2026年浙江省杭州市中考数学专题二十：跨学科问题探究

2026年浙江省杭州市中考专题二十：跨学科问题探究 1.在真空环境中，电磁波波长λ（单位：m）、频率f（单位：Hz）满足函数关系：，下列关于电磁波的说法中，正确的是（　　） A. 波长是频率的正比例函数 B. 波长为m时，频率为Hz C. 波长大于m时，频率大于Hz D. 波长小于m时，频率大于Hz 2.如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，这个会徽的主体图案是由一连串如图2。所示的直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝An﹣1An．如果设OA1＝1，则OAn﹣1：OAn＝（　　） A． B． C． D． 3.综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 4.凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ） A B. C. D. 5.已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻R＝12Ω，则电流I＝　 　 A． 6.汽车刹车后，车速慢慢变小至停止，这个速度变化的快慢称为加速度（加速度是指在某段时间内速度的变化与这段时间的比值：）．已知汽车刹车后向前滑行的距离与时间的函数关系如下：（表示刹车开始时的速度，表示加速度）．现有一辆汽车沿平直公路行驶，速度为，刹车后加速度为．问： （1）刹车后2秒时，该汽车的速度为多少？ （2）从开始刹车至停止，该汽车滑行了多少时间？滑行的距离是多少？ 7. 2023年某一天，某市某海域商船向辖区派出所报案：留在船上的钻石“不胫而走”．警方迅速出动警力赶往现场了解情况发现，在海滩案发现场留下了罪犯清晰的站立的脚印，如图脚印长约0.276m，陷入沙泥大约平均0.03m，警方立即用蜡浇铸了鞋模．蜡鞋模的平均厚度为0.03m，质量m为0.675kg（，），经过测试，达到同样脚印的压强在到（牛/米）之间，当人双脚站立在水平地面上所受的重力G（）一定时，脚印的压强P与鞋跟地面接触的面积S满足函数关系． （1）求整双鞋与地面接触的面积S． （2）如果你是警方人员，请你估计出这名罪犯的体重范围为多少kg． 8.数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示（R1≥0），当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg 时，求总电阻R的值． （2）求I关于总电阻R的函数表达式． （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），求该电子秤所称物品质量的最大值． 9.某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）设运输公司平均运送速度y（单位：m3/天），完成运送任务所需时间为t（单位：天）． ①求y关于t的函数表达式． ②当t≤80时，求y的取值范围． （2）若1辆卡车，每天可运送土石方102m3，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆卡车？ 10.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究： 信息读取： （1）甲、乙两地之间的距离为 　 　 km； （2）求慢车和快车的速度； （3）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 11.在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A）． （1）若电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A，求I关于R的函数表达式． （2）如果电阻小于40Ω，那么与电阻为40Ω时相比，小灯泡亮度将发生什么变化？ 12.如图 1， 两个实心直棱柱叠成的 “几何体” 水平放置在直棱柱容器内，三个直棱柱底面均为正方形．现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度 与注水时间 之间的关系如图 2．已知容器底面边长为 ． （1）容器内 “几何体”的高度是多少？水淹没该“几何体”需要多少时间？ （2）求注水的速度． （3）求直棱柱的底面边长． 13.甲、乙两同学在400米的环形跑道上参加1000米跑步训练，时间少于或等于3分40秒为满分．前800米的路程s（米）和时间t（秒）的函数关系如图． （1）乙同学按照当前的速度继续匀速跑，那么他能否得到满分？请说明理由． （2）求甲同学跑第2圈时的路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式． （3）若最后200米甲同学按第1圈的速度冲刺，乙同学保持原速不变，当乙同学跑到终点时，甲同学离终点还有多远？ 14.随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间． 总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速（千米/时） 72 108 ┄ 停车距离（米） 35 71.25 ┄ （1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式； （2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？ （参考数据：每个车道的宽度为米） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州市中考专题二十：跨学科问题探究 1.在真空环境中，电磁波波长λ（单位：m）、频率f（单位：Hz）满足函数关系：，下列关于电磁波的说法中，正确的是（　　） A. 波长是频率的正比例函数 B. 波长为m时，频率为Hz C. 波长大于m时，频率大于Hz D. 波长小于m时，频率大于Hz 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的概念及性质分析即可． 【详解】解：A、， ， 波长是频率的反比例函数，故此选项错误，不符合题意； B、，让， ，故此选项错误，不符合题意； C、，让， ，波长大于时，频率小于Hz，故此选项错误，不符合题意； D、，让， ，波长小于时，频率大于Hz，故此选项正确，符合题意， 故选：D． 2.如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，这个会徽的主体图案是由一连串如图2，所示的直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝An﹣1An．如果设OA1＝1，则OAn﹣1：OAn＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝An﹣1An，＝1， 由勾股定理得：OA2， OA3， OA42， OA5， … ∴OAn﹣1， OAn， ∴OAn﹣1：OAn：， 故选：B． 3.综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h， A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意； B、当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故原说法错误，不符合题意；， C、当浸在液体中的高度0＜h≤10cm时，该液体的密度ρ≥2g/cm3，正确，符合题意； D、当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意；， 故选：C． 4.凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点 到物体 的距离与到凸透镜的中心 的距离之比为 ，若物体 ，则其像 的长为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，连接，先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5.已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻R＝12Ω，则电流I＝　3　 A． 【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， ∴I． 由图象可知，当R＝9时，I＝4， ∴U＝I•R＝4×9＝36（v）， ∴I， 把R＝12Ω代入得，I3（A）． 故答案为：3． 6.汽车刹车后，车速慢慢变小至停止，这个速度变化的快慢称为加速度（加速度是指在某段时间内速度的变化与这段时间的比值：）．已知汽车刹车后向前滑行的距离与时间的函数关系如下：（表示刹车开始时的速度，表示加速度）．现有一辆汽车沿平直公路行驶，速度为，刹车后加速度为．问： （1）刹车后2秒时，该汽车的速度为多少？ （2）从开始刹车至停止，该汽车滑行了多少时间？滑行的距离是多少？ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由得，将，，代入计算即可； （2）由得，当汽车停止时，，从而计算出汽车滑行的时间，再根据滑行的距离求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 将，，代入， 得：， 答：刹车后2秒时，该汽车的速度为． 【小问2详解】 解：， ， 当汽车停止时，， 从开始刹车至停止，该汽车滑行时间：， 该汽车滑行的距离：， 答：从开始刹车至停止，该汽车滑行了，滑行的距离是． 7. 2023年某一天，某市某海域商船向辖区派出所报案：留在船上的钻石“不胫而走”．警方迅速出动警力赶往现场了解情况发现，在海滩案发现场留下了罪犯清晰的站立的脚印，如图脚印长约0.276m，陷入沙泥大约平均0.03m，警方立即用蜡浇铸了鞋模．蜡鞋模的平均厚度为0.03m，质量m为0.675kg（，），经过测试，达到同样脚印的压强在到（牛/米）之间，当人双脚站立在水平地面上所受的重力G（）一定时，脚印的压强P与鞋跟地面接触的面积S满足函数关系． （1）求整双鞋与地面接触的面积S． （2）如果你是警方人员，请你估计出这名罪犯的体重范围为多少kg． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出体积，再根据体积求出面积，即可 答案； （2）根据（1）中求得的面积和公式，求出F的值，再结合公式求出体重即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴单只鞋子的面积为：， ∴整双鞋与地面接触的面积 【小问2详解】 解：， m为0.675kg， ∴， ∵，且， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 8.数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ． 素材2：可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示（R1≥0），当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg 时，求总电阻R的值． （2）求I关于总电阻R的函数表达式． （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【解答】解：（1）由图3可知，可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量x（单位：kg）之间的关系为一次函数关系， 设R1＝mx+b（m≠0）， 把（0，32），（3.2，0）代入解析式得：， 解得， ∴R1＝﹣10x+32， 当x＝1.2时，R1＝﹣10×1.2+32＝20， 此时R＝R1+R2＝20+10＝30（Ω）， （2）设电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I， 由（1）知，把（30，0.2）代入解析式可得：k＝IR＝30×0.2＝6， ∴电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I； （3）∵I， ∴R， ∴R随I的增大而减小， ∵0.15≤I≤0.5， ∴当I＝0.15时，R取得最大值，最大值为40， 此时R1取得最大值30； 当T＝0.5时，R取得最小值，最小值为12， 此时R1取得最小值2， ∵R1＝﹣10x+32， ∴R1随x的增大而减小， ∴当R1取得最小值2时，x取得最大值3， 答：该电子秤所称物品质量的最大值为3kg． 9.某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）设运输公司平均运送速度y（单位：m3/天），完成运送任务所需时间为t（单位：天）． ①求y关于t的函数表达式． ②当t≤80时，求y的取值范围． （2）若1辆卡车，每天可运送土石方102m3，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆卡车？ 【解答】解：（1）①y， ∴y关于t的函数表达式为y． ②∵106＞0， ∴y随t的增大而减小， ∵t≤80， ∴当t＝80时y值最小，y最小12500， ∴当t≤80时，y的取值范围为y≥12500． （2）设公司安排x辆卡车， 根据题意，得80， 解得x≥125． 答：公司至少要安排125辆卡车． 10.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究： 信息读取： （1）甲、乙两地之间的距离为 　900　 km； （2）求慢车和快车的速度； （3）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）甲、乙两地之间的距离为900km． 故答案为：900． （2）慢车的速度为900÷12＝75（km/h）， 设快车的速度为vkm/h， 由图象，得4（v+75）＝900， 解得v＝150， ∴快车的速度为150km/h． （3）快车到达乙地所用时间为900÷150＝6（h）， ∴点C的横坐标是6， y＝（75+150）（x﹣4）＝225x﹣900， ∴线段BC所表示的y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围为y＝225x﹣900（4≤x≤6）． 11.在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A）． （1）若电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A，求I关于R的函数表达式． （2）如果电阻小于40Ω，那么与电阻为40Ω时相比，小灯泡亮度将发生什么变化？ 【解答】解：（1）当小灯泡电路上的电压保持不变时，通过的电流强度与小灯泡的电阻之间是反比例函数的关系， 设I关于R的函数表达式为I（U为常数，且U≠0）， 将R＝40，I＝0.3代入I， 得0.3， 解得U＝12， ∴I关于R的函数表达式为I． （2）∵I； ∴I随R的减小而增大， ∵当R＝40时，I＝0.3， ∴当R＜40时，I＞0.3， ∴小灯泡将变得更亮． 12.如图 1， 两个实心直棱柱叠成的 “几何体” 水平放置在直棱柱容器内，三个直棱柱底面均为正方形．现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度 与注水时间 之间的关系如图 2．已知容器底面边长为 ． （1）容器内 “几何体”的高度是多少？水淹没该“几何体”需要多少时间？ （2）求注水的速度． （3）求直棱柱的底面边长． 【答案】（1）9厘米，10秒 （2）9立方厘米/秒 （3）厘米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，函数图象的分析，正确理解题意是解题的关键． （1）由函数图象即可求解； （2）设匀速注水的水流速度为，段注满用时，这段高度为 ，可得方程，即可求解； （3）先求出所在直线的函数表达式为，则当时，直棱柱的高度为，设直棱柱底面的边长为，则由题意得：，即可求解． 【小问1详解】 解：由函数图象可得容器内“几何体”的高度是9厘米，水淹没该“几何体”需要10秒； 【小问2详解】 解：设匀速注水的水流速度为 ， 段注满用时，这段高度为 ， ∴， 解得 ． 所以注水的速度为； 【小问3详解】 解：设所在直线的函数表达式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为， ∴当时，直棱柱的高度为， 设直棱柱底面的边长为， 则由题意得： ， 解得， 所以，直棱柱的底面边长为 ． 13.甲、乙两同学在400米的环形跑道上参加1000米跑步训练，时间少于或等于3分40秒为满分．前800米的路程s（米）和时间t（秒）的函数关系如图． （1）乙同学按照当前的速度继续匀速跑，那么他能否得到满分？请说明理由． （2）求甲同学跑第2圈时的路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式． （3）若最后200米甲同学按第1圈的速度冲刺，乙同学保持原速不变，当乙同学跑到终点时，甲同学离终点还有多远？ 【答案】（1）乙同学能够得到满分，理由见解析 （2） （3）米 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）求出乙同学路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式，然后令，求出t的值即可解答； （2）设，用待定系数法求解即可； （3）求出最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒），速度是（米/秒），进而可求出甲同学离终点还有多远． 【小问1详解】 解：由乙图象可知s是t的正比例函数，设， 将代入可得，， 解得：， ． 令， 解得：． ∵3分40秒秒，， ∴乙同学能够得到满分． 【小问2详解】 解：由图象可知s是t的一次函数，设， 将代入可得， 解得： ． 【小问3详解】 解：由（1）可知乙同学到终点的时间是215秒， 由图象可知甲同学跑前800米的时间是180秒， 所以最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒）． 速度是（米/秒）． 路程是（米）． ∴甲离终点的距离是（米）． 14.随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间． 总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速（千米/时） 72 108 ┄ 停车距离（米） 35 71.25 ┄ （1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式； （2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？ （参考数据：每个车道的宽度为米） 【答案】（1） （2）①不能，见解析；②不成功，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数应用，解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）①先将单位转换，再将代入解析式即可解答； ②根据解直角三角形的应用即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒； 经过和 可得， 解得 从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为； 【小问2详解】 ①结论：不能在货物前停车．理由如下： 由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒， 代入函数关系式得：米米， ∴不能在货物前停车． ②避险不成功，理由如下： 智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米， 如图，即， ， 由题意得，， ， 避险不成功． 1 学科网（北京）股份有限公司 $