山东省泰安市岱岳区2025-2026学年九年级第一学期期末学情调研模拟卷

山东省泰安市岱岳区2025-2026学年九年级第一学期 期末学情调研模拟卷 一、单选题（共48分） 1．（本题4分）若，两点在反比例函数的图象上，则下列正确的选项是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（本题4分）如图，点A，B，P在上，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 4．（本题4分）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A．B．C．D． 6．（本题4分）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 7．（本题4分）如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（本题4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 10．（本题4分）如图，在中，，，，是边上的中线，则的值是（   ） A． B． C． D． 11．（本题4分）下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（本题4分）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，的切线交的延长线于点．若，，则的长是（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题（共24分） 13．（本题4分）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是 ． 14．（本题4分）如图，经过等腰三边的中点、、，并与两腰、分别相交于点、，若，则 ． 15．（本题4分）如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度 ． 16．（本题4分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 17．（本题4分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 1 2 … … 0 4 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号） ①抛物线的对称轴是直线； ②抛物线一定经过点； ③在对称轴左侧，随增大而减小； ④若、两点在此抛物线上，则． 18．（本题4分）如图，是的直径，是上一点，点是弧的中点，于点，交于点，已知，的半径为2，则的长为 ． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 20．（本题10分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． (1)求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ (3)当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 21．（本题11分）已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)观察图象，直接写出时x的取值范围； (3)求的面积． 22．（本题11分）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 23．（本题11分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是 　 　，圆心角β＝　 　度； (2)补全条形统计图； (3)已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ (4)若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率． 24．（本题12分）根据题中所给的素材，完成下面的任务． 换房间的灯泡 素材1 房间内的灯泡到地面的距离为． 素材2 现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板，地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，，设梯子一边与地面的夹角为，且可调节的范围为． 素材3 当时，电工站在梯子安全挡中最高一挡踏板上的最大触及高度为． 示意图    任务1 当时，求踏板离地面的高度．（精确到） 任务2 调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：，，，） 25．（本题13分）如图，在中，，平分交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限，增减性是解题的关键． 根据反比例函数的解析式得到反比例函数经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∴图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大， 当时，即时，，故A选项错误，不符合题意； 当时，即时，，故B选项正确，符合题意； 当时，，故C，D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 2．C 【分析】本题考查圆周角定理和平行线的性质．根据圆周角定理求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟练掌握抛物线的平移性质是解题的关键，根据抛物线的平移规律解答即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是， 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由图象得到系数的符号，再结合对称轴、抛物线最值以及抛物线上点的特征即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，故②正确； 抛物线对称轴为，且与负半轴交点的横坐标大于， 抛物线与正半轴交点的横坐标小于， 则当时，，故③正确； 当时，抛物线有最大值为；当时，抛物线， ，则，故④正确； ， ， 当时，，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，利用图象特征判断字母系数的符号是解题的关键． 根据每个选项中的图象特征，分别判断一次函数和二次函数中的符号，再对比是否一致即可得出答案． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故A选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故B选项不符合题意 C、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故D选项不符合题意； 故选：C． 9．B 【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，过点作于点H，利用三角形面积公式求出，再求出，由余弦的定义代入数据计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， 过点作于点H， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 11．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，）是解题的关键．根据反比例函数的定义（形式为或，），逐一判断各关系式是否符合该定义． 【详解】解：∵ 反比例函数需满足或（）， ∴ ①是正比例函数，不符合； ②即，是正比例函数，不符合； ③符合形式，是反比例函数； ④是一次函数，不符合； ⑤是二次函数，不符合； ⑥中的指数为，不符合反比例函数定义； ⑦即，符合形式，是反比例函数； ∴ 是反比例函数的有③⑦，共2个． 故选：C． 12．B 【分析】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，平行线的判定，解直角三角形的相关计算，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．连接，求出，得出，利用得出，再利用三角函数求出即可． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∵平分， ∵是的切线， 故选：B． 13． 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种， ∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为， 故答案为：． 14．/度 【分析】连接，证明四边形是菱形，进而可得，，根据，，求得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ∵等腰中，， ∴， ∵点、、分别为三边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是菱形，则 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中位线的性质，菱形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴两反比例解析式为，， 设B点坐标为， ∵轴， ∴A点的纵坐标为，， 把代入，得， ∴A点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∴线段的长度． 故答案为：． 16．/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出二次函数的解析式为，则其对称轴是直线，说法①错误；再根据对称性可得抛物线一定经过点，则说法②正确；根据增减性可得在对称轴左侧，随增大而增大，则说法③错误；根据对称性可得抛物线经过点，再根据二次函数的增减性可得说法④错误，由此即可得出答案． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴是直线，则说法①错误； 设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，则说法②正确； ∵抛物线中的， ∴在对称轴左侧，随增大而增大，则说法③错误； 由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等，即为， 又∵抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随增大而减小， ∵点，两点在此抛物线上，且， ∴，则说法④错误； 综上，说法中正确的是②， 故答案为：②． 18． 【分析】本题主要考查垂径定理的推论、等边三角形判定与含的直角三角形的性质，关键是通过弧中点推导垂直关系，结合中位线定理与角度关系，利用含的直角三角形的性质计算线段长度． 【详解】解：如图，连接，连接与交于点． ∵，的半径为， ∴，为等边三角形， ∴； ∵点是弧的中点， ∴， ∴，且为的中点． ∴是的中位线， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，，， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 19．(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； （3）解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 20．(1) (2) (3)当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据价格每提高1元，平均每天少销售3箱，列出一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于单箱利润乘以销量，列出二次函数关系式即可； （3）根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得：，即； （2）解：由题意得：； （3）解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵ ∴当=55元时，w的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元． 21．(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数交点问题； （1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式； （2）根据的横坐标，结合函数图象，写出一次函数在反比例函数的上方时的自变量取值范围，即可求解； （3）根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据可求得△AOB的面积． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 又∵在反比例函数的图象上， ∴， 又∵，是一次函数的上的点， ∴，解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：根据函数图象可得：时x的取值范围为或 （3）解：在中，令，则， ∴， ∴， ∴． 22．(1)25° (2)2 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用垂径定理和圆周角定理即可解决问题； （2）连接．证明是等边三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接． ，是的直径， ． ， ． ，， ， ． ． （2）如图，连接． ，． ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ，是的直径， ． 23．(1)50，144； (2)见解析 (3)480 (4) 【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题； （2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题； （3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）（1）本次调查的样本容量是： 10÷20%=50， 则圆心角β=360°×= 144°， 故答案为：50，144； （2）成绩优秀的人数为： 50-2-10-20=18(人)， 补全条形统计图如下： （3）1200×（人） 答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人； （4）画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为 【点睛】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．任务1：踏板离地面的高度约为 任务2：电工可以换下灯泡，理由见解析 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．任务1：在中，，，由即可求解；任务2：由题意可知：当时，最大， ，同时利用任务1中的结果即可得出结论． 【详解】解：任务1：在中，，， ， ， 答：踏板离地面的高度约为； 任务2：电工可以换下灯泡， 理由如下：由题意可知：当时，最大， 在中，， 则， ， 电工可以换下灯泡． 25．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、平行线的判定与性质、勾股定理的应用、矩形的判定与性质和垂径定理的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，由，则，再根据角平分线的定义得，从而有，证明进而即可求证； （2）连接交于点，连接，则可证明四边形都是矩形，设的半径为r，结合垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：连接交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， 在中，由， 可得， 解得， ∴的半径为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $