贵州毕节市2025-2026学年高二第一学期1月期末质量检测数学试题

机密★启用前 2027届高二第一学期1月期末质量检测 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的 指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项符合题目要求。 1.已知正项等比数列{a},若4,4=9，则a,4。+4=() A.6 B.12 C.15 D.18 2.设直线1与x轴交于点A,其倾斜角为α，直线1绕点A顺时针旋转45°后得直线1，有下列 四个选项：①a+45°；②a+135°；③a-45°；④135°-au,则直线1的倾斜角可能的取值有 () A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 3.平面x-2叶z=2与三个坐标面围成四面体的体积是（) A.号 B.3 C.2 D.4 4.在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料 上口 装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为√， 实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为2，上、下口之间的高度为23，则 下口 该进料口的上口宽度为() 2m A.m B.4m C.2 D.3m 5.在三棱柱ABC-AB,C中，M,N分别是线段BB,AC上靠近B,A的三等分点，则AA=() A.3MN+348-C 2 B.0+C C.3MN+3AB-AC D.3-3AB+14C 2 6.设直线1的方程为x-ysin+2=0,则直线1的倾斜角a的范围是() 高二数学试题第1页（共4页） A.[0,x] B. c.原 D.U5领 7.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,准线为1，P是1上一点，Q是直线PF与C的一个交点， 若FP=3F西，则1OF卡() A B.3 C. D.2 8.已知直线x+y-√5a+2=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)交于不同的两点A,B,若∠AOB存在最 小值且最小值不大于90°，则r的取值范围为() A.(W3,2] B.3,2√3] C.(3,3W2] D.3,6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知空间向量=(-3，-1,2)，b=(3,3,1),则下列说法正确的是( ) A.(3ā+2b)/1a B.a⊥(5a+7b) C.a与b夹角的余弦值为-5y26 D.若c=(3,7,7),则a,b,c共面 133 10.己知等差数列{a,}的前n项和为S,neN),若a>0,S,=S2,则() A.公差d<0 B.4,+4<0 C.S的最大值为Ss D.满足S,<0的n的最小值为16 11.双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点分别为E,E,过C上一点P作切线与x轴交于点Q,直 线Pg与C的两条渐近线分别交于点A,B,△PrE,满足sin2∠FE,P+sin2∠RPE,=sin2∠PFE, 则() B.满足条件的点P有2个 A.PFIOF PF,OF D.点P为△OAB外接圆圆心 C.1PrPF≥|OA|IOB 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数y=2tanx+a在匹，上的最大值为4，则实数a的值为 13.已知椭因C号+卡=1a>60的左焦点为，过原点的直线与椭圆c交于4，B两点， 高二数学试题第2页（共4页） 1AF仁2BF1,∠AB=2π，则椭圆C的离心率为】 3 14.数列{a,}中，a,=logn+2(n∈N),定义：使数列{a}的前k项的积为整数的数k(k∈N)叫 做期盼数，则区间[1,2023]内的所有期盼数的和等于 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，已知B(4,0),AB边上的中线CD所在直线方程是x+2y-1=0,BC边的高线AE所 在直线方程是7x-y-12=0. (1)求点C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的标准方程 16.(本小题满分15分) 已知精圆C号+若1a>6>0的离心率为气，长轴K为. 2 (1)求C的方程： (2)过点(0，-2)的直线1与椭圆C交于A,B两点，o为坐标原点.若△OAB的面积为√2，求 AB. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD,AP=AB=4,AD=5,E为棱PB 的中点，万为棱PC上一点，且Pn=PC,连接A,AP,F. (1)求证：AE⊥PC; (2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值； (3)若平面ABF与四棱锥的棱PD交于点G,求PC的值. PD 高二数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 己知数列{a,}的各项均为正数，其前n项和记为S。，a=1,a.a1=S。，其中元为非零常数. (1)证明：a2-a.=元； (2)若1=3，求S。: (3)是否存在1，使得数列{a,}为等差数列？若存在，求出{a}的通项公式：若不存在，请说 明理由. 19.(本小题满分17分) 已知抛物线C:x2=2(p>0)过点(0,4)的动直线与C交于P,Q两点(0在第一象限)，且 OP⊥O9(O为坐标原点). (1)求p的值； (2)设抛物线C在P,Q处的切线交于点M,求△PQM面积的最小值； (3)△PQM面积最小时，过M作直线AB交抛物线Cc于A,B两点.A/x轴且AA的中点R 在直线PM上，证明：直线AB过定点. 高二数学试题第4页（共4页)2027届高二第一学期1月期末质量检测·数学 参考答案、提示与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B D A B A C D C 题号 0 10 11 答案 BCD AC ACD 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.【答案】B 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【解答】解：由4,4=9可得a4=9,由于a>0,所以4=3，a,a。+4=4,4+4=9+3=12. 2.【答案】D 【分析】由已知结合角的性质及倾斜角的范围即可求解， 【解答】解：直线1绕点A顺时针旋转45°得直线1，当>45°时，直线1的倾斜角为α-45°， 当0≤a<45°时，直线1的倾斜角为180°-(45°-)=135°+a 3.【答案】A 【分析】由题意求出平面截空间直角坐标系的三条轴所得截距，再由棱锥体积公式得答案. 【解答】解：在平面方程x-2叶z=2中，令y=z=0,得x=2, 令x=z=0,得y=-1,令x=y=0,得z=2, 则平面x-2y叶z=2与三个坐标面围成四面体的三条棱长分别为2,1,2，且三条侧棱两两垂直， 则平面x-242=2与三个坐标面围成四面体的体积是×号× 3*2×2x1x2=3 32 4.【答案】B 【分析】先阅读题意，然后结合双曲线方程的求法求解即可· 【解答】解：设双曲线的方程为号苔1，则：5,81，则6-G-2 即双曲线的方程为-二=1，设该进料口的上口宽度为，m,则点(2)在双曲线上， 4 则-12=1，即x,=4,即该进料口的上口宽度为4m· 44 5.【答案】A 【分析】利用已知条件得出相关向量关系，再利用三棱柱的性质结合向量加减法计算求解， 【解答】解：M,N分别是线段BB,AC上靠近B,A的三等分点， MB=2BB=244,AN=LAC,BN=MIN-MB,X BN-AN-4B=LAC-AB, 3 A B }4C-店=而-丽，即而-号4c+丽， 44-3MB-3 (MIN-I4C+4B)=3MN+34B-L4C. 2 2 高二数学试题参考答案第1页（共9页） 6.【答案】c 【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围： 【解答】解：直线l的方程为x-ysin6+2=0,设直线的倾斜角为a, ①当m0=0时，u=牙，②当血0+0时直线的斜率看=ma 1 sine' 所以mae(w,-U,,所以a昏草，综上所述：ae5: 7.【答案】D 【分析】由题意解出Q点横坐标，由抛物线的定义求解. 【解答】解：由题意可知：抛物线C:严=6x的焦点为P(G,0),准线为1：x=-3 设(0,0，)，则丽=(30而-，w, 3 因为丽-30，则-3=3多，得，分由抛物线定义得1O丽+；2. 22 8.【答案】c 【分析】先根据∠AOB存在最小值分析出r>3,再根据∠AOB最小值不大于90列出关于r的不等式即 可求解。 【解答】解：已知直线x+y-√5a+2=0与圆O:x2+y2=2(r>0)交于不同的两点A,B, 将直线x+y-√5a+2=0变形为x+2+a(y-V5)=0,所以x+2=0且y-V5=0, 则可知直线恒过定点P(-2,√5⑤)，且1OP=√(-2-0)2+(5-0)2=3， A(B) 若≤3，则直线可和圆O相切，如图所示，此时A,B重合， 若直线与圆O交于不同的两点A,B, 则∠AOB可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故r>3, 即P在圆O内，直线与圆O一定交于两点A,B,此时对于任意给定的半径r, 根据圆的性质，当OP⊥AB时，弦AB最短，∠AOB最小，此时弦长AB=2√F2-OPP=2√r2-9, 在△AOB中，当∠AOB=90°时，此时]AB√2r, 由题意，∠AOB存在最小值且最小值不大于90°，则最小值对应的弦AB满足|AB≤√2r, 即2W2-9≤√2r,解得r≤3√2，综上，r的取值范围为(3,3W2] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可判断ABD;根据空间向量数量积的定义计算即可判断 C. 【解答】解：对于A:3ā+2b=(-3,3,8),又ā=(-3，-1,2)，故A错误； 高二数学试题参考答案第2页（共9页) 对于B:5a+7b=(6,16,17),则(5a+7b)·a=0,故B正确； 对于c:因为a=(3-l2.万=6,3)，所以a4,6=19,所以c0sa=5V266,故c正确： 133 对于D:因为c=(3,7,7)=2a+35,故D正确. 10.【答案】Ac 【分析】根据a>0,S,=S,求出a与公差d的关系即可判断AB;再根据等差数列前n项和公式即可 判断CD. 【解答】解：因为4>0，&=3.，则a+a)=12a+a2,即a+4=3a+4), 2 2 则d=4<0,故A正确：a+a=24+14d=-d>0,故B错误： 由a+a>0,得a>0,4=4+8d=1d<0,因为d<0,4>0, 所以数列{a}是递减数列，且当8时，a,>0,当心9时，a,<0,所以S的最大值为S。,故C正确； 叉-号r-a-孕n=号r+g,令s<0,解得m>16 15 15 所以满足S<0的n的最小值为17，故D错误. 11.【答案】ACD 【分析】A选项，根据双曲线光学性质知PQ为∠FPE的平分线，从而得到比例关系，A正确： B选项，设∠PRR=a,RRP=A,RPR=0,根据条件得到方程，求出B-或0-号，故满足条 件的点P有6个： C选项，在B基础上，分两种情况，结合焦点三角形面积公式得到|PF·PE|≥4，又计算出1OA:OB=4, C正确； D选项，求出P是线段AB中点，又OA⊥OB,所以P为△OAB外接圆圆心，D正确. 【解答】解：对于A选项，根据双曲线光学性质知PQ为∠FPE,的平分线， 根据角平分线性质可得PO,即1 PRIIOFHPEI-IORI,因此选项A正确： PF,OFI 对于B选项，设∠PrE=a,∠FPE=6,∠RFP=B,则sin2B+sin28=sin2a, 因此sin[(B+)+(B-8)]+sin[(B+)-(B-]=sin2a, 那么可得2sin(B+)cos(B-)=sin2a, 即2 sina cos(B-)=2 sin acosa,所以cos(B-)=cosa, 结合，B,0为三角形PFE的内角可得，B-6=a或0-B=a, 高二数学试题参考答案第3页（共9页） 又因为a+B+6=元，因此B=无或0=云，当0=云时，满足条件的P点共4个，左支2个，右支2个， 当B=元时，满足条件的P点在右支上，有2个，所以满足条件的P点有6个，因此选项B错误； 对于C选项，当B-5时，1RR1川R非2S-2x2 2 。b2_2bc>2b2=4, aa 由于|PR以FE,|,故1 PELIPE I>FELPEI, 当0号时，川吸28%=26g4,综上.1吸川P吸134. 设P,),则P0X-,y=2,联立y=,可得交点A(,2,2),B(2,2), Xo-Vo xo-Vo Xo+o xo+o 其中-=2，由于OA⊥OB,因此OAOB=2S4Bx4y-xya 气人4.因此明1呢0：因此运项c正确 对士0选现2，结合c选现可申型标为头头产女》-a 因此P是线段AB中点，又OA⊥OB,所以P为△OAB外接圆圆心，因此选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】2 【分析】结合正切函数的单调性即可求解， 【解答】解：因为y=2x+a在后孕上单调递增，故当x=时，函数取得最大值2+a=4,所以a=2 4 13【答案】9 【分析】连接AE,,BE,根据椭圆的对称性可得四边形FAF,B为平行四边形，再利用椭圆定义得到 4识=，AP=0,在入4尺中，血会张定理可得号行即可求得。 【解答】解：设E是椭圆C的右焦点，连接AE,BE,,由椭圆的对称得：|OA日OB|,|OF=OE|, 即四边形FAE,B对角线互相平分，则四边形FAEB为平行四边形， 则AR日BF,即A昨2A,且∠AR-, 根据椭圆的定义，4例AR卡3到卡2a,则4上号a,4a, 在△FAE中，由余弦定理可得|FE-AF2P+|AFP-2引AE|AF l.cos∠FAF, 即。3写0时解符号片所以防圆的房心率为员号 0 9 14.【答案】2026. 【分析】由已知结合对数的运算性质先进行化简，然后结合等比数列的性质即可求解. 【解答】解：因为a,=logn(n+2n∈N), 高二数学试题参考答案第4页（共9页） 所以a4a,.