江苏省无锡市2025-2026学年苏科版八年级数学 上册 期末自编练习2

江苏省无锡市苏科版八年级数学上册期末复习卷 一．选择题（共9小题） 1．已知点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 2．如图，∠C＝90°，点D为AB上一点，且BD＝BC，过点D作DE⊥AB交AC于点E，若DE＝2，AC＝5，则AE是（　　） A．4 B．3 C．3.5 D．2.5 3．一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限，则化简所得的结果是（　　） A．m B．﹣m C．2m﹣n D．m﹣2n 4．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 5．《九章算术》记载：“今有开门去（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸．问门广几何？”题目大意是：如图，推开双门，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），双门间隙CD的距离为2寸，问门的宽度AB是多少？计算得AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 6．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB＝AC＝13，点B，C的坐标分别是（8，12），（8，2），则点A的坐标是（　　） A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7） 7．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α＝30°，则∠β的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．如图，已知三角形卡纸的三边长分别为6cm、8cm、10cm，要将这张卡纸剪成两个三角形，且其中必须有一个三角形是等腰三角形，在用不同剪法剪得的这些等腰三角形中，腰长的最小值为（　　） A． B．5cm C． D．6cm 9．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA、BC于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D，若△ABD的面积为9，则△BDC的面积为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 二．填空题（共11小题） 10．已知点A（1+m，2﹣n）与点B（2m，2n﹣5）关于x轴对称，则点A的坐标为 　 　 ． 11．等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角的度数为　 　 ． 12．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝5，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　 　 ． 13．如图，点C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 　 　 ． 14．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 　 　 ． 15．如图，△ABC是等边三角形，点M在AC上，点N在CB延长线上，且AM＝BN，过M作ME⊥AB于点E，连接MN交AB于点F，若AC＝4，则EF的长是 　 　 ． 16．在直线的图象上有一个动点M（m，n），则m2+n2的最小值是 　 　 ． 17．如图，在长方形ABCD中，AB＝18，BC＝12，E、F分别在边AB、CD上．现将四边形BCFE沿EF折叠，点B、C的对应点分别为点B′、C′．当点B′恰好与点D重合时，则CF＝　 　 ． 18．定义：一次函数y＝kx+b和一次函数y＝﹣bx﹣k互为“相反函数”（k+b≠0），如y＝2x+4和y＝﹣4x﹣2互为“相反函数”．若点P既是y＝4x﹣3图象上的点，又是它的“相反函数”图象上的点，则点P的坐标为 　 　 ． 19．如图，直线交x轴、y轴于点A、B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P′恰好落在x轴的正半轴上，则点P的横坐标为 　 　 ． 20．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示.10s时，两架无人机的高度差为 　 　 m． 三．解答题（共6小题） 21．学习完一次函数内容后，小明同学想探究函数C：y的图象情况．他通过列表得到如下几组数据： x …… ﹣2 ﹣1 0 2 4 …… y …… a 3 1 ﹣3 b …… （1）表格中a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）结合表格，请在平面直角坐标系中画出函数C的图象，并写出该函数的最小值． （3）若一次函数y＝﹣x+m与函数C的图象有2个交点，请求出m的取值范围． 22．某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．2021年该市投入资金1250万元，安装A型充电桩200个和B型充电桩300个；2022年又投入2000万元，安装A型充电桩250个和B型充电桩500个．已知这两年安装A、B两种型号的充电桩单价不变． （1）求安装A型充电桩和B型充电桩的单价各是多少万元？ （2）为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2023年再安装A、B两种型号的充电桩共200个．考虑到充电容量等综合因素，决定安装A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半．在安装单价不变的前提下，当安装A型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？ 23．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．尝试用你积累的经验和方法，研究函数y＝﹣|x|+1的图象和性质，并解决问题． （1）从数的角度，①当x＝0时，y＝﹣|x|+1＝1；②当x＞0时，y＝﹣|x|+1＝﹣x+1；③当x＜0时，y＝﹣|x|+1＝　 　 ；显然，②和③均为某个一次函数的一部分． （2）从形的角度，我们尝试在下面给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象： ①列表：（完成表格） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 　 　 0 1 0 ﹣1 　 　 … ②描点；连线． （3）对于函数y＝﹣|x|+1，有以下结论： ①该函数图象关于y轴对称； ②该函数有最大值； ③y随x的增大而增大； 其中正确的有：　 　 （填序号）； （4）①方程﹣|x|+1＝﹣2有 　 　 个解； ②若关于x的方程﹣|x|+1＝k无解，则k的取值范围是 　 　 ； ③函数y1＝kx+b（k≠0）与y2＝﹣|x|+1的图象相交于（﹣2，﹣1），（4，﹣3）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　 ． 24．如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4cm，点P是线段AB上的一个动点，连接DP，过点P作PE⊥DP，且PE＝PD，连接DE、PE分别交BC于点M、N，连接BE，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F． （1）①求证：AP＝EF； ②若AP＝3cm，则BF的长是　 　 cm． （2）在点P的运动过程中， ①求证：PM＝AP+CM； ②△PMB的周长为　 　 cm． 25．知识迁移 课本130页的阅读材料介绍了用方位角、距离描述物体的位置．如图1，现作出规定：把∠yOM这样的角称为方位角，Oy绕点O顺时针旋转则度数为正，逆时针旋转则度数为负，方位角∠yOM度数的取值范围是：﹣180°＜∠yOM≤180°．可以这样描述王家庄的位置：王家庄M在红星镇O的方位角为45°，距离为7km的位置，记为（7，45°）；赵庄组N在红星镇O的方位角为﹣30°，距离为3km的位置，记为（3，﹣30°）． （1）在图2正方形网格中标出点的位置：，B（2，﹣90°），C（3，180°）； （2）直接写出点P（5，30°）关于点O的对称点记为 　 　 ； （3）如图3，E（5，20°），F（12，110°），过点O作OH⊥EF，垂足为H，求OH． 26．类比探究： 在△ABC中，∠BCA＝90°，CB＝CA． 模型建立： （1）如图1，点F在BC上，∠BAF＝22.5°，过点B作BE⊥AF，交AF的延长线于点E．判断线段BE与AF的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长AC、BE交于点G，容易得到△ACF与△BCG全等，从而解决问题．请你判断数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展： （2）如图2，点F在BC上，点D在AB上，∠BDF＝22.5°，过点B作BE⊥DF，交DF的延长线于点E．判断线段BE与DF的数量关系，并说明理由； 模型应用： （3）如图3，将等腰Rt△ABC放入平面直角坐标系，点C在y轴负半轴上，点A在x轴正半轴上，且AO平分∠CAB，线段AB交y轴于点D，过点D作DF∥x轴交BC于点F．若点A的坐标是（m，0），点D的坐标是（0，n），直接写出点F的坐标是 　 　 ．（用m、n的代数式表示） 一．选择题（共9小题） 1．已知点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 【分析】由k0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合2＜1，即可得出y2＜y3＜y1． 【解答】解：∵k0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，且2＜1， ∴y2＜y3＜y1． 故选：A． 2．如图，∠C＝90°，点D为AB上一点，且BD＝BC，过点D作DE⊥AB交AC于点E，若DE＝2，AC＝5，则AE是（　　） A．4 B．3 C．3.5 D．2.5 【分析】利用HL证明Rt△△BCE≌Rt△BDE，根据全等三角形的性质得出CE＝DE＝2，再根据线段的和差求解即可． 【解答】解：如图，连接BE， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴△BCE和△BDE是直角三角形， 在Rt△△BCE和Rt△BDE中， ， ∴Rt△△BCE≌Rt△BDE（HL）， ∴CE＝DE＝2， ∵AC＝5， ∴AE＝AC﹣CE＝3， 故选：B． 3．一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限，则化简所得的结果是（　　） A．m B．﹣m C．2m﹣n D．m﹣2n 【分析】根据题意可得m＞0，n＜0，再进行化简即可． 【解答】解：∵一次函数y＝mx+n的图象经过一、三、四象限， ∴m＞0，n＜0， ∴m﹣n＞0， ∴|m﹣n|+|n|＝m﹣n﹣n＝m﹣2n． 故选：D． 4．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF交BC于点M，交CD于点N，连接AM，AN，此时△AMN周长最小，求出∠MAN＝60°，即可求解． 【解答】解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF交BC于点M，交CD于点N，连接AM，AN， ∵AM＝EM，AN＝NF， ∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF，此时△AMN周长最小， 由对称可知，∠EAM＝∠E，∠NAF＝∠F， ∵∠BAD＝120°， ∴∠E+∠F＝60°， ∴∠EAM+∠NAF＝60°， ∴∠MAN＝60°， ∴∠AMN+∠ANM＝120°， 故选：C． 5．《九章算术》记载：“今有开门去（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸．问门广几何？”题目大意是：如图，推开双门，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），双门间隙CD的距离为2寸，问门的宽度AB是多少？计算得AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OECD＝1寸， ∴AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中， AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101， ∴AB＝101寸， 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB＝AC＝13，点B，C的坐标分别是（8，12），（8，2），则点A的坐标是（　　） A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7） 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得出BD＝5，根据勾股定理得出AD＝12，则点A的坐标可求出． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵B（8，12），C（8，2）， ∴BC＝10， ∵AB＝AC＝13， ∴BD＝CDBC＝5， ∴AD12． ∵8﹣12＝﹣4，12﹣5＝7， ∴A（﹣4，7）． 故选：D． 7．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α＝30°，则∠β的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】只要证明α+β＝2∠ECF即可解决问题． 【解答】解：延长AE，BF交于点C′，连接CC′． ∵α＝∠ECC′+∠EC′C，β＝∠FCC′+∠FC′C， ∴α+β＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝∠ECF+∠EC′F＝2∠ECF， ∵∠ECF＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°， ∴α+β＝80°， ∵α＝30°， ∴β＝50°， 故选：C． 8．如图，已知三角形卡纸的三边长分别为6cm、8cm、10cm，要将这张卡纸剪成两个三角形，且其中必须有一个三角形是等腰三角形，在用不同剪法剪得的这些等腰三角形中，腰长的最小值为（　　） A． B．5cm C． D．6cm 【分析】理解题意进行分类讨论来解决此题． 【解答】解：如图所示，当△ABD为等腰三角形时，腰长AB＝AD＝6cm； 当△BCD为等腰三角形时，腰长BC＝CD＝8cm； ∵三角形卡纸的三边长分别为6cm、8cm、10cm， ∴62+82＝102， ∴△ABC为直角三角形， 当△BCD与△ABD都是等腰三角形时，腰长AD＝BD＝CD＝5cm； ∴腰长的最小值为5cm． 故选：B． 9．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA、BC于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D，若△ABD的面积为9，则△BDC的面积为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【分析】如图，过点D作DF⊥BC于点F，DEAB交AB的延长线于点E．证明，可得结论． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，DEAB交AB的延长线于点E． ∵BD平分∠ABC，D⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∴， ∵△ABD的面积为9， ∴△BDC的面积为15． 故选：C． 二．填空题（共11小题） 10．已知点A（1+m，2﹣n）与点B（2m，2n﹣5）关于x轴对称，则点A的坐标为 　（2，﹣1）　 ． 【分析】根据关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，构建方程组即可解决问题． 【解答】解：∵点A（1+m，2﹣n）与点B（2m，2n﹣5）关于x轴对称， ∴1+m＝2m，2−n+2n−5＝0， 解得m＝1，n＝3， ∴A（2，﹣1）． 故答案为：（2，﹣1）． 11．等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角的度数为　40°　 ． 【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°； ②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为：40°． 12．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝5，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　　 ． 【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝5，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝5， ∴， ∵△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处， ∴AC＝AC′＝5， ∵BC′≥AB﹣AC′， 故当B，C′，A三点共线时，BC′取得最小值， 此时BC′的最小值为， 故答案为：． 13．如图，点C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 　1或3　 ． 【分析】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值． 【解答】解：∵C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D， ∴四边形ABCD是正方形， ①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE， ∵AF平分∠DFE， ∴DA＝AG＝2， 在RT△ADF和RT△AGF中， ， ∴RT△ADF≌RT△AGF（HL）， ∴DF＝FG， ∵点E是BC边的中点， ∴BE＝CE＝1， ∴AE， ∴GE1， ∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF， ∴点F（，2）， 把点F的坐标代入y＝kx得：2k，解得k＝3； ②当点F与点C重合时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AF平分∠DFE， ∴F（2，2）， 把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1． 故答案为：1或3． 14．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（4，8），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 　（0，3）　 ． 【分析】利用轴对称的性质可得出AD＝AC＝8，∠CAB＝∠DAB，再通过平行线得出∠ABO＝∠CAB，进而得出∠ABO＝∠DAB，最后利用等角对等边，结合勾股定理即可解决问题． 【解答】解：因为∠ACB＝90°，OB∥AC， 所以∠OBC＝90°， 又因为∠BOA＝90°， 所以四边形BOAC是矩形． 因为点C的坐标为（4，8）， 所以AC＝8，BC＝4， 所以BD＝BC＝4，AD＝AC＝8． 因为点D和点C关于AB成轴对称， 所以∠CAB＝∠DAB， 又因为OB∥AC， 所以∠OBA＝∠CAB， 所以∠OBA＝∠DAB， 所以BE＝AE． 令BE＝AE＝x， 则DE＝8﹣x． 在△BDE中， BD2+DE2＝BE2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， 所以BE＝5， 所以OE＝8﹣5＝3， 即点E的坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 15．如图，△ABC是等边三角形，点M在AC上，点N在CB延长线上，且AM＝BN，过M作ME⊥AB于点E，连接MN交AB于点F，若AC＝4，则EF的长是 　2　 ． 【分析】作MG∥BC交AB于点G，由等边三角形的性质得AB＝AC＝4，∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，则∠AMG＝∠C＝60°，∠AGM＝∠ABC＝60°，可证明△AGM是等边三角形，得GM＝AM，而AM＝BN，所以GM＝BN，再证明△MGF≌△NBF，得GF＝BF，由ME⊥AB于点E，得GE＝AE，则EF＝GE+GF＝AE+BFAB＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作MG∥BC交AB于点G，则∠GMF＝∠N， ∵△ABC是等边三角形，AC＝4， ∴AB＝AC＝4，∠A＝∠C＝∠ABC＝60°， ∴∠AMG＝∠C＝60°，∠AGM＝∠ABC＝60°， ∴∠A＝∠AMG＝∠AGM， ∴△AGM是等边三角形， ∴GM＝AM， ∵AM＝BN， ∴GM＝BN， 在△MGF和△NBF中， ， ∴△MGF≌△NBF（AAS）， ∴GF＝BF， ∵ME⊥AB于点E， ∴GE＝AE， ∴EF＝GE+GF＝AE+BFAB＝2， 故答案为：2． 16．在直线的图象上有一个动点M（m，n），则m2+n2的最小值是 　　 ． 【分析】将M（m，n）代入直线中，得到n关于m的表达式，将表达式代入m2+n2中整理成关于m的顶点式即可． 【解答】解：∵点M（m，n）在直线的图象上，nm+4， ∴m2+n2＝m2+（m+4）2 m2m+16 ＝（）2， ∴a，二次函数有最小值， ∴当m时，m2+n2取得最小值． 故答案为：． 17．如图，在长方形ABCD中，AB＝18，BC＝12，E、F分别在边AB、CD上．现将四边形BCFE沿EF折叠，点B、C的对应点分别为点B′、C′．当点B′恰好与点D重合时，则CF＝　5　 ． 【分析】由翻折的性质可得CF＝C'F，BC＝B'C'＝12，∠C′＝∠C＝90°，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝18，∠C＝90°， 由翻折的性质可知：CF＝C'F，BC＝B'C'＝12，∠C′＝∠C＝90°， ∴DF＝CD﹣CF＝18﹣CF， 在Rt△B′C′F中，根据勾股定理得：B′F2﹣C′F2＝B′C′2， ∴（18﹣CF）2﹣CF2＝122， ∴CF＝5， 故答案为：5． 18．定义：一次函数y＝kx+b和一次函数y＝﹣bx﹣k互为“相反函数”（k+b≠0），如y＝2x+4和y＝﹣4x﹣2互为“相反函数”．若点P既是y＝4x﹣3图象上的点，又是它的“相反函数”图象上的点，则点P的坐标为 　（﹣1，﹣7）　 ． 【分析】根据题意得到y＝4x﹣3和y＝3x﹣4互为“相反函数”，再将点P的坐标代入一次函数中，求出点的坐标即可． 【解答】解：设点P坐标为（m，n）， 代入y＝4x﹣3和y＝3x﹣4中， 得到 解得m＝﹣1，n＝﹣7， 故答案为：（﹣1，﹣7）． 19．如图，直线交x轴、y轴于点A、B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P′恰好落在x轴的正半轴上，则点P的横坐标为 　　 ． 【分析】根据解析式可得OA＝6，OB＝4，再证明△BPQ≌△AP′Q（ASA），BP＝AP′，设P（m，4），则BP＝m，则BP＝BP′＝AP′＝m，利用勾股定理建立方程解出m值即可． 【解答】解：如图，连接PA、PB、PP′、BP′， ∵直线AB的解析式为， ∴A（6，0），B（0，4）， ∴OA＝6，OB＝4， ∵点P与点P′关于直线AB对称， ∴PQ＝P′Q，且PP′⊥AB， ∴BP＝BP′ ∵点P在第一象限，且纵坐标为4， ∴BP∥x轴， ∴∠BPQ＝∠AP′Q 又∵PQ＝P′Q，∠BQP＝∠AQP′， ∴△BPQ≌△AP′Q（ASA）， ∴BP＝AP′， 设P（m，4），则BP＝m， ∴BP＝BP′＝AP′＝m， ∴OP′＝OA﹣AP′＝6﹣m， 在Rt△OBP′中，OB2+OP′2＝BP′2， 即：42+（6﹣m）2＝m2， 解得m， 故答案为：． 20．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示.10s时，两架无人机的高度差为 　20　 m． 【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y与无人机上升的时间x之间的函数关系式，当x＝10时，分别求出两者的函数值并求差即可． 【解答】解：设甲无人机所在的位置距离地面的高度y甲与无人机上升的时间x之间的函数关系为y甲＝k1x， ∵当x＝5时，y甲＝40， ∴5k1＝40，解得k1＝8， ∴y甲＝8x； 设乙无人机所在的位置距离地面的高度y乙与无人机上升的时间x之间的函数关系为y乙＝k2x+b， ∵当x＝0时，y乙＝20；当x＝5时，y乙＝40， ∴，解得， ∴y乙＝4x+20； 当x＝10时，y甲＝8×10＝80，y乙＝4×10+20＝60， 80﹣60＝20（m）， ∴10s时，两架无人机的高度差为20m， 故答案为：20． 三．解答题（共6小题） 21．学习完一次函数内容后，小明同学想探究函数C：y的图象情况．他通过列表得到如下几组数据： x …… ﹣2 ﹣1 0 2 4 …… y …… a 3 1 ﹣3 b …… （1）表格中a＝　5　 ，b＝　﹣2　 ． （2）结合表格，请在平面直角坐标系中画出函数C的图象，并写出该函数的最小值． （3）若一次函数y＝﹣x+m与函数C的图象有2个交点，请求出m的取值范围． 【分析】（1）把x值代入函数对应的关系式中即可求出a，b的值． （2）根据表格在平面直角坐标系中描点、连线，即可画出图象，从图象上可以求出最小值． （3）画出函数C的图象和y＝﹣x的图象，平移y＝﹣x的图象即可找到两个函数图象有2个交点时m的取值范围． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝|2×（﹣2）﹣4|﹣3＝8﹣3＝5， ∴a＝5． 当x＝4时，y4﹣4＝2﹣4＝﹣2， ∴b＝﹣2． 故，表格中a＝5，b＝﹣2． （2）函数C的图象如图所示， 由图象可知，该函数的最小值是﹣3． （3）在平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x﹣1、y＝﹣x+m（m＞﹣1）与函数C的图象，如图所示， 由图象可知，当m＞﹣1时，一次函数y＝﹣x+m与函数C的图象有2个交点． 22．某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．2021年该市投入资金1250万元，安装A型充电桩200个和B型充电桩300个；2022年又投入2000万元，安装A型充电桩250个和B型充电桩500个．已知这两年安装A、B两种型号的充电桩单价不变． （1）求安装A型充电桩和B型充电桩的单价各是多少万元？ （2）为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2023年再安装A、B两种型号的充电桩共200个．考虑到充电容量等综合因素，决定安装A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半．在安装单价不变的前提下，当安装A型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？ 【分析】（1）设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意即可列出关于x、y的方程组，解方程组即可求出答案； （2）设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了（200﹣m）个，投入的总费用为w万元，根据题意可列出不等式，进而可求出m的取值范围，然后得出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意， 得， 解这个方程组，得； 答：安装A型充电桩和B型充电桩的单价分别是1万元和3.5万元． （2）设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了（200﹣m）个，投入的总费用为w万元，根据题意，得 ． 解这个不等式，得． 投入的总费用w＝1×m+3.5（200﹣m）． ∴w＝﹣2.5m+700， ∵﹣2.5＜0， ∴w随m增大而减小， ∵m为正整数，当m取最大值66时，w的最小值为w＝﹣2.5×66+700＝535（万元）． 答：当A型充电桩安装66个时，所需投入的总费用最少，最少的费用为535万元． 23．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．尝试用你积累的经验和方法，研究函数y＝﹣|x|+1的图象和性质，并解决问题． （1）从数的角度，①当x＝0时，y＝﹣|x|+1＝1；②当x＞0时，y＝﹣|x|+1＝﹣x+1；③当x＜0时，y＝﹣|x|+1＝x+1　 ；显然，②和③均为某个一次函数的一部分． （2）从形的角度，我们尝试在下面给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象： ①列表：（完成表格） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣2 　﹣1　 0 1 0 ﹣1 　﹣2　 … ②描点；连线． （3）对于函数y＝﹣|x|+1，有以下结论： ①该函数图象关于y轴对称； ②该函数有最大值； ③y随x的增大而增大； 其中正确的有：　①②　 （填序号）； （4）①方程﹣|x|+1＝﹣2有 　2　 个解； ②若关于x的方程﹣|x|+1＝k无解，则k的取值范围是 k＞1　 ； ③函数y1＝kx+b（k≠0）与y2＝﹣|x|+1的图象相交于（﹣2，﹣1），（4，﹣3）两点，当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜﹣2或x＞4　 ． 【分析】（1）根据绝对值的定义进行计算即可； （2）把x、y的值代入函数关系式进行计算即可； （3）根据图象解答即可； （4）利用函数的图象解答即可． 【解答】解：（1）当x＜0时，y＝﹣|x|+1＝x+1， 故答案为：x+1； （2）①当x＝﹣2时，y＝x+1＝﹣2+1＝﹣1， 当x＝3时，y＝﹣x+1＝﹣3+1＝﹣2， 故答案为：﹣1，﹣2； ②函数图形如图所示： （3）对于函数y＝﹣|x|+1，有以下结论： ①该函数图象关于y轴对称；正确； ②该函数有最大值；正确； ③y随x的增大而增大；错误． 故答案为：①②； （4）①由图象可知，当k＜1时，函数y＝﹣|x|+1的图象与直线y＝﹣2有两个交点， ∴方程﹣|x|+1＝﹣2有2个解； 故答案为：2； ②当k＞1时，函数y＝﹣|x|+1的图象与直线y＝k没有交点， ∴若关于x的方程﹣|x|+1＝k无解，则k的取值范围是k＞1； 故答案为：k＞1； ③函数y1＝kx+b（k≠0）与y2＝﹣|x|+1的图象相交于（﹣2，﹣1），（4，﹣3）两点，由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞4． 故答案为：x＜﹣2或x＞4． 24．如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4cm，点P是线段AB上的一个动点，连接DP，过点P作PE⊥DP，且PE＝PD，连接DE、PE分别交BC于点M、N，连接BE，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F． （1）①求证：AP＝EF； ②若AP＝3cm，则BF的长是　3　 cm． （2）在点P的运动过程中， ①求证：PM＝AP+CM； ②△PMB的周长为　8　 cm． 【分析】（1）①由正方形的性质和PE⊥DP可得∠ADP＝∠FPE，结合PD＝PE，EF⊥AB即可证明△ADP≌△FPE，进而得证； ②由①可得AP＝EF＝3，AD＝PF＝AB，进而得出AP＝BF＝3，根据勾股定理即可求解； （2）①延长PA至点H，使得CM＝AH，证明△DCM≌△DAH，再证明△PDM≌△PDH即可得证； ②由PM＝AP+CM可得△PMB的周长为PM+PB+BM＝AP+CM+PB+BM＝AB+BC＝8． 【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°， ∵PE⊥DP， ∴∠DPE＝90°， ∴∠ADP+∠APD＝∠FPE+∠ADP， ∴∠ADP＝∠FPE， ∵EF⊥AB， ∴∠F＝90°， ∵PD＝PE， ∴△ADP≌△FPE（AAS）， ∴AP＝EF； ②解：∵△ADP≌△FPE， ∴AP＝EF＝3，AD＝PF＝AB， ∴AP＝BF＝3， ∴BE3（cm）， 故答案为：3； （2）①证明：延长PA至点H，使得CM＝AH，如图： ∵AD＝CD，∠C＝∠DAH， ∴△DCM≌△DAH（SAS）， ∴DM＝DH，∠CDM＝∠ADH， ∵PD＝PE，∠EPD＝90°， ∴∠PDE＝45°， ∴∠DCM+∠ADP＝45°＝∠PDH， ∵PD＝PD． ∴△PDM≌△PDH（SAS）， ∴PM＝PH＝AP+AH＝AP+CM； ②解：∵PM＝AP+CM， ∴△PMB的周长为：PM+PB+BM＝AP+CM+PB+BM＝AB+BC＝4+4＝8（cm）． 故答案为：8． 25．知识迁移 课本130页的阅读材料介绍了用方位角、距离描述物体的位置．如图1，现作出规定：把∠yOM这样的角称为方位角，Oy绕点O顺时针旋转则度数为正，逆时针旋转则度数为负，方位角∠yOM度数的取值范围是：﹣180°＜∠yOM≤180°．可以这样描述王家庄的位置：王家庄M在红星镇O的方位角为45°，距离为7km的位置，记为（7，45°）；赵庄组N在红星镇O的方位角为﹣30°，距离为3km的位置，记为（3，﹣30°）． （1）在图2正方形网格中标出点的位置：，B（2，﹣90°），C（3，180°）； （2）直接写出点P（5，30°）关于点O的对称点记为 　（5，﹣150°）　 ； （3）如图3，E（5，20°），F（12，110°），过点O作OH⊥EF，垂足为H，求OH． 【分析】（1）根据方位角的概念标出点A、B、C的位置； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征解答； （3）根据方位角求出∠EOF＝90°，根据勾股定理求出EF，根据三角形面积公式计算OH． 【解答】解：（1）点A、B、C的位置如图2所示； （2）点P（5，30°）关于点O的对称点记为（5，﹣150°）， 故答案为：（5，﹣150°）； （3）如图3，连接OE、OF， 由题意可知：∠yOE＝20°，∠yOF＝110°，OE＝5，OF＝12， ∴∠EOF＝90°， ∴EF13， ∵S△EOFOE•OFEF•OH， ∴5×1213•OH， 解得：OH． 26．类比探究： 在△ABC中，∠BCA＝90°，CB＝CA． 模型建立： （1）如图1，点F在BC上，∠BAF＝22.5°，过点B作BE⊥AF，交AF的延长线于点E．判断线段BE与AF的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长AC、BE交于点G，容易得到△ACF与△BCG全等，从而解决问题．请你判断数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展： （2）如图2，点F在BC上，点D在AB上，∠BDF＝22.5°，过点B作BE⊥DF，交DF的延长线于点E．判断线段BE与DF的数量关系，并说明理由； 模型应用： （3）如图3，将等腰Rt△ABC放入平面直角坐标系，点C在y轴负半轴上，点A在x轴正半轴上，且AO平分∠CAB，线段AB交y轴于点D，过点D作DF∥x轴交BC于点F．若点A的坐标是（m，0），点D的坐标是（0，n），直接写出点F的坐标是 　　 ．（用m、n的代数式表示） 【分析】（1）证明△ACF与△BCG全等，再利用等腰三角形判定及性质即可得到本题答案； （2）过点D作DH∥AC交BE延长线于H，交BC于Q，再证明△BHQ和△FQD全等，继而得到本题答案； （3）作BE⊥y轴，证明△CAO≌△DAO，设CB直线解析式为y＝kx+b（k≠0），求出后将点F的纵坐标代入即可求出横坐标，继而得到本题答案． 【解答】解：（1）延长AC、BE交于点G，如图1， ， ∵∠BCA＝90°，CB＝CA，∠BAF＝22.5°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∠CAF＝22.5°， ∵BE⊥AF， 在△ABE和△AGE中， ， ∴△ABE≌△AGE（ASA）， ∴BE＝GE， ∵∠EFB＝∠CFA， ∴∠EBF＝∠CFA， ∴∠EBF＝∠CAF， 在△ACF与△BCG中， ， ∴△ACF≌△BCG（ASA）， ∴AF＝BG， ∵BG＝2BE， ∴； （2）；理由如下： 过点D作DH∥AC交BE延长线于H，交BC于Q，如图2， ， ∵∠BCA＝90°，CB＝CA， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°， ∵∠BDF＝22.5°， ∴∠HDE＝22.5°， ∵BE⊥DF， 在△BDE和△BHE中， ， ∴△BDE≌△BHE（ASA）， ∴BE＝EH， ∵∠FQD＝∠BCA＝90°，∠QDB＝∠A＝45°， ∴△BQD为等腰三角形，BQ＝QD， ∵∠EFB＝∠QFD， ∴∠EBF＝∠QDF， ∴△BHQ≌△FQD（ASA）， ∴DF＝BH＝2BE， ∴； （3）作BE⊥y轴于点E，如图3，则∠BEC＝∠COA＝90°， ， ∴∠CBE+∠BCE＝90°， ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠CBE＝∠ACD， ∵CB＝CA， ∴△BCE≌△CAO（AAS）， ∴BE＝CO，CE＝AO， ∵AO平分∠CAB， ∴∠DAO＝∠OAC， ∵x⊥y轴， ∴△DAC是等腰三角形， ∵点D的坐标是（0，n），点A的坐标是（m，0）， ∴点C的坐标是（0，﹣n）， 同（1）证：△CBE≌△AOC， ∴BN＝OC＝n，CN＝AO＝m， ∴OE＝m﹣n， ∴点B坐标为：（﹣n，m﹣n）， 设CB直线解析式为y＝kx+b（k≠0）， 即：， 解得：， ∴CB直线解析式为：， ∵DF∥x轴，把y＝n代入CB直线解析式， ， 解得：， ∴点F的坐标是：， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $