．（2025·安徽安庆·三模）计算： ． 22．（2025·安徽芜湖·模拟预测）计算： ． 23．（2025·安徽蚌埠·三模）计算∶ ． 24．（2025·安徽·二模）计算：= 25．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为 26．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）计算： 解｜题｜技｜巧 1.数的开方基础口诀 平方根，成对出，正负相等零特殊； 算术根，单一个，非负特性要记牢； 立方根，独苗苗，正正负负零还零； 被开方数，非负数，根式才有意义在。 2.二次根式化简口诀 根式化简两步走，先看被开方数结构； 因数分解找平方，开方移出根号外； 分母有根要有理，同乘共轭消根式； 最终结果要最简，根内无平方、无分母。 考点四：实数的大小比较 易｜混｜易｜错 避错通关口诀（背熟，解题时对照检查） 化简为先消符号，幂、绝、相反莫混淆； 无理数先估范围，背熟常考根号值； 负数比较看绝对值，大的反而小记牢； 数轴标数看左右，正数永远大于 0； 复杂数用平差法，正数平方大的大。 27．（2025·安徽安庆·三模）在实数，，，四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 28．（2025·安徽安庆·三模）如图，实数、、、在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ） A． B． C． D． 29．（2025·安徽·三模）将下列实数表示在数轴上，其中最右边的数是（    ） A． B． C．0 D． 30．（2025·安徽蚌埠·三模）比较大小： （填，或）． 31．（2025·安徽合肥·一模）比较大小： （填“>”或“<”）． 32．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 33．（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 考点五：实数的运算 易｜混｜易｜错 易错细节口诀（安徽中考高频坑） 零次幂，要注意，底数非 0 才得 1； 负指数，取倒数，指数变正再计算； 去括号，看符号，正去不变，负去全反； 凑整运算巧借力，加法交换结合律，乘除分配要牢记 34． （2025·安徽·一模）计算：． 35． （2025·安徽马鞍山·三模）计算：． 36． （2025·安徽合肥·三模）计算：． 37． （2025·安徽宿州·模拟预测）计算： 38． （2025·安徽蚌埠·模拟预测）计算：． 39． （2025·安徽·三模）计算：． 40． （2025·安徽蚌埠·三模）计算： 41． （2025·安徽合肥·三模）计算：． 考点六：实数与二次根式中的规律题（安徽特色题） 解｜题｜技｜巧 数字规律：数字变化看序号，等差等比先算差，平方立方凑靠近，符号就用 (-1) n 等式规律：等式左右分两边，不变留着变量换，n 代序号试一遍，左右相等规律现 图形规律：图形先转实数串，再按数字规律算，数清个数别漏重，边长面积要辨明 42．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 43．（2024·安徽合肥·一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)填空：______=______； (2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 44．（2024·安徽六安·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 45．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 46．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 1．（2025·安徽芜湖·二模）已知实数a，b，c满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）已知，则的最大值与最小值的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·安徽·模拟预测）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，若，则的值为 ． 4．（2025·安徽马鞍山·三模）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．若一个三角形的三边长分别为3，3，4，其面积S介于两个连续整数n和之间，则n的值为 ． 5．（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 6．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3） 应用规律计算：（需写出过程）． 1．（2025·安徽合肥·三模）记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．（2024·安徽合肥·一模）甲袋中装着分别标有数字2，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽·二模）安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（　　） A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3 C．两个正方形面积和的最小值为 D．两个正方形面积和的最大值为 4．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 7．（2025·安徽六安·模拟预测）我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为 ． 8．（2025·安徽亳州·模拟预测）晓辰用边长为的等边三角形卡纸和边长且有一个角为的菱形卡纸来制作图案．当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸10个，整个图案长（如图1）；当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸14个，整个图案长（如图2）；当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸18个，整个图案长（如图3）；以此类推． 【总结规律】 （1）当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸_____个； （2）用个菱形制作图案需要等边三角形卡纸_____个，整个图案长_____（用含的式子表示）； 【解决问题】 （3）若要使整个图案长，则需要菱形卡纸和等边三角形卡纸各多少个？ 9．