=log,3-1og,4 .og+2)=3m4h+2)mk+2 In2 In3 In(k+1)In2 设t=k+2）,则k+2=z,所以k+2为2的整数次幂，因为1<k2023, 所以3≤k+2≤2025，故满足条件的k+2=4,8,16,32,64,128,256,512,1024, 故区间[1,2023]内的所有期盼数的和为：4-2+8-2+16-2+32-2+64-2+128-2+256-2+512-2 +1024-2=2026. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】0a0:2)u-+0+空 【分析)①)设Cu,由题意可得片化m+2a-1=0,联立求解即可 （2》设4a,则的中点坐标为2：孕，分州将4，D肉点华标代入相应的直线方程，联立 求出A点坐标，设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将A,B,C 三点坐标代入求解，最后转化为标准方程即可. 【解答】解：(1)设Cm,),中线CD所在直线方程是x+2y-1=0,可得m+2n-1=0,①， 因为BC边的高线AE所在直线方程是7x-y-12=0,所以kg·kC=-1…3分 又=1，所以。=方9②由0Q解得1=3，=-1，即点c的坐标为6-)…6分 ②设4a,(40,则4B的中点坐标为D心4》 因为中线CD所在直线方程是x+2y-1=0,则024+2名1=0，③……7分 将A(a,b代入直线AE的方程得7a-b-12=0,④…8分 将③④联立解得a=2,b=2,即A(2,2)… …9分 设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 「4+4+2D+2E+F=0 D=1 将点A,B,C三点的坐标代入可得16-4D+F=0,解得E=1 11分 9+1+3D-E+F=0 F=-12 所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+x+y-12=0…12分 所以△4BC的外接圆的标准方程为c+宁++宁-受 …13分 Γ2 16.【答案】(1)+=1；(2)5. 4 【分析】(1)由题意求出a,c,即可求出b,直接写出椭圆的方程： (2)由题意知直线1的斜率存在且不为0，设斜率为k,直线1的方程为y=-2,求出直线与x轴的 高二数学试题参考答案第5页（共9页） [y=x-2 交点坐标，由 芝+兰-1'消去，得关于x的方程，利用根与系数的关系，求出x+x与，计算S 4+21 的面积，从而求出k的值，即可求出弦长|AB. 【解答】解：()精圆C号茶=1中，a=4,所以a-2,出e日，得c=号。=53分 所以=d-c=2,椭圆的方程为+父=1…6分 42 (2)由题意知，直线1的斜率存在且不为0，设斜率为k,则直线1的方程为y=-2,设直线1与椭 y=x-2 圆交于A(K,),B(x2,y,),由 +=1消去y,整理得Q+2)x2-8+4-0…8分 42 所以△=64k2-160+2k)=32k-16>0,解得k<-5或k>5.…10分 2 8k 4 由x+61+2农’。1+2 …12分 设直线1交x轴于点M,则M匠，013分 64k2 所以8e2o1y-y是-2--2训5-1-G+-4-a年2y12 16 +21-,14分 解得=+9，所以11x5=5.15分 17.【答案】(1)证明见解析(2)4；(3)是. 114 3 【分析】(1)先根据线面垂直的判定定理证明出BC⊥底面PAB,进而根据线面垂直的性质推断出 BC L AE,然后根据线面垂直的判定定理，证明出AE⊥平面PBC,所以AE⊥PC; (2)根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面AEF的法向量，再结合线面角的向量求法， 即可求得直线AB与平面AEF所成角的正弦值； (3)设PG=0<元<D,由(2)所建的直角坐标系，得G0,52,4-4),因为点G是平面ABF与 PD 四棱锥的棱PD的交点，所以AG元=0，即可求得1的值， 【解答】解：(I)证明：因为PA⊥底面ABCD,BCc底面ABCD,所以PA⊥BC, 又底面ABCD为矩形，所以AB1BC…2分 又PAC平面PAB,ABC平面PAB,且PA、AB相交于点A, 所以BC⊥平面PAB,又AEC平面PAB,所以BC⊥AE…4分 又AP=AB,E为棱PB的中点，所以PB⊥AE… …5分 又BCC平面PBC,PBC平面PBC,且BC、PB相交于点B, 所以AE⊥平面PBC,又PCc平面PBC,所以AE⊥PC 6分 (2)由(1)可得，PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊥AD, 高二数学试题参考答案第6页（共9页） 所以，以A为原点，以直线AB为x轴，以直线AD为y轴，以直线AP为z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则A0,0,0,4,0,0,P0,0,4,C4,5,0,3e,0,,P0, 则AB=(40,0,4B=(2.02列，f=03)…8分 设平面AB那的法向量为=飞，，则1i,则=0， 2x+2z=0 即 AF⊥i AF.=0 x+y+3z=0 4 令x=1,解得yg=-1,即平面F的法向量为元=Q,)…9分 8 14×1+0×8+0x(-1 设直线AB与平面AEF所成角为6，则sin6cos<AB,i 5W114 …11分 V42+02+02. 2+(32+(-0 114 (3)因为平面ABF与四棱锥的棱PD交于点G,设PC-0<<D,则PG=PD, PD a=0 设G(a,b,c),则PG=(a,b,c-4),PD=(0,5,-4),则b=51 …12分 c-4=-4元 所以G(0,5,4-42),所以AG=(0,5元，4-4).…13分 由(2)得，平面4r的法向量为i=号-)，所以4Gi=0,即0x1+52x号+4-4切×(-)=0， 解得骨所以阳的值为 …15分 18.【答案】（1))证明：见解析(2)S。=310;(3)存在，a=n. 【分析】(1)根据给定的递推公式，结合a1=S1-S求解得证： (2)由(1)可得数列{a}的奇数项、偶数项构成的数列特征，再分组求和即得； (3)假定存在，求出入，再利用奇数项、偶数项构成的数列特征证明即可. 【解答】解：(1)证明：数列{a}的各项均为正数，aa1=S。,则a+42=S1…2分 两式相减，整理得a1(a2-a)=1,而a1>0,所以a2-a=…4分 (2)由a=1,44,=3a,得4，=3，当=3时，由(1)得a2-a=3, 因此数列{a}的奇数项构成首项为1，公差为3的等差数列…5分 偶数项构成首项为3，公差为3的等差数列… …6分 =a+g++a,)+a+a++4）-x10+109x)+6x10+109 ×3到=310…8分 (3)由4=1,44，=a,得a,=1, 高二数学试题参考答案第7页（共9页） 由(1)知：a2-a=2,则a,=a+2=+1…9分 假设存在使得数列{a,}为等差数列，则2a,=4+a,即22=1++1，解得2=2…11分 下面证明：当元=2时，数列{a,}为等差数列.由a2-a=入，4=1,4，=2…13分 得数列{a,m}是首项为1，公差为2的等差数列，a,m1=2m-1…15分 数列{a,m}是首项为2，公差为2的等差数列，am=2m,因此a.=n,a1-a.=1…16分 所以存在使得数列{a}为等差数列，a=n…17分 19.【答案】（1)p=2;(2)32;(3)证明过程见解析. 【分析】(1)设P9:y=x+4,P(x,y),Q(x,y,),与抛物线方程联立，利用根与系数的关系结合 OP.O0=0,可求p; (2)求导可求得P,Q两点处的切线方程，联立方程可求得点M的坐标，利用弦长公式与点到直线 的距离公式可求得S=4k2+4)2,可求最小值； (3)由(2)得M(0,-4),P(-4,4),设AB:y=t-4,As,y),B(x,y,与抛物线方程联立方程 组，利用根与系数的关系可得ka,-k=0,从而可得结论. 【解答】解：(1)设直线PQ的方程为y=+4,P(,),Q(x2,y), 联立+4，消去y并整理得-2p-8p=0,由韦达定理得x+x,=2pk,,=8p…2分 x2=2py 此时O丽.02=+y=书，+ =16-8p=0,解得p=2…4分 4p2 (2)由(1)知-子，所以y 5分 处的切线方程为y-=你二)，即y=生x-…… 2 同理得点Q处的切线方程为-受-4，②联立①@，解得M产，学).7分 因为x+x,=2pk,x,=-8p且p=2,所以(2k,-4) …8分 此时△=16(k2+4)>0,|P四1上1+及|x-x,上4WR+4V1+k2 9分 又点M到直线P阳的距离h=2+8.则△POM面积S=P吧1h=4+4到2≥32…10分 V1+k2 高二数学试题参考答案第8页（共9页） 当且仅当k=0时，等号成立，故△POM面积的最小值为32…12分 (3)证明：由(2)知M(0,-4),P(-4,4),设直线AB的方程为y=t-4,A(x,y),B(x4,y4), A 联立4，消去y并整理得x-4+16=0,由韦达定理得飞+5二业， 1x2=4y x4=16 直线2M的方程为y=-2-4,令=%，解得x,=0+0…14分 即A(-(x,+y+4),y), 此时k-=4-当4--4+到+，-4+2= (高-4x,+4)+(-4x,+) 4 4 4 -(x+y)x4+4 (3+y)x4+4) (x+y)4+4) 因为厚x++(手6+5=年)，4+0-16-16x+16-4x-16=015分 4 16 416 所以pg=k2g……… …16分 则P,B,A三点共线.故直线AB过定点P(-4,4) …17分 高二数学试题参考答案第9页（共9页）