专题09二元一次方程组应用寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题09二元一次方程组应用寒假预习讲义 1.解锁二元一次方程组的“实战价值”，快速识别和差倍分、行程、利润等高频应用场景，搞定实际问题的“题型密码”。 2.掌握“审题-设元-找等量-列方程-求解-检验”全流程技巧，轻松把文字描述转化为数学方程组，实现从“会解方程”到“会用方程”的跨越。 3.养成“解后检验”的严谨习惯，能判断答案是否符合实际意义，逐步搭建数学建模思维，提升逻辑解题能力。 4.通过寒假预习攻克基础应用题，提前扫清课堂障碍，积累自主学习经验，为新学期高效听课、稳步提分筑牢根基 预习必备 知识点梳理 1.解题核心前提 2.解题通用步骤 3.高频题型+核心等量关系 4.关键方法:设未知数的技巧 常考题型 精讲精炼 1.由实际问题列二元一次方程组 2.由几何图形列二元一次方程组 3.二元一次方程组应用:方案问题 4.二元一次方程组应用:行程问题 5.二元一次方程组应用:工程问题 6.二元一次方程组应用:数字问题 7.二元一次方程组应用:年龄问题 8.二元一次方程组应用:分配问题 9.二元一次方程组应用:销售问题 10.二元一次方程组应用:和差倍分 11.二元一次方程组应用:几何问题 12.二元一次方程组应用:图表信息 13.二元一次方程组应用:古代问题 .14.二元一次方程组应用:其他问题 强化巩固 题型通关 单选题(6题) 填空题(6题) 解答题(6题) 【知识点01.解题核心前提】 核心基础：列二元一次方程组解应用题的核心依据 当实际问题中存在两个未知量，且能找到两个等量关系时，无法用一元一次方程便捷求解，可通过设两个未知数，列二元一次方程组解决，这是解此类应用题的核心思路，也是二元一次方程组的核心实际应用价值。 【知识点02.解题通用步骤】 解题六步（核心流程） 审→设→列→解→验→答 1.审：找两个等量关系（显性 / 隐性）； 2.设：设两个未知数（标单位，直接 / 间接设元）； 3.列：据等量关系列二元一次方程组（单位统一）； 4.解：用代入 / 加减消元法解方程组； 5.验：①符合方程组 ②符合实际意义（正整数 / 正数等）； 6.答：完整作答，标清单位。 【知识点03.高频题型+核心等量关系】 1.和差倍分：·和:甲 + 乙 = 总量 ·差:大量 - 小量 = 差量（或 大量 = 小量 + 差量） ·倍:甲 = 乙 × 倍数 ·和倍 / 差倍：甲 = 乙 × 倍数 ± 具体数（多就加，少就减） 2.配套问题：配套物品数量成固定比例（交叉相等，如 1 桌配 4 腿→桌数 ×4 = 腿数）； 3.行程问题：路程 = 速度 × 时间 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程； 追及：快路程 - 慢路程 = 初始路程差； 行船：顺水 = 静水 + 水流，逆水 = 静水 - 水流； 4.工程问题：工作总量 = 效率 × 时间（无总量设为 1），甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量； 5.购物计费：总价=单价×数量，两种物品总价和 = 总花费/数量和 = 总数量； 6.数字问题：两位数 = 10× 十位 + 个位，据数字和 / 位置交换后的差列关系。 【知识点04.关键方法:设未知数的技巧】 1.直接设元法：求什么设什么，适用于等量关系直接、未知量与所求量一一对应的题型，如和差倍分、购物问题，是最基础、最常用的方法； 2.间接设元法：当直接设未知数会导致等量关系复杂、方程难解时，设与所求量相关的量为未知数，求出后再通过计算得到所求量，适用于数字问题、配套问题等； 【题型1.由实际问题列二元一次方程组】 【典例】端午节是中国首个入选世界非物质文化遗产的节日，许多国家和地区都有庆贺端午节的活动．临近端午节，某公司准备购买两种礼盒给员工发放，已知购买2件种礼盒与5件种礼盒共需200元，购买1件种礼盒比购买1件种礼盒少花5元．设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，根据购买2件种礼盒与5件种礼盒共需200元，购买1件种礼盒比购买1件种礼盒少花5元，再建立方程组即可． 【详解】解：设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，则 ． 故答案为： 【跟踪专练1】某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)65名 (2)见解析 【分析】（1）由题意可以列出二元一次方程组求解； （2）由题意列出关于、的二元一次方程，然后根据、都是非负整数可以得到解答． 【详解】（1）解：设1辆小客车能坐名学生，1辆大客车能坐名学生， 根据题意，得解得则． 答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生． （2）解：由题意，得，所以． ，为非负整数， ∴或或 ∴租车方案有三种： 方案一：租用小客车20辆； 方案二：租用小客车11辆，大客车4辆； 方案三：租用小客车2辆，大客车8辆． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，由题意正确列出二元一次方程（组）并求解是解题关键． 【跟踪专练2】如图，10块形状、大小相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意可列方程组为（    ） A． . B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为（x＋2y）厘米，宽又是40厘米，故x＋2y＝40，矩的长可以表示为2x，或x＋3y，故2x＝3y＋x，整理得x＝3y，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，看懂图示，分别表示出长方形的长和宽是解本题的关键． 【题型2.由几何图形列二元一次方程组】 【典例】将7个全等的小长方形按如图方式摆放拼成一个大长方形，且．设小长方形的长为，宽为，依题意列二元一次方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形，数形结合即可列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意，结合图形可得， 故选：D． 【点睛】本题考查列方程组解决实际问题，读懂题意，数形结合表示大长方形的长与宽是解决问题的关键． 【跟踪专练1】你喜欢足球运动吗？足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成．如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．设一个球上有白色皮块块、黑色为块，求白色皮块和黑色皮块分别为多少块？由此列出的方程组可以为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系．设设一个球上有白色皮块块、黑色为块，根据“足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成”与“黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形”列方程组即可． 【详解】解：设一个球上有白色皮块块、黑色为块， ∵每块白色皮块有六条边，共条边，且每块白色皮块有条边与黑色皮块的边连在一起， ∴黑色皮块共有条边与白色皮块相连接， ∵所有黑色皮块的边数为， ∴可列式为． 故答案为：． 【跟踪专练2】.把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 【题型3.二元一次方程组应用:方案问题】 【典例】某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元． (1)A、B两种奖品每件各多少元? (2)学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？ 【答案】(1)A种奖品16元/件，B种奖品4元/件 (2)188元 【分析】（1）由题意可知两条等量关系分别为：6×A奖品价格+1×B奖品价格=100，5×A奖品价格+2×B奖品价格=88，根据等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）根据：总价=单价×数量，分别求出A，B两种奖品的总价，相加即可． 【详解】（1）解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件， 由题意可列方程： ， 由①得：， 将③代入②中得：， 解得：， 答：A种奖品16元/件，B种奖品4元/件． （2）由题意得：（元）， 答：总费用为188元． 【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，能够根据题意列出等量关系是解题的关键． 【跟踪专练1】利用二元一次方程组解应用题 某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 【答案】A种车型有45个座位，B种车型有60个座位 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，然后根据租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位列出方程组求解即可． 【详解】解：设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位， 由题意得，， 解得， ∴A种车型有45个座位，B种车型有60个座位， 答：A种车型有45个座位，B种车型有60个座位． 【跟踪专练2】当下，人工智能技术飞速发展，正推动生产方式向智能化、高效化转变，某制造厂采用了，两种型号喷涂机器人进行电子设备的表面喷涂，提高效率的同时也能够降低对环境的污染．已知1台型机器人和2台型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台型机器人和3台型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂． (1)求每台，型机器人每小时分别完成多少个电子设备的表面喷涂． (2)由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署30台机器人．若要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台型机器人？ 【答案】(1)型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂； (2)该工厂同一时间内至少需要部署18台型机器人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署台型机器人，则需要部署台型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成个电子设备的表面喷涂，由题意得： ，解得：， 答：型机器人每小时完成20个电子设备的表面喷涂，型机器人每小时完成16个电子设备的表面喷涂； （2）解：设该工厂同一时间内需要部署台型机器人，则需要部署台型机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为18， 答：该工厂同一时间内至少需要部署18台型机器人． 【题型4.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】列方程组解应用题： 甲、乙两人相距6km，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可追上乙．两人的平均速度各是多少？ 【答案】甲的速度是4千米/时，乙的速度是2千米/时 【分析】设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，根据甲乙两人相距6千米，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行甲3小时可追上乙，可列方程组求解． 【详解】解：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时， ，解得：， 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是2千米/时． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． 【跟踪专练1】连接两地的高速公路全长为420km，一辆小汽车和一辆客车分别从，两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶了70km。为了求出小汽车、客车的平均速度，请你列出相应的方程组． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准数量关系列方程组是解题的关键． 设小汽车的平均速度为，客车的平均速度为，根据数量关系列方程即可． 【详解】解：设小汽车的平均速度为，客车的平均速度为． 根据题意，得 【跟踪专练2】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【题型5.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】列方程组解应用题：某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%求，该车间10月份计划加工甲、乙零件各多少个？ 【答案】该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个． 【分析】根据等量关系,甲加工的数量加上乙加工的数量等于总量列出方程组即可; 【详解】解:设该车间10月份计划加工甲、乙零件各x个,y个,由题意得: 解得 答: 该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据等量关系列出方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 【答案】原计划甲工厂每天加工，乙工厂每天加工． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目已知条件将二元一次方程列出并求解是解决本题的关键． 先设出甲乙加工的千克数，根据甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成可列第一个方程，再由已知条件可列第二个方程，根据二元一次方程组的求法求解即可． 【详解】解：设甲工厂原计划每天加工，乙工厂原计划每天施工， 因为甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成， 所以， 又因为甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了， 所以， 即，解得：， 答：原计划甲工厂每天加工180kg，乙工厂每天加工． 【跟踪专练2】某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【题型6.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，求原来的两个加数． 【答案】和 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是根据题意找出等量关系． 设其中一个加数为，另一个加数为，根据两种情况进行列出方程组，求解即可． 【详解】解：设其中一个加数为，另一个加数为，根据题意得， 解得 所以原来的两个加数分别为和． 【跟踪专练1】有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 【跟踪专练2】“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． (1)笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ (2)面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 【答案】(1)甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． （1）设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题，根据甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，即可列出二元一次方程组，即可解答． （2）根据题意，求出乙同学的总得分，即可解答． 【详解】（1）解：设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题． 根据题意，得， 解得， ． 答：甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题． （2）根据题意，乙同学答对了23道题，答错了2道题． 他的总得分． 因为乙同学的总得分为90， 所以，乙同学能被评为“消防安全小达人”． 【题型7.二元一次方程组应用:年龄问题】 【典例】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 【跟踪专练1】小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 【跟踪专练2】在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 【题型8.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？ 【答案】恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设需要甲型钢板块，乙型钢板块， 根据题意，得， 解得 答：恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块． 【跟踪专练1】如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【答案】用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设用木料做桌面，木料做桌腿，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设用木料做桌面，木料做桌腿，由题意，得： 解得． （张）． 答：用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌． 【跟踪专练2】根据题意列方程组： (1)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，篮球的单价和足球的单价各是多少元？ (2)将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ 【答案】(1)篮球的单价为50元，足球的单价为47元 (2)有310本图书、45名学生 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系，列出方程组． （1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据花费的钱数和球的数量关系，列出方程组进行求解即可； （2）设有x本图书、y名学生，根据两种分书的方式，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意得， 解得， ∴篮球的单价为50元，足球的单价为47元； （2）解：设有x本图书、y名学生，根据题意得， 解得 ∴有310本图书、45名学生． 【题型9.二元一次方程组应用:销售利润问题】 【典例】邮购某种期刊，数量不超过100册需另加购书总价的的邮费；数量为100册及以上免收邮费，另外购书总价还优惠．已知这种期刊每册定价为5元，某单位两次共邮购200册（第一次邮购不满100册，第二次邮购超过100册），总计960元．问该单位两次各邮购多少册？ 【答案】该单位两次邮购期刊的册数分别是60册和140册 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是明白列方程的依据：第一次邮购费用第二次邮购费用总邮购费用． 设第一次邮购册，则费用为；则第二次邮购册，费用为；根据总费用为960元及共购200册可得出方程组，解出即可． 【详解】解：设该单位第一次邮购册，第二次邮购册， 由题意得：， 解得：． 答：该单位两次邮购期刊的册数分别是60册和140册． 【跟踪专练1】某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 【跟踪专练2】打折前，在某商场买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元．该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元． (1)没打折时，一件A商品，一件B商品分别多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ (3)做活动时买件A商品和件B商品，比不做活动时少花多少钱？ 【答案】(1)一件A商品16元，一件B商品4元 (2)折 (3)少花元 【分析】本题综合运用了二元一次方程组建模、解方程、折扣计算等知识点，关键在于准确列出等量关系，并理解“打折”是整体价格按比例减少的概念，适用于任意数量商品的统一折扣．本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及折扣问题的计算． （1）设没打折时，一件A商品元，一件B商品元，根据“买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元”列方程组求解即可； （2）设做活动时，商场商品打折，根据“该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元”列一元一次方程求解即可； （3）分别计算出不打折时总价和打折后总价，再求解即可． 【详解】（1）解：设没打折时，一件A商品元，一件B商品元， 由题意，得， 解得． 答：没打折时，一件A商品16元，一件B商品4元． （2）解：设做活动时，商场商品打折，由题意，得， 解得． 答：做活动时，商场商品打折． （3）解：不打折时总价为：（元）， 打折后总价为：（元）， 比不做活动时少花：（元）． 答：做活动时买100件A商品和100件B商品，比不做活动时少花80元钱． 【题型10.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【跟踪专练1】某学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，购买1个足球和1个篮球共需150元，3个足球的价格等于2个篮球的价格． (1)求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1570元，学校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)足球的单价是元，篮球的单价是元 (2)12 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，与题目紧密结合是解题的关键． （1）根据题目中的等量关系列出方程求解足球和篮球的单价． （2）根据总费用的限制条件列出不等式求解最多可购买篮球的数量． 