（2025·安徽宿州·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在格点（网格线的交点）上． (1)将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，请作出线段． (2)用无刻度的直尺作出的中点（不写作法，保留作图痕迹）． (3)在上述条件下，连接，请直接写出的长． 10．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 专题01 实数及其运算（6考点解题技巧+避坑口诀，专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：实数的分类与相关概念 解｜题｜技｜巧 1.无理数判断：带根号先化简，有循环是有理数，含π必是无理数。 2.实数相关概念： 相反数：“符号相反，数值相同”， 倒数：“乘积为 1”， 绝对值：“非负性”，正数和 0 的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数。 3.计算技巧：求倒数前先将带分数化为假分数、小数化为分数。 1．（2025·安徽宿州·模拟预测）下列为负数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，是负数，故此选项符合题意； B．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； C．，是正数，故本选项不合题意； D．，是正数，故本选项不合题意； 故选：A． 2．（2025·安徽滁州·三模）下列为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴是正数，，，不是正数， 故选：D． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）在，0，3，这四个数中，负整数是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：是负整数， 0既不是正数，也不是负数， 3是正整数， 是负无理数． 故选A． 4．（2025·安徽淮南·二模）下列各数中，与实数25互为倒数的是（    ） A．25 B．52 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ 与25互为倒数的数是． 故选D． 5．（2025·安徽阜阳·三模）的相反数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 6．（2025·安徽蚌埠·三模）化简：（   ） A． B．25 C． D．52 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 7．（2025·安徽淮南·二模）的相反数是（    ） A．25 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：D． 8．（2025·安徽黄山·三模）有理数在数轴上对应的点到原点的距离为5，则的相反数是（   ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：因为有理数在数轴上对应的点到原点的距离为5， 所以或， 所以的相反数是或5； 故选：C. 9．（2025·安徽·模拟预测）若与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B．2 C．5 D． 【答案】C 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选：C 10．（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C 12．（2025·安徽芜湖·三模）已知实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴， ， ． 把代入， 解得． ∵， ∴， ∵， ∴． A．因为，所以，该选项错误，不符合题意； B．由前面计算可知，，所以，该选项正确，符合题意； C．因为，所以，该选项错误，不符合题意； D．因为，所以，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 考点二：科学记数法 易｜混｜易｜错 移位细节口诀（解决安徽中考易错的位数数错问题） 小数点，移到左，数到第一位非零处； 移几位，n 就是几，正数写在 10 右上角； 小数点，移到右，跳过零直到非零头； 移几位，n 负几，易错点别数零漏头。 13．（2025·安徽合肥·二模）2025年1～2月，安徽省汽车产量为万辆，首次反超广东，登顶中国第一汽车产量大省．数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万． 故选：C． 14．（2025·安徽·模拟预测）“谷子”经济，即以漫画、动漫、游戏等IP为原型的二次元周边商品，正在成为年轻人的消费新宠．数据显示，中国“谷子经济”市场规模在2024年达1689亿元．数字“1689亿”用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1689亿． 故选：B 15．（2025·安徽·模拟预测）水是生命之源．已知水分子的直径为0.00000000028米，则0.00000000028用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 故选：B． 16．（2025·安徽合肥·二模）哈尔滨工业大学团队利用飞秒激光在二维多层材料上制备出超分辨率纳米沟槽阵列（），沟槽宽度仅纳米（约为激光波长的），深度贯穿纳米片该技术突破了光学衍射极限，且加工过程低损伤，保留了材料的单晶特性，为高性能气敏传感器（如检测）和电子器件提供了新方案，纳米（纳米米）用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：14.5纳米米米． 故选：B． 17．（2025·安徽阜阳·三模）中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：． 18．（2025·安徽蚌埠·三模）将精确到百位的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：精确到百位的结果是． 故选D． 19．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，若对x取近似值保留到个位，则 ． 【答案】6 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 考点三：数的开方与二次根式 易｜混｜易｜错 易错点防混口诀 平方根，算术根，一字之差别搞混； 根号里，别放负，分母别留根号位； 化简别漏系数倍，移出符号要配对； 混合运算先顺序，乘除优先加减后。 20．（2025·安徽合肥·二模）计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 21．（2025·安徽安庆·三模）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 22．（2025·安徽芜湖·模拟预测）计算： ． 【答案】1 【详解】解： ， 故答案为：1． 23．（2025·安徽蚌埠·三模）计算∶ ． 【答案】 【详解】原式 ． 故答案为：． 24．（2025·安徽·二模）计算：= 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 25．（2025·安徽·模拟预测）若则的值为 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， 当时，有，解得：； 当时，有，该方程无解； 当时，有，解得：． 综上，该方程的解为或． 故答案为：或． 26．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）计算： 【答案】 【详解】解：∵， ， ∴原式 故答案为： 解｜题｜技｜巧 1.数的开方基础口诀 平方根，成对出，正负相等零特殊； 算术根，单一个，非负特性要记牢； 立方根，独苗苗，正正负负零还零； 被开方数，非负数，根式才有意义在。 2.二次根式化简口诀 根式化简两步走，先看被开方数结构； 因数分解找平方，开方移出根号外； 分母有根要有理，同乘共轭消根式； 最终结果要最简，根内无平方、无分母。 考点四：实数的大小比较 易｜混｜易｜错 避错通关口诀（背熟，解题时对照检查） 化简为先消符号，幂、绝、相反莫混淆； 无理数先估范围，背熟常考根号值； 负数比较看绝对值，大的反而小记牢； 数轴标数看左右，正数永远大于 0； 复杂数用平差法，正数平方大的大。 27．（2025·安徽安庆·三模）在实数，，，四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， 故最小的数是． 故选：A． 28．（2025·安徽安庆·三模）如图，实数、、、在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ） A． B． C． D． 【详解】解：观察数轴可知，， ∴最小的实数是m． 故选：A． 29．（2025·安徽·三模）将下列实数表示在数轴上，其中最右边的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】解： 最右边的数是． 故选：D． 30．（2025·安徽蚌埠·三模）比较大小： （填，或）． 【答案】 【详解】解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（2025·安徽合肥·一模）比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵黄金分割数，， ∵， ∴， 故答案为：． 33．（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 考点五：实数的运算 易｜混｜易｜错 易错细节口诀（安徽中考高频坑） 零次幂，要注意，底数非 0 才得 1； 负指数，取倒数，指数变正再计算； 去括号，看符号，正去不变，负去全反； 凑整运算巧借力，加法交换结合律，乘除分配要牢记 34．（2025·安徽·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 35．（2025·安徽马鞍山·三模）计算：． 【答案】1． 【详解】解： ． 36．（2025·安徽合肥·三模）计算：． 【答案】． 【详解】解： ． 37．（2025·安徽宿州·模拟预测）计算： 【答案】 【详解】解：原式 38．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 39．（2025·安徽·三模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 40．（2025·安徽蚌埠·三模）计算： 【详解】解：原式 41．（2025·安徽合肥·三模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 考点六：实数与二次根式中的规律题（安徽特色题） 解｜题｜技｜巧 数字规律：数字变化看序号，等差等比先算差，平方立方凑靠近，符号就用 (-1) n 等式规律：等式左右分两边，不变留着变量换，n 代序号试一遍，左右相等规律现 图形规律：图形先转实数串，再按数字规律算，数清个数别漏重，边长面积要辨明 42．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 43．（2024·安徽合肥·一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)填空：______=______； (2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … ； 故答案为：，； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 猜想第n个等式（用含n的等式表示）为：，，且为整数） 证明： ； ∴左边右边， ∴等式成立． 44．（2024·安徽六安·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 【详解】（1）解：依题意，第4个等式； （2）解：由第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式： 第4个等式： …… 第个等式： 证明如下： 等式左边为 等式右边为 左边等于右边，即 45．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 46．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：①∵根据表格，第五次构造的数列为，，，，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵，，，，， ∴，，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示，，，，这列数中的第个数， ∴表示，，，，这列数中的第个数， ∴， 令（其中）， 则， 两式相减，得， 即， 故答案为：； ∵， ∴ ， ∵根据表格， ∴， 故答案为：． 1．（2025·安徽芜湖·二模）已知实数a，b，c满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A. 若，则，故A正确，不合题意； B. 若，则， ∵ ∴，即，故B正确，不合题意； C.∵， ∴ 若，则 ∴，故C正确，不合题意     D.根据C可得， 若，则 ∴ ∵ ∴ ∴，即所以D选项不正确，符合题意． 故选：D． 2．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）已知，则的最大值与最小值的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 即数轴上点x到和5的距离之和等于6， ∴， ∵函数中， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，y有最大值，最大值为； ∴的最大值与最小值的和是． 故选：D． 3．（2025·安徽·模拟预测）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，若，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：由题意得， ， 解得， 故答案为：． 4．（2025·安徽马鞍山·三模）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．若一个三角形的三边长分别为3，3，4，其面积S介于两个连续整数n和之间，则n的值为 ． 【答案】4 【详解】解：由题意，可得， ， ， ， 故答案为： 5．（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个式子是：n； 证明如下： ． 6．（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 1．（2025·安徽合肥·三模）记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【详解】解：∵为正比例函数， ∴设， ∵， ∴只需令中即可， 即， ∴， ∴， ∴要求中，令，代入得 ∴， 故选：A． 2．（2024·安徽合肥·一模）甲袋中装着分别标有数字2，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可列表如下： 乘法运算结果 2 2 加法运算结果 2 2 由表可知：总共有24种结果，其中结果是有理数的有8种， 结果是有理数的概率为， 故选：B． 3．（2023·安徽·二模）安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（　　） A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3 C．两个正方形面积和的最小值为 D．两个正方形面积和的最大值为 【答案】D 【详解】解：如图，连接，则． 设正方形、正方形的边长分别为，它们的面积和为S，则，， ∴， ∴． 延长交于点G，则， 在中，由勾股定理，． ∵，即， ∴， ∴， ∴，故选项A、B不正确； ∴． ①当时，即时，S最小． ∴；故选项C不正确； ②当最大时，S最大． 即当a最大且b最小时，S最大． ∵， 由（2）知，，． ∴ ．故选项D正确； 故选：D． 4．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过作，，连接， ∵等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个， ∴当取最小值时，刚好是2个， ∴共线时， 最小， ∵为的三等分点， ∴设，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴； 故选：C 5．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【详解】解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 整理得，， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（2025·安徽六安·模拟预测）我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为 ． 【答案】16 【详解】解：小正方形的边长为3，大正方形的边长为7， ， 根据题意可得， 则设， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 的周长为， ， ， ， 每个直角三角形的周长介于和之间， ， 故答案为：． 8．（2025·安徽亳州·模拟预测）晓辰用边长为的等边三角形卡纸和边长且有一个角为的菱形卡纸来制作图案．当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸10个，整个图案长（如图1）；当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸14个，整个图案长（如图2）；当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸18个，整个图案长（如图3）；以此类推． 【总结规律】 （1）当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸_____个； （2）用个菱形制作图案需要等边三角形卡纸_____个，整个图案长_____（用含的式子表示）； 【解决问题】 （3）若要使整个图案长，则需要菱形卡纸和等边三角形卡纸各多少个？ 【详解】解：（1）当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸个， 当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸个， 当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸个， 以此类推可知，当菱形卡纸有n个时，需要等边三角形卡纸个， ∴当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸个； （2）当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸个，整个图案长（如图1）； 当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸个，整个图案长（如图2）； 当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸个，整个图案长（如图3）； 以此类推可知，当菱形卡纸有n个时，需要等边三角形卡纸个，整个图案长； （3）当时，解得， ∴， ∴要使整个图案长，则需要菱形卡纸1011个，等边三角形卡纸各4050个． 9．（2025·安徽宿州·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在格点（网格线的交点）上． (1)将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，请作出线段． (2)用无刻度的直尺作出的中点（不写作法，保留作图痕迹）． (3)在上述条件下，连接，请直接写出的长． 【详解】（1）解：根据旋转的性质，作图如下， （2）解：如图所示，取格点，得到四边形是平行四边形， ∴对角线的交点即为中点； （3）解：∵，，， ∴． 10．（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ， ， 故答案为：5，5； （2）解：， 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：； （3）解：根据之前的探究，可得． 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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