13.2.2三角形的中线、角平分线、高 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 1. 了解三角形的中线、角平分线和高的定义及画法. 2. 通过画图、观察认识三角形的三条中线、三条角平分线和三条高分别交于一点. 学习目标 AB , AC , BC 如图，△ABC的三边分别为________________， 顶点A的对边是________，∠B的对边___________. BC AC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 D 1.三角形的高 3 D 1.三角形的高 概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作 ， 自 和 之间的 叫做三角形的高线，简称三角形的高. 垂线 顶点 垂足 线段 4 D 1.三角形的高 数学符号语言 ∵AD是△ABC的高 ∴AD⊥BC（∠BDA =90°) 【三角形的高定义】 反之，如上图所示 ∵AD⊥BC（∠BDA =90°) ∴AD是△ABC的高 5 1.三角形的高 ①锐角三角形，直角三角形，钝角三角形都有高线，三角形的三条高线所在直线相交于一点. ②锐角三角形的高线交于三角形的内部一点. 直角三角形高线交于直角顶点. 钝角三角形高线交于三角形外部一点. ③三角形的高是线段，而垂线是直线. .在下图中，正确画出中边上高的是（ ） 例1 7 D 发现 E F 三角形的三条高线所在的直线永远相交于一点吗？ A B C A B C D F E A B C D 直角△ABC中的高线 锐角△ABC中的高线 钝角△ABC中的高线 垂心 垂心 垂心 A B C D 符号语言： ∵AD是 △ ABC的角平分线   在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫作三角形的角平分线. 思考：三角形的角平分线和角的平分线有什么区别？ 三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线. 探究交流 2.三角形的角平分线： 请画出下列三角形的所有角平分线，仔细观察，你能得出有什么论？ 归纳： 1 、任意三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且交于一点. 2、三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心. A B C A B C A B C (1) (2) (3) D D D E F E F E F I I I ● ● ● 2.三角形的角平分线： 感悟新知 C A B A C B A B C 3.三角形的中线 C A B D A C B A B C 连接三角形顶点和其对边中点，所得的线段 叫做三角形的中线 线段AD叫做∆ABC的边BC上的中线 3.三角形的中线 C A B D A C B A B C D D E E E F F F 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 3.三角形的中线 C A B D 若线段AD是∆ABC的边BC上的中线     H 三角形的一条中线可以等分三角形的面积 3.三角形的中线   = = 例2 2 2 BD 6 cm² 1.如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线． （1）AC = AE = EC； CD = ； AF = AB； （2）若S△ABC = 12 cm2， 则S△ABD = ． A B C D E F G 3.三角形的中线： 　　2.如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则： ∠1 = ； ∠3 = ； ∠ACB = 2 . ∠2 ∠ABC ∠4 A B C D E F 1 2 3 4 3.三角形的中线： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 如图2，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线. 则∠1 = ______， ∠3 = _________， ∠ ACB= 2______. ∠2 A B C E F D ∠ABC ∠4 1 2 3 4 例3 .如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵ DC 平分∠ACB， 又 DE∥BC， ∴∠ACB =∠AED = 80°. ∴∠ECD = 40°. A B C E D ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. 例4 .如图1,在△ABC中,已知点E,F分别是AD,CE的中点,且S△ABC=4 cm2,则S△BEF=　 　cm2;  1 例5 在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC的各边长． 解：设AB=AC＝x cm，则AD＝CD＝ x cm. (1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，则x＋ x＝12.解得x＝8， 即AB＝AC＝8 cm，则CD＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)． 此时AB＋AC＞BC，三角形存在， 所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm. 例6 (2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，则x＋ x＝15. 解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，则CD＝5 cm. 故BC＝12－5＝7(cm)． 显然此时三角形存在， 所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm. 综上所述，△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm. 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) 总结：三角形任意一边上的高必须满足： (1)过该边所对的顶点； (2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 例7 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. A B C D E ∟ 例8 如图，BE、CF均是△ABC的中线，且BE=CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N。求证：AM=AN. 证明:∵BE,CF均是△ABC的中线, ∴ . ∵AM⊥CF,AN⊥BE, ∴ AM·CF= AN·BE. 又∵BE=CF, ∴AM=AN. 例9 1.下列图形中，AD是△ABC的高的是（ ） B A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 判断一条线段是否为三角形的高的方法： 一看顶点：三角形的高一定过顶点. 二看垂足：三角形的高的垂足在顶点的对边或对边延长线上. 方法总结 达标测试 2. 如图，在中，是高， 是角平分线， 是中线.下列结论 错误的是( ) D A. B. C. D. 达标测试 3. 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 B 三角形的内部 三角形的直角顶点 三角形的外部 达标测试 4.如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F.若S△ABC＝24，BD＝4，则EF的长为________． 3 达标测试 5.如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝1. (1)若AC的长是整数，求AC的长； (2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长． 解：(1)由题意得BC－AB<AC<BC＋AB，∴7<AC<9. ∵AC是整数，∴AC＝8. (2)∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD.∵△ABD的周长为10，∴AB＋AD＋BD＝10.∵AB＝1，∴AD＋BD＝9， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝BC＋BD＋AD＝8＋9＝17. 达标测试 6.如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC的度数是(　　) A.15° B.30° C.45° D.60° B 达标测试 7.如图，△ABC的两条角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为30 cm，则AB＋AC＝________cm. 30 点拨：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC. ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB.∴ED＝EB. 同理可得FD＝FC，∴AB＋AC＝AE＋BE＋AF＋FC＝AE＋ED＋AF＋FD＝AE＋AF＋EF＝△AEF的周长＝30 cm 达标测试 8.如图，△ABC的BC边上的高是(　B　) A. BE B. AF C. CD D. CF B 达标测试 9. 如图，在△ABC中，AE是高，BD是角平分线，CF是中线.下列说法不正确的是(　A　) A. ∠ACF＝∠BCF B. ∠ABD＝∠CBD C. ∠AEC＝∠AEB D. AF＝BF A 达标测试 11.如图，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，∠2=50°，∠ABC=50°，∠ACB=30°，则∠1=______, ∠3=_______, ∠4=_______. 50° 25° 15° A C B F E D 1 2 3 4 分析：根据三角形角平分线的性质可得：∠1=∠2， ∠ABC=2∠3，∠ACB=2∠4. 10.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC= . 12cm2 达标测试 12.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小. 解： ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°. ∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C ) =180°－90°－40°=50°. ∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°， ∴∠CAE=41°， ∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°. B A C D E 达标测试 13. 如图，AD是△ABC的中线. (1)已知AB＝7，AC＝5，则△ABD与△ACD的周长差为 ⁠； 2　 (2)已知AE⊥BC，垂足为E. 若BC＝10，AE＝6，求△ABD的面积. 解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝ BC＝ ×10＝5， ∴S△ABD＝ BD·AE＝ ×5×6＝15. 达标测试 三角形三种重要线段的区别与联系 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 用途 举例 (1)证线段相等； (2)证面积相等 证角相等 (1)证线段垂直； (2)证角相等 在图中 的位置 三条中线全在三角形内 三条角平分线全在三角形内 锐角三角形 三条高全在三角形内 直角三角形 一条高位于三角形内，另两条高与两直角边 重合 钝角三角形 一条高位于三角形内，另两条高位于三角形外 条数 三条 三条 三条 交点 位置 在三角形内 在三角形内 锐角三角形 在三角形内 直角三角形 在直角顶点处 钝角三角形 没有交点 课堂小结 三角形 中线 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段. 角平分线 高 一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段. 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段. 课堂小结 $