【详解】（1）解：设足球单价为元，篮球单价为元． 根据题意，得：． 解得， 所以足球的单价是元，篮球的单价是元． （2）设购买篮球个，则购买足球个． 总费用为：． 解得， 故的最大整数值为． 所以学校最多可以购买个篮球． 【跟踪专练2】某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【答案】每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨，根据1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨． 【题型11.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】列方程或方程组解应用题． 如图①，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图②所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），分别求一块八边形地砖和一块黑色正方形地砖的面积． 【答案】一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键． 设一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖面积为，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖面积为， 根据题意得，， 解得：． 答：一块八边形地砖的面积为，黑色正方形地砖的面积为． 【跟踪专练1】分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【答案】小长方形的长为，宽为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，观察图①、图②，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得 解得 答：小长方形的长为，宽为． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（阴影部分），若，求出图中空白部分的总面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得：， 解得：， 每个小长方形的面积为， 空白部分的总面积． 【题型12.二元一次方程组应用:图标信息问题】 【典例】今年“五一”期间，桐柏水帘洞火爆桐柏，打卡次数之多，位居桐柏首位，实现了416万左右的收入．某游客购买了三种桐柏特色商品，因不小心污染了相关信息，导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 商品名称 单价（元） 数量（袋/件） 金额（元） 桐柏山板栗 15 桐柏豆筋 40 乐神康 a 2 90 合计 5 185 (1)某游客购桐柏山板栗，桐柏豆筋各几袋？ (2)某游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共多少钱？ 【答案】(1)购买桐柏山板栗1袋，购买桐柏豆筋2袋 (2)游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共340元 【分析】（1）设购买桐柏山板栗袋，购买桐柏豆筋袋，根据题意联立二元一次方程组并解方程组即可求解． （2）利用，即可求解． 【详解】（1）解：设购买桐柏山板栗袋，购买桐柏豆筋袋， 由题意得：， 解得：， 答：购买桐柏山板栗1袋，购买桐柏豆筋2袋． （2）（元）， 答：游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共340元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列出二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，各应取什么值？ 3 2 【答案】x的取值为，y的取值为1 【分析】本题主要考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 即x的取值为，y的取值为1． 【跟踪专练2】某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设购买钢笔支，笔记本本，根据钢笔的数量笔记本的数量篮球的数量，购买钢笔的金额购买笔记本的金额购买篮球的金额，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：设购买钢笔支，笔记本本． 依题意得 解得 当时，（元） 当时，（元） 答：购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 【题型13.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】马四匹牛六头共价白银48两，马三匹牛五头共价白银38两．每匹马，每头牛各价值多少两白银？ 【答案】每匹马价值两白银，每头牛价值两白银 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（古代问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程组是解题的关键． 设每匹马价值两白银，每头牛价值两白银，依题意得，解方程组即可求出、的值． 【详解】解：设每匹马价值两白银，每头牛价值两白银， 依题意得： ， 解得：， 答：每匹马价值两白银，每头牛价值两白银． 【跟踪专练1】我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 【答案】每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，根据一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程，根据每尺罗布比绫布便宜文，可列方程，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱． 【详解】解：设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 根据题意得：， 解得：， 答：每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文. 【跟踪专练2】《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【详解】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 【题型14.二元一次方程组应用:其他问题】 【典例】共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 【答案】大箱：24，小箱：10 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水，根据题意列出方程组并求解即可得到答案． 【详解】解：设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水， 依题意得， 解得． 答：大箱每箱装24瓶矿泉水，小箱每箱装10瓶矿泉水． 【跟踪专练1】如图，现有两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本数学课本的厚度为_________，讲台的高度为_________； (2)当有本数学课本时，以同样方式叠放在讲台上，高出地面的高度为_________（用含的代数式表示）． 【答案】(1)每本数学课本厚度为，讲台高度为 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，理解题意是解此题的关键． （1）设每本课本厚度为，讲台高度为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据总高度讲台高度课本总厚度即可得解． 【详解】（1）解：设每本课本厚度为，讲台高度为， 由图可知：， 解得：， 答：每本数学课本厚度为，讲台高度为； （2）解：∵总高度讲台高度课本总厚度， ∴． 【跟踪专练2】某校在体育商城三次购买某种型号足球与篮球若干，购买数量与价格如表所示，其中第三次购买时巧遇商城做促销活动，该种型号的足球与篮球都打n折销售． 购物次数 足球数量 篮球数量 购买总费用/元 第一次 8 6 1240 第二次 5 7 1100 第三次 10 12 1200 (1)分别求该种型号的足球与篮球的标价． (2)求n的值． (3)若该校第四次购买该种型号足球与篮球（足球，篮球都要有），且折扣与第三次购买时相同，共花去960元，则该校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)该种型号的足球、篮球的标价分别为80元、100元 (2)n的值是6 (3)有三种购买方案，即购买足球5个，篮球12个或购买足球10个，篮球8个或购买足球15个，篮球4个 【分析】此题重点考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，正确地用代数式表示购买足球所需要的钱数与购买篮球所需要的钱数是解题的关键． （1）设该种型号的足球、篮球的标价分别为x元、y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可； （2）按打n折计算，根据题意列方程列方程，解方程求出n的值即可； （3）设第四次购买a个足球、b个篮球，根据题意得，由a、b都是正整数，求出方程的解即可得出购买足球和篮球的个数，确定出购买方案． 【详解】（1）解：设该种型号的足球、篮球的标价分别为x元、y元， 根据题意得， 解得， 答：该种型号的足球、篮球的标价分别为80元、100元； （2）解：根据题意得， 解得， 答：n的值是6； （3）解：设第四次购买a个足球、b个篮球， 根据题意得，即， 整理得， ∵a、b都是正整数， ∴或或， 答：有三种购买方案，即购买足球5个，篮球12个或购买足球10个，篮球8个或购买足球15个，篮球4个． 单选题 1．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 2．甲、乙两港口相距100 km，若一艘轮船往返两港口，顺流航行用4 h，逆流航行用5 h，则这艘轮船在静水中的速度是（    ） A．2.5  km/h B．22.5  km/h C．4.5  km/h D．20.5  km/h 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设轮船在静水中的速度为 km/h，水流速度为 km/h，根据顺流和逆流的速度与时间关系列方程组求解. 【详解】解：设轮船在静水中的速度为 km/h，水流速度为 km/h， 由题意得： 解得： 因此，轮船在静水中的速度为 ． 故选：B． 3．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 4．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 5．将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵将个数填入幻方的空格中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为：或， 最右下角的数为：或， 依题意得：， 解得：， ∴与的和为， 故选：D． 6．实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（   ） A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的解，建立方程分析正整数解是解题的关键．设购买种图书本，种图书本，根据共购买A、B两种图书480元列方程，求二元一次方程的正整数解即可求解． 【详解】解：设购买种图书本，种图书本，根据题意，得 , ， 为正整数， ，且为偶数， 解得， ，即， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有9种购买方案． 故选：C． 填空题 7．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．则买“哪吒”和“敖丙”各一个手办共 元． 【答案】220 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 根据“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元以及购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元，列出二元一次方程组，再解出的值，即可作答． 【详解】解：设“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元， ∵“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元， 即： ∵ 购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元， ∴， 将以上两个方程联立，得到方程组： ． 得， ∴“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元． 则买“哪吒”“敖丙”各一个手办共（元）， 故答案为：220． 8．某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有 名同学，捐款50元的有 名同学． 【答案】 10 12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y，根据总人数为40和总捐款为2000元，列出方程组并求解． 【详解】解：设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y， 由题意，捐款20元的有10人，捐款100元的有8人，则捐款40元和50元的人数为人，即； 总捐款方程为，化简得， 解方程组得， ∴捐款40元的有10名同学，捐款50元的有12名同学， 故答案为：10，12． 9．古代《张丘建算经》中有一个问题，意思是：甲、乙两人各有钱若干，如果甲得到乙的10个钱，那么甲所有的钱就比乙所剩的多4倍；如果乙得到甲的10个钱，那么两人所有的钱相等，甲原有钱 个 【答案】40 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，根据题意列出方程组是解题关键． 设甲有钱个，乙有钱个，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲有钱个，乙有钱个． 根据题意得， 解得． 故答案为：40． 10．有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若树下一只鸽子飞上树，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子一样多．树上有 只鸽子，树下有 只鸽子． 【答案】 7 5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键； 设树上有 只鸽子，树下有 只鸽子，根据题意找等量关系解出方程组即可． 【详解】解：设树上有 只鸽子，树下有 只鸽子． 由题意可得， 化简②，得，即， 代入方程①，得 整理，得 两边乘以得 去括号，得 移项，得 整理，得 则 故原方程组的解为 ∴树上原有只鸽子，树下原有只鸽子． 故答案为：，． 11．如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是 ． 2 1 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：∵在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等， ∴， 解得：， 故表格中的值是， 故答案为：． 12．如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据图中所示，则图中阴影部分的面积为 （平方单位）． 【答案】18 【分析】本题考查二元一次方程的应用，设小长方形的长为a，宽为b，根据图示列方程组，求出a，b的值，进而求出小长方形的面积、大长方形的面积，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图可知， 解得， 小长方形的面积为：， 大长方形的长为9，宽为：， 图中阴影部分的面积为：， 故答案为：18． 解答题 13．中国-中亚峰会在西安成功举办，是千年古都的光荣使命、千万市民的骄傲与自豪．某校开展了以“美丽西安，我为家乡代言”为主题的演讲活动，计划拿出2000元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件100元，问该校共有多少种购买方案？ 【答案】该校共有3种购买方案：①购买6件甲种奖品，5件乙种奖品；②购买4件甲种奖品，10件乙种奖品；③购买2件甲种奖品，15件乙种奖品 【分析】设该校购买件甲种奖品，件乙种奖品，列出二元一次方程，求方程的整数解即可得到方案． 本题考查了二元一次方程的应用，正确求得方程的整数解是解题的关键． 【详解】解：设该校购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， . 又，均为正整数， 或或 该校共有3种购买方案： ①购买6件甲种奖品，5件乙种奖品； ②购买4件甲种奖品，10件乙种奖品； ③购买2件甲种奖品，15件乙种奖品． 14．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决． 15．小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 【答案】(1)小贵每小时走，小港每小时走 (2)后两人相距 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走， 依题意，得：， 解得：； 答：小贵每小时走，小港每小时走． （2）解：， 答：后两人相距． 16．重庆赛力斯公司生产的问界和问界两款新能源汽车深受消费者的欢迎，该公司生产汽车零部件的甲车间有工人50名，乙车间有工人60名，因接到加急生产一批新能源汽车的任务，所以该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数比分配后乙车间的总人数多10人．设新分配到甲车间的人数是人，新分配到乙车间的人数是人． (1)完成下列表格填空： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 分配后现有人数 ________ ________ 根据题中的数量关系有：________； (2)求新分配到甲车间、乙车间的人数各有多少人？ 【答案】(1)见解析，40 (2)新分配到甲车间的有30人，新分配到乙车间的有10人 【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是理解题意，找出等量关系． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）找出等量关系，列出二元一次方程组，并进行求解即可． 【详解】（1）解：完成表格如下： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 分配后现有人数 ∵该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间， ∴； （2）解：根据题意得，， 解方程得 答：新分配到甲车间的有人，新分配到乙车间的有人． 17．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)一共有3种填法；填写见解析 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． 18．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09二元一次方程组应用寒假预习讲义 1.解锁二元一次方程组的“实战价值”，快速识别和差倍分、行程、利润等高频应用场景，搞定实际问题的“题型密码”。 2.掌握“审题-设元-找等量-列方程-求解-检验”全流程技巧，轻松把文字描述转化为数学方程组，实现从“会解方程”到“会用方程”的跨越。 3.养成“解后检验”的严谨习惯，能判断答案是否符合实际意义，逐步搭建数学建模思维，提升逻辑解题能力。 4.通过寒假预习攻克基础应用题，提前扫清课堂障碍，积累自主学习经验，为新学期高效听课、稳步提分筑牢根基 预习必备 知识点梳理 1.解题核心前提 2.解题通用步骤 3.高频题型+核心等量关系 4.关键方法:设未知数的技巧 常考题型 精讲精炼 1.由实际问题列二元一次方程组 2.由几何图形列二元一次方程组 3.二元一次方程组应用:方案问题 4.二元一次方程组应用:行程问题 5.二元一次方程组应用:工程问题 6.二元一次方程组应用:数字问题 7.二元一次方程组应用:年龄问题 8.二元一次方程组应用:分配问题 9.二元一次方程组应用:销售问题 10.二元一次方程组应用:和差倍分 11.二元一次方程组应用:几何问题 12.二元一次方程组应用:图表信息 13.二元一次方程组应用:古代问题 .14.二元一次方程组应用:其他问题 强化巩固 题型通关 单选题(6题) 填空题(6题) 解答题(6题) 【知识点01.解题核心前提】 核心基础：列二元一次方程组解应用题的核心依据 当实际问题中存在两个未知量，且能找到两个等量关系时，无法用一元一次方程便捷求解，可通过设两个未知数，列二元一次方程组解决，这是解此类应用题的核心思路，也是二元一次方程组的核心实际应用价值。 【知识点02.解题通用步骤】 解题六步（核心流程） 审→设→列→解→验→答 1.审：找两个等量关系（显性 / 隐性）； 2.设：设两个未知数（标单位，直接 / 间接设元）； 3.列：据等量关系列二元一次方程组（单位统一）； 4.解：用代入 / 加减消元法解方程组； 5.验：①符合方程组 ②符合实际意义（正整数 / 正数等）； 6.答：完整作答，标清单位。 【知识点03.高频题型+核心等量关系】 1.和差倍分：·和:甲 + 乙 = 总量 ·差:大量 - 小量 = 差量（或 大量 = 小量 + 差量） ·倍:甲 = 乙 × 倍数 ·和倍 / 差倍：甲 = 乙 × 倍数 ± 具体数（多就加，少就减） 2.配套问题：配套物品数量成固定比例（交叉相等，如 1 桌配 4 腿→桌数 ×4 = 腿数）； 3.行程问题：路程 = 速度 × 时间 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程； 追及：快路程 - 慢路程 = 初始路程差； 行船：顺水 = 静水 + 水流，逆水 = 静水 - 水流； 4.工程问题：工作总量 = 效率 × 时间（无总量设为 1），甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量； 5.购物计费：总价=单价×数量，两种物品总价和 = 总花费/数量和 = 总数量； 6.数字问题：两位数 = 10× 十位 + 个位，据数字和 / 位置交换后的差列关系。 【知识点04.关键方法:设未知数的技巧】 1.直接设元法：求什么设什么，适用于等量关系直接、未知量与所求量一一对应的题型，如和差倍分、购物问题，是最基础、最常用的方法； 2.间接设元法：当直接设未知数会导致等量关系复杂、方程难解时，设与所求量相关的量为未知数，求出后再通过计算得到所求量，适用于数字问题、配套问题等； 【题型1.由实际问题列二元一次方程组】 【典例】端午节是中国首个入选世界非物质文化遗产的节日，许多国家和地区都有庆贺端午节的活动．临近端午节，某公司准备购买两种礼盒给员工发放，已知购买2件种礼盒与5件种礼盒共需200元，购买1件种礼盒比购买1件种礼盒少花5元．设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，则可列方程组为 ． 【跟踪专练1】某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【跟踪专练2】如图，10块形状、大小相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意可列方程组为（    ） A． . B． C． D． 【题型2.由几何图形列二元一次方程组】 【典例】将7个全等的小长方形按如图方式摆放拼成一个大长方形，且．设小长方形的长为，宽为，依题意列二元一次方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】你喜欢足球运动吗？足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成．如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．设一个球上有白色皮块块、黑色为块，求白色皮块和黑色皮块分别为多少块？由此列出的方程组可以为 ． 【跟踪专练2】.把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【题型3.二元一次方程组应用:方案问题】 【典例】某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元． (1)A、B两种奖品每件各多少元? (2)学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？ 【跟踪专练1】利用二元一次方程组解应用题 某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？ 【跟踪专练2】当下，人工智能技术飞速发展，正推动生产方式向智能化、高效化转变，某制造厂采用了，两种型号喷涂机器人进行电子设备的表面喷涂，提高效率的同时也能够降低对环境的污染．已知1台型机器人和2台型机器人同时工作1小时可完成52个电子设备的表面喷涂，2台型机器人和3台型机器人同时工作1小时可完成88个电子设备的表面喷涂． (1)求每台，型机器人每小时分别完成多少个电子设备的表面喷涂． (2)由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署30台机器人．若要确保每小时完成550个电子设备的表面喷涂，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台型机器人？ 【题型4.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】列方程组解应用题： 甲、乙两人相距6km，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可追上乙．两人的平均速度各是多少？ 【跟踪专练1】连接两地的高速公路全长为420km，一辆小汽车和一辆客车分别从，两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶了70km。为了求出小汽车、客车的平均速度，请你列出相应的方程组． 【跟踪专练2】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【题型5.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】列方程组解应用题：某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%求，该车间10月份计划加工甲、乙零件各多少个？ 【跟踪专练1】甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 【跟踪专练2】某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【题型6.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，求原来的两个加数． 【跟踪专练1】有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【跟踪专练2】“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． (1)笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ (2)面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 【题型7.二元一次方程组应用:年龄问题】 【典例】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【跟踪专练1】小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【跟踪专练2】在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【题型8.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？ 【跟踪专练1】如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【跟踪专练2】根据题意列方程组： (1)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，篮球的单价和足球的单价各是多少元？ (2)将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ 【题型9.二元一次方程组应用:销售利润问题】 【典例】邮购某种期刊，数量不超过100册需另加购书总价的的邮费；数量为100册及以上免收邮费，另外购书总价还优惠．已知这种期刊每册定价为5元，某单位两次共邮购200册（第一次邮购不满100册，第二次邮购超过100册），总计960元．问该单位两次各邮购多少册？ 【跟踪专练1】某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【跟踪专练2】打折前，在某商场买6件A商品和3件B商品共用元，买5件A商品和1件B商品共用元．该商场做活动打折后，买件A商品和件B商品共用元． (1)没打折时，一件A商品，一件B商品分别多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ (3)做活动时买件A商品和件B商品，比不做活动时少花多少钱？ 【题型10.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【跟踪专练1】某学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，购买1个足球和1个篮球共需150元，3个足球的价格等于2个篮球的价格． (1)求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1570元，学校最多可以购买多少个篮球？ 【跟踪专练2】某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【题型11.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】列方程或方程组解应用题． 如图①，正方形是一块边长为的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图②所示的图案，该图案的面积为（不考虑接缝），分别求一块八边形地砖和一块黑色正方形地砖的面积． 【跟踪专练1】分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ 【跟踪专练2】如图，在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（阴影部分），若，求出图中空白部分的总面积． 【题型12.二元一次方程组应用:图标信息问题】 【典例】今年“五一”期间，桐柏水帘洞火爆桐柏，打卡次数之多，位居桐柏首位，实现了416万左右的收入．某游客购买了三种桐柏特色商品，因不小心污染了相关信息，导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 商品名称 单价（元） 数量（袋/件） 金额（元） 桐柏山板栗 15 桐柏豆筋 40 乐神康 a 2 90 合计 5 185 (1)某游客购桐柏山板栗，桐柏豆筋各几袋？ (2)某游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共多少钱？ 【跟踪专练1】如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，各应取什么值？ 3 2 【跟踪专练2】某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【题型13.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】马四匹牛六头共价白银48两，马三匹牛五头共价白银38两．每匹马，每头牛各价值多少两白银？ 【跟踪专练1】我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 【跟踪专练2】《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【题型14.二元一次方程组应用:其他问题】 【典例】共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 【跟踪专练1】如图，现有两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本数学课本的厚度为_________，讲台的高度为_________； (2)当有本数学课本时，以同样方式叠放在讲台上，高出地面的高度为_________（用含的代数式表示）． 【跟踪专练2】某校在体育商城三次购买某种型号足球与篮球若干，购买数量与价格如表所示，其中第三次购买时巧遇商城做促销活动，该种型号的足球与篮球都打n折销售． 购物次数 足球数量 篮球数量 购买总费用/元 第一次 8 6 1240 第二次 5 7 1100 第三次 10 12 1200 (1)分别求该种型号的足球与篮球的标价． (2)求n的值． (3)若该校第四次购买该种型号足球与篮球（足球，篮球都要有），且折扣与第三次购买时相同，共花去960元，则该校有哪几种购买方案？ 单选题 1．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．甲、乙两港口相距100 km，若一艘轮船往返两港口，顺流航行用4 h，逆流航行用5 h，则这艘轮船在静水中的速度是（    ） A．2.5  km/h B．22.5  km/h C．4.5  km/h D．20.5  km/h 3．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 4．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 5．将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（   ） A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种 填空题 7．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．则买“哪吒”和“敖丙”各一个手办共 元． 8．某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有 名同学，捐款50元的有 名同学． 9．古代《张丘建算经》中有一个问题，意思是：甲、乙两人各有钱若干，如果甲得到乙的10个钱，那么甲所有的钱就比乙所剩的多4倍；如果乙得到甲的10个钱，那么两人所有的钱相等，甲原有钱 个 10．有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若树下一只鸽子飞上树，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子一样多．树上有 只鸽子，树下有 只鸽子． 11．如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是 ． 2 1 12．如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据图中所示，则图中阴影部分的面积为 （平方单位）． 解答题 13．中国-中亚峰会在西安成功举办，是千年古都的光荣使命、千万市民的骄傲与自豪．某校开展了以“美丽西安，我为家乡代言”为主题的演讲活动，计划拿出2000元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件100元，问该校共有多少种购买方案？ 14．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 15．小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 16．重庆赛力斯公司生产的问界和问界两款新能源汽车深受消费者的欢迎，该公司生产汽车零部件的甲车间有工人50名，乙车间有工人60名，因接到加急生产一批新能源汽车的任务，所以该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数比分配后乙车间的总人数多10人．设新分配到甲车间的人数是人，新分配到乙车间的人数是人． (1)完成下列表格填空： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 分配后现有人数 ________ ________ 根据题中的数量关系有：________； (2)求新分配到甲车间、乙车间的人数各有多少人？ 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 分配后现有人数 17．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 18．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $