13.2.2三角形的中线、角平分线、高 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

数学 人教版（2024）八年级上册 §13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 三角形 第十三章 1.了解三角形的中线、角平分线、高的概念. 2.掌握三角形的中线、角平分线及高的有关结论.（重点） 3.掌握钝角三角形高的画法及进行有关的计算.（难点） 学习目标 复习引入 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 回顾：你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 量角器画法 三角板画法 如图所示，下面形状的房梁中，立柱与横梁有什么特殊关系? 斜梁 斜梁 立柱 横梁 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高。 三角形的高： 　　如图，在△ABC 中，AD⊥BC于D ， 点D是垂足，则AD是△ABC的边BC上的高， 此时： ∠ADB = ∠ADC = 90°． A B C D 分别画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，你能分别画出这三个三角形的三条高吗？ 分组讨论 A C B A C B A C B 分别画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，你能分别画出这三个三角形的三条高吗？ 分组讨论 A C B A C B A C B 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形的角平分线 探究 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? B C A 方法一： 新知探究 折纸：在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. B C A 方法二： 三角形的角平分线 探究 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? 新知探究 符号语言： 如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 1 2 A B C D 三角形的角平分线 ①AD是△ABC的角平分线， ②AD平分∠BAC，交BC于点D， ③∠1=∠2∠BAC. 新知探究 思考 用同样的方法，你能画出△ABC的另外两条角平分线吗？ 1 2 A B C D 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 三角形的角平分线 新知探究 例1 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误的是（ ） A. BD是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线 C. ∠3=∠ACB D. CE是△ABC的角平分线 D 三角形的角平分线 新知探究 在三角形中，连接一个 与它 的线段，叫做三角形的中线. 三角形的中线 概念： A B C D 顶点 对边的中点 15 三角形的中线 数学符号语言 ∵AD是△ABC的中线 ∴AD是△ABC的中线 反之，如图所示 三角形的中线定义 ∴BD=DC=½BC ∵BD=DC=½BC 性质 判定 16 三角形的中线 动手画一画 你能画出△ABC的另外两边上的中线吗？ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 E F 三角形的中线都在三角形的内部，且必交于一点. △ABC的重心 17 课堂小结 今天我们收获了哪些知识？ 1.你能分别描述三角形中的几种重要线段及其特点吗？ 2.你能说说什么是三角形的重心吗？ 18 三角形重要线段 高 锐角三角形的三条高交于同一点，都在三角形的内部. 直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形的三条高不相交于一点，三条高所在直线交于一点. 中线 角平分线 三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 三角形的三条角平分线交于同一点. 2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 1.下列各组图形中，哪一组图形中的AD是△ABC 的高( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D B D 3. 下列各组图形中，AD是△ABC的高的图形是（　　） 解析：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选 项符合． D 4.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.填空： （1）BE= = ； （2）∠BAD= = ； （3）∠AFB= =90°； （4）SΔABC= . CE BC ∠CAD ∠BAC ∠AFC BC•AF 5.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法哪些是正确的,哪些是错误的. ⌒ ⌒ A B C D E 1 2 F G H ①AD是△ABE的角平分线( ) ②BE是△ ABD边AD上的中线( ) ③BE是△ ABC边AC上的中线( ) ④CH是△ ACD边AD上的高( ) 三角形的高、中线与角平分线都是线段. × × × √ 6.如图，在△ ABC 中， BD 是角平分线，若∠ ABC ＝72°，则∠ ABD ＝ ⁠°. 36　 7. 如图，虚线部分是小刚作的辅助线，你认为线段 CD （　C　） C 8. 在△ABC 中，AB = 18，BC = 16，BD 是 AC 边上的中线，若△ABD 的周长为 41，那么△BCD 的周长是（ ） A. 39 B. 41 C. 43 D. 无法确定 A A. 是 AC 边上的高 B. 是 BC 边上的高 C. 是 AB 边上的高 D. 不是△ ABC 的高 9. 如图，已知△ABC. (1) CD 是△ABC 的高，则∠ADC＝ ＝90°， ∠BDC S△ABC＝ ； (2) CE 是△ABC 的中线，则AE＝ ＝ ， S△BCE＝S△BCE＝ S△ABC； BE AB （3）CF 是△ABC 的角平分线，则∠ACF＝∠ ＝ ∠ . BCF ACB 10.如图，已知 AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线. （1）作出△ ABD 的边 BD 上的高； 解：（1）如图， AE 即为所求. （2）若△ ABC 的面积为10，则△ ADC 的面积为 ⁠；1）如图， AE 即为 5　 （3）若△ ABD 的面积为6，且 BD 边上的高为3，求BC 的长. 解：（3）∵ AD 是△ ABC 的边BC 上的中线，△ ABD 的面积为6， ∴△ ABC 的面积为12. ∴ BC · AE ＝12. 由题可知 AE ＝3，∴ BC ＝8. 11. 如图，在△ABC 中，已知 D、E、F 分别为 BC、AD、CE 的中点，且 S△ABC = 12，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C A B C D E F S△ABD = S△ACD =S△ABC = 6 6 6 S△BDE = S△CDE =S△ABD = 3 3 3 S△BEF =S△BCE = 3 12.如图,在△ABC中,AE是角平分线,AD是高,∠C=40°,∠B=70°,DF⊥AE,垂足为F. (1)求∠CAE的度数. (2)求∠ADF的度数.   初中数学 解析    (1)∵∠C=40°,∠B=70°,∴∠BAC=70°, ∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE= ∠BAC=35°. (2)∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°, ∵∠C=40°,∴∠CAD=90°-∠C=50°, ∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°, ∵DF⊥AE,∴∠ADF=90°-∠DAE=75°. 初中数学 13.已知:△ABC中,AE平分∠BAC交BC于E,AD⊥BC于D. (1)如图①,若∠C=70°,∠B=30°,则∠DAE=　　　　    °. (2)如图②,F是AE上的任意一点,过点F作FG⊥BC于G,且∠B=40°,∠C=80°,求∠EFG的度数. (3)在(2)的条件下,若F点在AE的延长线上(如图③),其他条件不变,则∠EFG的大小会发生改变吗?说明理由. 初中数学 初中数学 解析    (1)20. 详解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°, ∵∠B=30°,∴∠BAD=90°-∠B=60°, ∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=80°,AE平分∠BAC, ∴∠BAE= ∠BAC=40°, ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°. (2)∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG, ∴∠EFG=∠EAD, 初中数学 ∵∠B=40°,∠C=80°, ∴∠BAC=180°-40°-80°=60°, ∵AE平分∠BAC,∴∠BAE= ∠BAC=30°, ∵AD⊥BC,∴∠BAD=90°-∠B=50°, ∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°,∴∠EFG=20°. (3)∠EFG的大小不变.理由如下: ∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠EAD, 由(2)可知∠EAD=20°,∴∠EFG=20°,大小不变. 初中数学 14. 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( 　 　) D 三角形任意一边上的高必须满足： (1) 过该边所对的顶点；(2) 垂足必须在该边或在该边的延长线上． 方法总结 15. 如图，在△ABC中，CD是中线,已知BC-AC=5 cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长. A D B C 解：∵ CD是△ABC的中线， ∴BD=AD . ∵BC-AC=5cm, ∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm. ∵△DBC的周长为25cm， ∴△ADC的周长为25-5=20（cm）. 16. 如图，是的中线，是的中点，连接，若 的面积为 40，则图中阴影部分的面积是( ) A A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 方法点拨：由是的中线可得 ， 再由是的中点可得 . 17. 如图，在直角三角形 中， ，点沿自点向点 运动 （点与点，不重合），作 于点，的延长线于点， 在点 的运动过程中， 的值( ) B A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 保持不变 D. 无法确定 方法点拨：根据题意得 的面积不变，点沿自点向点 运动时逐渐变小， 的值逐渐变大. 18.如图，点为直线外一动点，，连接， ，，分别是，的中点， 连接，交于点 ，当四边形的面积为5时，线段 的最小长度为_____. 6 解：如图，连接，过点 作于点 ， ， ∵ 𝐷，𝐸分别是𝐴𝐵，𝐵𝐶 的中点， ∴， ， ， ， ， ，. 又 垂线段最短，， 线段 的最小长度为6. $