2026年山西省中考数学第一轮复习 第一章数与式练习题课件

第一章　数与式 第2节　基础课　代数式与整式 考点精讲 代数式 概念：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子 列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来 代数式求值 1.直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值 2.整体代入法： (整体思想) (1)观察已知条件和所求代数式的关系 (2)将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式 非负数 在实数范围内，正数和0统称为非负数 常见的非负数有a2，|b|，(c≥0) 【知识拓展】若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0. 如：若a2＋|b|＋＝0，则有a2＝0，|b|＝0， ＝0，即a＝b＝c＝0 整式 整式的相关概念 单项式 元素 系数：单项式中的_____因数 次数：一个单项式中，所有字母的指数的___ 概念：由数与字母的_____表示的式子(人教版将“与”改为“或”)．单独的一个数或一个字母也是单项式 数字 和 单项式和多项式统称为整式 乘积 整式 整式的相关概念 元素 多项式 概念：几个单项式的___ 项：每个单项式叫做多项式的项， 不含字母的项叫做_______ 次数：一个多项式中次数最高的项的次数 和 常数项 同类项：___________________________________________(所有的常数项都是同类项) 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 加减运算 (实质：合 并同类项) 整式的运算 合并同 类项 去括号 法则 1.字母和字母的_____不变； 2.系数相加减作为新的系数．如2xy2＋3xy2＝_____ 括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变．如a＋(b＋c)＝a___b___c 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．如a－(b＋c)＝a___b___c 指数 5xy2 － ＋ ＋ － 整式 同底数幂相乘：底数不变，指数相加．即am·an＝_____ 同底数幂相除：___________________．即am÷an＝______ (a≠0，且m＞n) 幂的乘方：___________________．即(am)n＝_____ 积的乘方：___________________________________________． 即(ab)n＝____ 商的乘方：分子、分母同时乘方．即()n＝____ (a≠0) 整式 整式的运算 幂的运算 (m，n为 正整数) anbn am＋n 底数不变，指数相减 am－n 底数不变，指数相乘 amn 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 整式 整式的运算 乘法运算 单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的_____不变，作为积的因式.如2a2∙2a3b=(2×2)∙a2＋3b=4a5b 单项式乘多项式：根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如a(b＋c)=ab＋ac 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.如(a＋b)(c＋d)=ac＋ad＋bc＋bd 指数 整式 整式的运算 乘法运算 乘法公式 平方差公式 完全平方公式 公式：__________________ 几何验证： 公式：__________________ 几何验证： (a＋b)(a－b)=a2－b2 (a±b)2=a2±2ab＋b2 【满分技法】常见的变形有a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；(－a－b)2＝(a＋b)2；(－a＋b)2＝(a－b)2 整式 整式的运算 除法运算 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．如4a3÷2a＝____ 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．如(2a2b＋6ab2)÷2a＝________ 2a2 ab＋3b2 因式分解 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式 注：必须分解到每一个多项式都不能再分解为止 因式分解 基本方法 公式：ma＋mb＋mc=___________ 公因式 的确定 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项相同的字母或因式 指数：取各项相同字母的最低次数 a2－b2____________ a2±2ab＋b2_______ 提公因式法 公式法 m(a＋b＋c) (a＋b)(a－b) (a±b)2 【易错警示】因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式，二者不可混淆 真题、模拟题随堂练 列代数式(6年3考) 命题点 1 类型一　以实际问题为背景列代数式(2025.12) 【满分技法】列出的代数式化为最简后，若最后一步是多项式时，必须将 代数式用括号括起来再加单位. 1. (2025山西12题)近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业， 提高了农民收入.某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来 的每个20元增加到80元.该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加 了 元(用含a的代数式表示). 60a 2. (2024晋中模拟)如图是某校为“五四”晚会搭建的“凹”字型舞台(图中阴影 部分)，相关数据如图所示(a＞2b)，则这个舞台的面积为 (用含 a，b的代数式表示). 【解析】由题知，整个矩形的面积为(a－b)(＋b＋)=a2－b2.中间小正方 形的面积为b2，∴这个舞台的面积为a2－b2－b2=a2－2b2. a2－2b2 3. (北师七上习题改编)某商店出售一种商品，其原价为m元，现对商品进 行调价：先提价20%，在此基础上又降价20%进行销售，这时该商品的价 格为 元.(用含m的代数式表示) 【解析】先提价20%为(1＋20%)m=120%m(元)，再降价20%为 120%m×(1－20%)=0.96m(元). 0.96m 题后思考 若对该商品在原价基础上先降价20%，再提价20%，这时商品的价格和原 题中调价后的价格一样吗？是否恢复了原价？ 解：一样，但不是恢复原价. 【解法提示】先降价20%为(1－20%)m=80%m(元)，再提价20%为 80%m×(1＋20%)=0.96m(元). ∵m≠0，∴0.96m≠m，故不是恢复原价. 类型二　规律探索(6年2考) 4. 一组按规律排列的式子a2，a5，a8，a11，…，则第n个式子为 ⁠. 5. 观察下面等式：①a1=1＋=，②a2=1＋=，③a3=1＋=，④a4=1＋ =，…，根据其中的规律，写出关于an的等式为 　　　　　　　　　. a3n－1 an=1＋ = ​ 6. (2023山西12题)如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片 组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图 案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…，依此规律，第n 个图案中有 个白色圆片(用含n的代数式表示). 【解析】由题意，得后一个图案比前一个图案多2个白色圆片，第1个图案 有2×1＋2=4(个)白色圆片，第2个图案中有2×2＋2=6(个)白色圆片，第3 个图案中有2×3＋2=8(个)白色圆片，…，∴第n个图案中有(2n＋2)个白色 圆片. (2n＋2) 整式的运算(6年6考) 命题点 2 7. (2025山西3题)下列运算正确的是(　B　) A. 2a＋3b=5ab B. m2∙m4=m6 C. (a－b)2=a2－b2 D. (2m2)3=6m6 B 8. (2023山西3题)下列计算正确的是(　D　) A. a2∙a3=a6 B. (－a3b)2=－a6b2 C. a6÷a3=a2 D. (a2)3=a6 9. (2021山西3题)下列运算正确的是(　A　) A. (－m2n)3=－m6n3 B. m5－m3=m2 C. (m＋2)2=m2＋4 D. (12m4－3m)÷3m=4m3 D A 10. 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常这个两位数可表示为10a＋b，由这两个数字组成两个不同的两位数，先把它们相加，然后再用所得的和除以所选两个数字的和.所得的结果是 ⁠. 【解析】解法一：选的十位上数字为a，个位上数字为b，则这个两位数为 10a＋b，调换个位和十位数字后为10b＋a，根据题意，得(10a＋b＋10b＋ a)÷(a＋b)=11(a＋b)÷(a＋b)=11，则结果为11. 11 一题多解法 10. 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常这个两位数可表示为10a＋b，由这两个数字组成两个不同的两位数，先把它们相加，然后再用所得的和除以所选两个数字的和.所得的结果是 ⁠. 解法二：可以赋值，令a=2，b=1，根据题意，得(21＋12)÷(1＋2)=11. 11 11. ［2023山西16(2)题］计算：x(x＋2)＋(x＋1)2－4x. 答题规范 得分要点 解：原式=x2＋2x＋x2＋2x＋1－4x =2x2＋1. 按照整式的运算顺序依次计算各项的值 合并同类项，将式子化到最简 12. (过程纠错)下面是小芳同学进行整式运算的过程，请仔细阅读，并完 成相应任务. 化简：［x2＋3y2－(x－2y)(x＋2y)］÷y 解：原式=［x2＋3y2－(x2－4y2)］÷y …………… 第①步 =(x2＋3y2－x2－4y2)÷y ………………………… 第②步 =－y2÷y ……………………………………… 第③步 =－y. …………………………………………… 第④步 任务：(1)以上第①步中用到的整式乘法公式是 (用 字母a，b表示公式)； (a＋b)(a－b)=a2－b2 (2)小芳同学的运算从第 ⁠步开始出现错误，这一步错误的原因 是 　　　　　　　　　　　　　　　　； 去括号时括号内第二项没有变号 ② (3)请写出正确的化简过程，并求出当y=－3时该整式的值. 解：原式=［x2＋3y2－(x2－4y2)］÷y =(x2＋3y2－x2＋4y2)÷y =7y2÷y =7y， 当y=－3时，原式=7×(－3)=－21. 因式分解(2025年考查，常在分式化简中涉及考查) 命题点 3 13. 因式分解：－2x2＋8x－8= ⁠. 14. (2025山西11题)因式分解：m2－16= ⁠. －2(x－2)2 (m＋4)(m－4) 答题规范 得分要点 15. (2025太原模拟)因式分解：(1＋m)2－(m＋1)(m－1). 解：原式=(m＋1)［(m＋1)－(m－1)］ =(m＋1)(m＋1－m＋1) =2(m＋1). 将原式化为含有公因式的式子 提取公因式 因式分解必须分解彻底 $第一章　数与式 第4节　基础课　二次根式 考点精讲 二次根式的有关概念 最简二次根式：同时满足两个条件 1.被开方数不含_____(分母中不含根号) 2.被开方数不含能_________的因数或因式 开得尽方 分母 概念：一般地，把形如(a≥0)的式子叫做二次根式 二次根式有意义的条件：_____________________ 被开方数大于或等于零 二次根式的性质 ＞ a －a ≥ ≥ ≥ 1.()2＝__ (a≥0) 2.＝|a|＝ 3.＝·(a___0，b___0) 4.＝(a___0，b___0) 5．双重非负性：二次根式 被开方数a≥0 ≥0 二次根式的运算 加减法则：先将各二次根式分别化成_____________，再将被开方数_____的二次根式进行合并 乘法法则：·＝_____ (a≥0，b≥0)；除法法则：＝____ (a≥0，b＞0) 最简二次根式 相同 1.先对二次根式平方 2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数 3.对以上两个整数开方 4.确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间 二次根式的估值 真题、模拟题随堂练 二次根式的相关概念及性质 命题点 1 1. (2019山西4题)下列二次根式是最简二次根式的是(　D　) A. B. C. D. D 2. 请写出一个使代数式有意义的实数x的值 ⁠. 【解析】∵要使有意义，则3x＋1≥0，解得x≥－， ∴实数x的值可以为1. 1(答案不唯一) 二次根式的运算(6年4考) 命题点 2 3. (2025省学情调研卷)下列运算正确的是(　B　) A. ＋= B. ×= C. 3－=3 D. ÷=2 B 4. (2021山西11题)计算：＋=  . 5. (2022山西11题)计算：×的结果为 ⁠. 5 ​ 3 7. (2020山西11题)计算：(＋)2－= ⁠. 6. (2023山西11题)计算：(＋)(－)的结果为 ⁠. 【解析】原式=3＋2＋2－2=5. 3 5 二次根式的估值 命题点 3 8. 估算－1的值在(　B　) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【解析】∵16＜19＜25，∴4＜＜5，∴3＜－1＜4. B $第一章　数与式 第3节　基础课　分　式 考点精讲 分式概念及性质 概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式(其中B≠0) 注：分式有意义的条件：_____ 分式值为0的条件：__________ 基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个_______________，分式的值 不变，即 B≠0 A=0且B≠0 不等于零的整式 =(C≠0) 通分 =(C≠0) 约分 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 同分母：分母不变，把分子相加减，即±=______ 异分母：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，即±=________=_______ (关键是通分) 分式的运算 加减运算 通分找最简公分母 1.分母中能分解因式的，先分解因式 2.取各分母所有因式的最高次幂 (数字因式取它们的最小公倍数)的积作为公分母 ± 分式的运算 乘除运算 1.分子、分母中能分解因式的，先分解因式 2.取分子、分母中的相同因式的最低次幂(数字因式取它们的最大公约数)作为公因式 约分找公因式 乘法：·＝____ (关键是约分) 除法：÷_________ ∙ 分式的运算 【易错警示】 1.化简求值题一定要做到“先”化简，“再”求值； 2.通分时要记得给不含分母的项乘最简公分母； 3.含有括号的，先计算括号里面的分式运算；去括号时，若括号前为负号，则去括号后括号内每一项都要变号； 4.化简结果应为最简分式或整式； 5.代值计算时需注意，所代入的数值需使原分式及化简过程中的分式有意义，即分母不为0，除式不为0. 真题、模拟题随堂练 分式的概念及性质 命题点 1 1. (北师八下习题改编)若分式的值为0，则a的值是(　B　) A. －2 B. 3 C. －3 D. 5 2. (人教八上习题改编)若分式有意义，则x的取值范围是 ⁠. B x≠3 分式化简及求值(6年3考) 命题点 2 3. (2025省学情调研卷)化简－2的结果为　　(　B　) A. a－3 B. a－1 C. a2－2a＋1 D. 4. (2022山西7题)化简 － 的结果是　　　(　A　) A. B. a－3 C. a＋3 D. B A 答题规范 得分要点 5. ［2024山西16(2)题］化简：(＋)÷. 解：原式=÷ =∙(3分) =∙(4分) =.(5分) 运算顺序有括号的先算括号内的 除以一个数或式子等于乘它的倒数 分式化简最终结果要化为最简 6. 化简：(1＋)÷. 解：原式=÷ =∙ =x－1. 7. 先化简，再求值：(－x－2)÷，其中x=3. 解：原式=∙ =∙ =∙ =， 当x=3时，原式==. 8. ［2020山西16(2)题］下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅 读并完成相应任务. 　－ =－第一步 =－ 第二步 =－ 第三步 =第四步 = 第五步 =－. 第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第 ⁠步是进行分式的通分，通分 的依据是 ⁠ ⁠； ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ⁠ ⁠； 三 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为 零的整式，分式的值不变 五 括号前是“－”号，去 括号后，括号里的第二项没有变号 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 解：任务二：－；(5分) 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还 需要注意的事项给其他同学提一条建议. 任务三：最后结果应化为最简分式或整式；约分、通分时，应根据分式的 基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等(答案不唯一).(6分) $第一章　数与式 第1节　基础课　实　数 考点精讲 实数的分类 有理数 整数 分数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 按定义分 按性质分：正数、0、负数 【易错警示】0既不是正数也不是负数 正负数的意义：常用正数和负数表示两种具有_________的量，如“＋5”表示向东5米，则“－5”表示________ 相反意义 向西5米 数轴 表示方法及三要素： 性质：_____与数轴上的点是一一对应的 实数 实数的相关概念 绝对值 a(a＞0) 0(a=0) ____ (a＜0) 即|a|具有非负性. 注：绝对值最小的实数是0 几何意义：数轴上表示数a的点到原点的_____，离原点越远的数的绝对值越____ |a|= 距离 －a 大 非零实数a的相反数是____．特别地，0的相反数为0 实数a，b互为相反数⇔a＋b＝___ 实数的相关概念 －a 0 1 相反数 非零实数a的倒数是___.特别地，倒数是它本身的数为____，0没有倒数 实数a，b互为倒数⇔ ab=___ 倒数 ±1 科学记数法 定义：把一个数表示成a×10n的形式(1≤|a|＜10，n为整数) 【满分技法】1.常见计数单位：1万＝_______，1亿＝_______； 2.常见计量单位：1km＝_______m，1吨＝_______kg，1kg＝______g 1.当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1 2．当0＜原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有 零的个数(含小数点前面的零) 表示方法 1×104 1×108 1×103 1×103 1×103 实数的大小比较 数轴比较法：通常规定正方向向右时，右边的点表示的数总比左边的点表示的数___ 类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小 差值比较法：对于任意实数a，b，有：a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a＜b 平方比较法：a>⇒a2___b(b>0)(主要应用于无理数估值或无理数的大小比较) 商值比较法：对于任意不为0的实数a，b，有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b 大 ＞ 平方根、算术平方根、立方根 考查点 定义 总结 平方根 实数a(a≥0)的平方根为______，其中____为a的算术平方根. 1.一个正数的平方根有两个，它们互为_______； 2.负数没有平方根； 3.所有的数都有一个立方根，且与原数同号； 4.平方根等于它本身的数是___；算术平方根等于它本身的数是______；立方根等于它本身的数是_______ 算术 平方根 立方根 实数a的立方根为___ ± 相反数 0，±1 0 0，1 实数的运算 1 2 2 2 3 2 －3 _____ (a＞b) 0　　 (a=b) ______(a＜b) 零次幂：a0＝___(a≠0) 乘方：如()2＝___，(－3)2＝9；(a2是非负数) ()3＝___，(－)3＝－ 负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p为正整数)．特别地，a－1＝___ (a≠0)， a－2＝____(a≠0) 如()－1＝___，(－3)－2＝____ (口诀：倒底数，反指数) 常见的开方：＝____，＝____，＝____，＝___，＝____ 去绝对值符号：|a－b|= a－b b－a 实数的运算 【满分技法】先比较绝对值符号内两数的大小，再根据绝对值的非负性去绝对值符号 ___(n为偶数)，如(－1)2 026=1 －1(n为奇数)，如(－1)2 025＝－1 －1的奇偶次幂：(－1)n= 1 真题、模拟题随堂练 正负数的意义 1. (2024山西1题)中国空间站位于距离地面约400 km的太空环境中.由于没 有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150 ℃， 其背阳面温度可低于零下100 ℃.若零上150 ℃记作＋150 ℃，则零下100 ℃记作(　B　) A. ＋100 ℃ B. －100 ℃ C. ＋50 ℃ D. －50 ℃ B 2. 如图，小球左端固定在弹簧上，若小球从静止位置向右5 cm，记作＋5 cm，则小球从静止位置向左3 cm，记作(　B　) A. ＋3 cm B. －3 cm C. －5 cm D. －8 cm B 实数的相关概念 3. (2022山西1题)－6的相反数是(　A　) A. 6 B. C. － D. －6 4. －3的绝对值是(　B　) A. －3 B. 3 C. － D. A B 数轴 5. (2025太原一模)下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是(　C　) A. －3 B. －1 C. D. 2 6. 如图，数轴上点M表示的数的相反数是(　A　) A. －3 B. 3 C. D. － C A 科学记数法(6年3考，均考查大数的科学记数法) 命题点 4 7. (2023山西4题)山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量 达到1 464亿千瓦时，同比增长18.55%.数据1 464亿千瓦时用科学记数法表 示为(　C　) A. 1.464×108千瓦时 B. 1 464×108千瓦时 C. 1.464×1011千瓦时 D. 1.464×1012千瓦时 C 8. “中国天眼”是目前世界上最大单口径、最灵敏的射电望远 镜，具有我国自主知识产权，能够接收到来自137亿光年以外的电磁信 号，已知1光年≈9.5×1012千米，数据137亿光年用科学记数法表示约为 (　C　) A. 1.301 5×1024千米 B. 13.01 5×1022千米 C. 1.301 5×1023千米 D. 1.301 5×1022千米 【解析】137亿光年≈137×108×9.5×1012千米=1.301 5×1023千米. C 9. (2025山西1题)下列各数中比－3小的数是　　(　A　) A. －4 B. －2 C. －1 D. 3 A 实数的大小比较(近2年连续考察) 命题点 5 10. (2025榆次区一模改编)下表中记录了非洲、欧洲、亚洲和南美洲的最 低海拔： 大洲 非洲 欧洲 亚洲 南美洲 最低海拔/m －156 －28 －415 －40 其中这四大洲中最低海拔最小的大洲是(　C　) A. 非洲 B. 欧洲 C. 亚洲 D. 南美洲 C 11. (2024山西11题)比较大小： 2(填“＞”“＜”或“=”). ＞ 12. (2023山西1题)计算(－1)×(－3)的结果为(　A　) A. 3 B. C. －3 D. －4 A 实数的运算(6年9考) 命题点 6 答题规范 得分要点 13. ［2025山西16(1)题］计算： |－|×6－32＋(－8＋4). 解：原式 = ×6－9＋(－4)(3分) =3－9＋(－4)(4分) =－10.(5分) 分别化简每一项，去绝对值时注意绝对值内式子的正负 根据运算法则从左到右依次进行计算 计算结果要化为最简 15. ［2021山西16(1)题］计算：(－1)4×|－8|＋(－2)3×()2. 解：原式=1×8＋(－8)×(3分) =8＋(－2)(4分) =6.(5分) 14. ［2023山西16(1)题］计算：|－8|×(－)2－(－3＋5)×2－1. 解：原式=8×－2×(3分) =2－1(4分) =1.(5分) $