精品解析：广东省汕头市金平区私立广厦学校2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试题

2025-2026学年上学期九年级期末考试数学科试题 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 4. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 买一张中奖率为99%的彩票，结果中奖是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 6. 二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 7. 某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为．设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的切线，切点为A，连接、，交于点C，点D在上，连接、，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 9. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 10. 表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中 7 14 14 7 根据表中提供的信息，有以下四个判断： ①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 下列现象中属于旋转的有__________（填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 12. 在件同种产品中，有件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是______． 13. 密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 14. 写出一个以1和为根的一元二次方程是___________ 15. 如图，等边的边长为2，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为_______________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 某起重机厂四月份生产A型起重机25台,B型起重机若干台.从五月份起, A型起重机月增长率相同,B型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A型起重机是B型起重机的2倍,六月份A、 B型起重机共生产54台.求四月份生产B型起重机的台数和从五月份起A型起重机的月增长率. 17. 如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点E，此时测得．求CD的长． 18. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它们是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分． （1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是________； （2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知直线和双曲线，把直线向左平行移动5个单位． （1）求平移后所得的直线的函数解析式． （2）平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由． 20. 消防员在一款软件中进行模拟灭火．如图，为2米高的围墙，围墙内有一坡度为的斜坡，水流路线为抛物线的一部分，点为消防车出水口，出水口距离地面2米，距离围墙5米，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的解析式为（为常数）． （1）若水流恰好经过围墙的顶端，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求斜坡上水流点到围墙的距离； （3）着火点位于斜坡上，且点到点，的距离相等，设抛物线与轴交于点． ①若消防车向围墙前进了2米，水流刚好到达着火点，求的长； ②若消防车喷水的最大高度为米，为了保证灭火效果，喷水点需要到达上方4米的点，直接写出的最小值，并直接写出此时消防车向前移动的距离． 21. 如图，已知和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 五．解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图1，是的直径，弦于点E，G是上一点，，的延长线交于点F，作于点H． （1）求证：； （2）如图2，若，平分，则的值为 ； （3）猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出点A，C，D的坐标； （2）如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； （3）如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级期末考试数学科试题 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出m的值． 【详解】解：∵是的一个根， ∴代入得， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握解方程的方法． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称的定义，把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，结合题目中的图形逐个判断即可解答． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不合题意； D．不是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 3. 已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限，增减性是解题的关键．根据反比例函数的解析式得到反比例函数经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∴图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大， 当时，即时，，故A选项错误，不符合题意； 当，即时，，故B选项正确，符合题意； 当，即时，，故C选项错误，不符合题意； 当时，即时，，故D选项错误，不符合题意． 故选：B ． 4. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数． 5. 买一张中奖率为99%的彩票，结果中奖是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，随机事件是这件事可能发生也可能不发生；必然事件是这件事一定会发生；不可能事件是这件事一定不会发生．解决本题的关键是根据定义进行判断． 【详解】解：A选项：虽然中奖率为，但是还有的可能性不中奖，所以结果中奖不是必然事件，故A选项不符合题意； B选项：买一张中奖率为的彩票，结果中奖的可能性比较大，所以结果中奖不是不可能事件，故B选项不符合题意； C选项：买一张中奖率为的彩票，结果中奖是一件随机事件，故C选项符合题意； D选项：虽然中奖率为，但是还有的可能性不中奖，所以结果中奖是不确定性事件，故D选项不符合题意． 故选：C． 6. 二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位， 所得到的函数关系式是， 即， 故选A． 7. 某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为．设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为96平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：小道的宽为米， 种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形． 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如图，为的切线，切点为A，连接、，交于点C，点D在上，连接、，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理等知识，由切线的性质得，而，，，即可根据勾股定理求得． 【详解】解：∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 10. 表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中 7 14 14 7 根据表中提供的信息，有以下四个判断： ①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．依据题意，首先根据，其对应的函数值是先增大后减小，可得抛物线开口向下，所以；然后根据函数值是先增大后减小，可得；最后根据，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，所以，据此判断即可． 【详解】解：，其对应的函数值是先增大后减小， 抛物线开口向下， ，①符合题意； ， ，②符合题意； 根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意； ，， ， ，④符合题意． 综上，可得判断正确的是：①②④． 故选：C． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 下列现象中属于旋转的有__________（填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 12. 在件同种产品中，有件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单事件概率的计算，从中任意取出一件总共有种情况，其中是次品有种情况，用除以即可求解，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵从中任意取出一件总共有种情况，其中是次品有种情况， ∴他取出次品的可能性大小是， 故答案为：． 13. 密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 【答案】##1.5## 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵由表格数据可知，浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，． 故答案为：． 14. 写出一个以1和为根的一元二次方程是___________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，写出一个二次项系数为1的一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴写出一个以1和为根的一元二次方程可以是：； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查构造一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． 15. 如图，等边的边长为2，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正三角形的内切圆、等边三角形的性质、扇形面积等知识，由等边的边长为2可得扇形的面积为，等边的面积为，的面积为．即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵等边的边长为2， ∴， ∴等边的面积为，扇形的面积为，的半径为 ∴的面积为． 阴影部分的面积 故答案为： 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 某起重机厂四月份生产A型起重机25台,B型起重机若干台.从五月份起, A型起重机月增长率相同,B型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A型起重机是B型起重机的2倍,六月份A、 B型起重机共生产54台.求四月份生产B型起重机的台数和从五月份起A型起重机的月增长率. 【答案】四月份生产B型起重机12台,从五月份起A型起重机的月增长率为20% 【解析】 【分析】设四月份生产B型起重机x台,从五月份起A型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可. 【详解】解：设四月份生产B型起重机x台,从五月份起A型起重机的月增长率为y. 根据题意 ，可列方程组 解得：x=12,y=0.2 答：四月份生产B型起重机12台,从五月份起A型起重机的月增长率为20%. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系. 17. 如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点E，此时测得．求CD的长． 【答案】米 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求得的长，等于弦的长，即可得解． 【详解】解：∵直径米， （米）， ， ， ， ， ∴设，， ∴在中， ， 解得：， （米）． 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键． 18. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它们是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分． （1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是________； （2）若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式． （1）根据概率公式求解即可； （2）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【小问1详解】 ∵共有4本书， ∴从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是； 【小问2详解】 根据题意，列表如下： 第一本 第二本 《论语》 《孟子》 《大学》 《中庸》 《论语》 （《孟子》，《论语》） （《大学》，《论语》） （《中庸》，《论语》） 《孟子》 （《论语》，《孟子》） （《大学》，《孟子》） （《中庸》，《孟子》） 《大学》 （《论语》，《大学》） （《孟子》，《大学》） （《中庸》，《大学》） 《中庸》 （《论语》，《中庸》） （《孟子》，《中庸》） （《大学》，《中庸》） 由列表可知，从4本书中随机抽取2本（不放回），共有12种结果，并且每种结果出现的可能性相等， 其中抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》（设为事件）的结果有2种，分别是（《孟子》，《大学》）和（《大学》，《孟子》）， 所以抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知直线和双曲线，把直线向左平行移动5个单位． （1）求平移后所得的直线的函数解析式． （2）平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由． 【答案】（1） （2）相交，交点坐标为和 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，结合直线向左平行移动5个单位，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）所求解析式和反比例函数解析式联立方程组进而计算可得交点坐标． 【小问1详解】 解：由题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律， 直线为， 又直线向左平行移动5个单位， 平移后所得的直线的函数解析式为，即 【小问2详解】 解：由题意，结合（1）联立方程组， 整理得 解得：， 当，代入得， 当，代入得 ∴平移后所得的直线与已知双曲线相交,交点坐标为和 20. 消防员在一款软件中进行模拟灭火．如图，为2米高的围墙，围墙内有一坡度为的斜坡，水流路线为抛物线的一部分，点为消防车出水口，出水口距离地面2米，距离围墙5米，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的解析式为（为常数）． （1）若水流恰好经过围墙的顶端，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求斜坡上水流点到围墙的距离； （3）着火点位于斜坡上，且点到点，的距离相等，设抛物线与轴交于点． ①若消防车向围墙前进了2米，水流刚好到达着火点，求的长； ②若消防车喷水的最大高度为米，为了保证灭火效果，喷水点需要到达上方4米的点，直接写出的最小值，并直接写出此时消防车向前移动的距离． 【答案】（1） （2）米 （3）①米；②的最小值为5，消防车向前移动的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，正确利用二次函数的相关性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据坡度求得的解析式，即可解答； （3）①连接，过点作，垂足为，求得的坐标，设消防车出水口为，抛物线解析式为，代入求得解析式，即可解答； ②设消防车向前移动后的抛物线的解析式为，则可表示出，再连列方程即可求得与的关系式，利用根的判别式即可求得的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得点， 将代入中， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解： 如图，过点作轴的垂线，垂足为， ， 设点的坐标为，设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 令，解得（舍去）， ， 点到围墙的距离为：米； 【小问3详解】 解：①连接，过点作，垂足为， ， ，， ， ， ， ， 点， 设消防车出水口为，抛物线解析式为， 此时点在上， ， 解得， ， ， ， 米； ②的最小值为5，消防车向前移动的距离为：米， 由题意得，设消防车向前移动后的抛物线的解析式为， 当水流经过点时， 喷水的最大高度为， ， ， ， ， ， ， 的最小值为5， 当时，， 解得， ， 此时， 令， （舍去）， 此时喷水口， 消防车向前移动的距离为米． 21. 如图，已知和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：和都是等边三角形， ，，， ， ； （2） 证明：如图，连接，    由旋转得，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）， ， ， 四边形是平行四边形； 【解析】 【分析】考查等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）连接，先根据旋转的性质证明是等边三角形，再证明，得，由①得，得，即可证明四边形是平行四边形 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五．解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图1，是的直径，弦于点E，G是上一点，，的延长线交于点F，作于点H． （1）求证：； （2）如图2，若，平分，则的值为 ； （3）猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ， ∴， ∵弦于点E，是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）4 （3） 解：线段之间的数量关系为．理由： 如图，在的延长线上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵弦于点E，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义，可得，利用垂径定理可得，从而求得，等量代换即可求证； （2）根据角之间的相等关系，易求得，根据，求得，则，利用“”，易证，从而，即，易证，则相似比为，最后根据相似三角形的性质，即可求解； （3）在的延长线上截取，连接，利用“”，易证，得，从而得，利用等腰三角形的性质得，最后根据线段之间的关系，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵平分， ∴， ∴， ， 在中，， ∵平分，， ∴， ∴，， ∴是圆的直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则， 在和中， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：4； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，直角三角形的角对应的直角边是斜边的一半等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出点A，C，D的坐标； （2）如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； （3）如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）点P坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x，y轴的交点，分别令，时求出y和x的值，即可求得点A和点C的坐标，再将二次函数一般式化为顶点式后即可求得点D的坐标； （2）根据轴对称的性质，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时，周长为，根据两点之间线段最短，与x轴交点E使周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，由于点E在x轴上，令即可求得点E的坐标； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点P和点H的坐标，分情况讨论面积比，设直线与交于点M，求出点M的坐标，根据三角形面积公式分别表示出和的面积，分和两种情况，列出方程求解t，即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：由题意知，当时，， 解得：，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为， 当时，， ∴点C坐标为， ∵， ∴顶点D坐标为． 【小问2详解】 解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴当的周长最小时，点E坐标为． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P为直线上的动点，点H在抛物线上， ∴设点P坐标为， ∵轴， ∴设点H坐标为， 如图，设直线与交于点M，将代入得， ∴，， ①当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为； ②当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标，二次函数顶点坐标公式，轴对称的性质，一次函数解析式求解及三角形面积公式等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $