14.2.4第4课时　尺规作图课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

学习目标 1.会用尺规作一个角等于已知角，了解图形的作法．（重点） 2.尺规作一个角等于已知角的应用.（难点） 新课导入 回顾三角形全等的判定方法: 1. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）. 2. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）. 3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）. 4. 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或 “SSS”) A B C D E F 回顾旧知 2 探索新知 O B A 作法：①量已知角(对心，对线，读数)； O′ A′ B′ ②画射线； ③描点 (对心，对线). 没有量角器，只有直尺和圆规，你还能作出A'O'B'，使之等于AOB 吗? 已知AOB，你能画出一个角A'O'B'，使之等于AOB 吗? 探索新知 思考 前面已学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 分析：已知AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定AOB 的大小. O B A 对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的. 如果能将AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，进而再作出与这个三角形全等的三角形，根据全等三角形的性质，AOB的对应角就是要求作的角. 如何围绕AOB 构 建一个三角形? 探索新知 前面已学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 思考 如何围绕∠AOB 构建一个三角形？ O B A C D 如图，在AOB 的边 OA，OB 上分别取点 C，D，连接 CD，得到△COD. AOB 就是△COD 的一个内角. 为了作图方便，一般取 OC＝OD. 如何作与△COD 全等的三角形呢? 探索新知 前面已学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 思考 作图原理：全等三角形的判定方法：边边边、全等三角形的性质. O B A C D 已知三边作三角形 C' O' A' D' 作一个角等 于已知角 转化 用“边边边”构造了一对全等三角形 核心思想 探索新知 尺规作图：作一个角等于已知角 作法：如图 (1) 以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB 于点 C，D； (2) 作一条射线 O'A'，以点 O' 为圆心，OC 为半径作弧，交 O'A' 于点 C'； D C O B A O' C' A' B' D' (3) 以点 C' 为圆心，CD 为半径作弧，与上一步作的弧相交于点 D'； (4) 过点 D' 作射线 O'B'，则 A'O'B'＝AOB. 1. 如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是( ) A.以点C为圆心，OD为半径的弧 B.以点C为圆心，DM为半径的弧 C.以点E为圆心，OD为半径的弧 D.以点E为圆心，DM为半径的弧 D 2. 如图，在△ABC中，点O是边AB上的点按下列要求作图： ①以点B为圆心、适当长为半径作弧，交线段BO于点D，交线段BC于点E; ②以点O为圆心、BD长为半径作弧，交线段OA于点F; ③以点F为圆心、DE长为半径作弧，交前弧于点G，点G与点C在直线AB同侧; ④作直线OG交线段AC于点M. 下列结论不一定成立的是( ) A.∠AOM=∠B B.∠OMC+∠C=180° C.OM//BC D.∠B=∠AMO D 学以致用 3.尺规作图：作∠A'O'B'＝∠AOB，如图，下列作图过程中，错误的是（　　） A．作射线O'A' B．以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D C．以点O'为圆心，以OC的长为半径作弧，交O'A'于点C′ D．以点C'为圆心，以任意长为半径作弧，与已知的弧交于点D' D 学以致用 4. 如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E．若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° C 例1.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D． （1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点E，交CD于点F；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：∠CFE＝∠CEF． 典例精析 （1）解：根据角平分线的作法作图，BE即为所求； 典例精析 典例精析 （2）证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DBF+∠BFD＝90°， ∵∠CFE＝∠BFD， ∴∠DBF+∠CFE＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠CEF＝90°， ∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠DBF， ∴∠CFE＝∠CEF． 针对训练 1.如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠ a，∠β，这两角的夹边等于线段a. β a α 作法： C A B (2)以B为端点作∠DBC＝∠α (1)作线段BC＝a (3)在线段BC同侧以C为端点作∠ECB＝∠β,两个角的另一边相交于点A 则△ABC为所求三角形 B M C D E A 针对训练 2.如图,用尺规作图作出∠BCP=∠ABC,则作图痕迹弧GH是(　 　) A.以点C为圆心,以BE长为半径的弧 B.以点C为圆心,以DE长为半径的弧 C.以点F为圆心,以DE长为半径的弧 D.以点F为圆心,以BE长为半径的弧 C 针对训练 3. 如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝56°，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OB，OC于点M，N，再以点N为圆心，以MN长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD. 则∠COD的度数为(　C　) A. 22° B. 32° C. 34° D. 56° C 针对训练 4.如图,在△ABC中,AC=BC,∠BCA=90°,点D为线段AB上的一点,过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E. (1)基本尺规作图:作∠CAF=∠BCE,交线段CE于点F(不写作法,保留作图痕迹); (2)求证:AF=BE+EF. 证明:∵BE⊥CD, ∴∠BEC=①　 　°.  又∵∠BCA=90°, ∴∠BCE+∠CBE=∠BCE+∠ACF=90°, 90 ∴∠CBE=②　 .  在△BCE和△CAF中, ∠ACF　 CF ∴△BCE≌△CAF(ASA), ∴BE=④　 　,AF=CE.  ∵CE=CF+EF, ∴AF=BE+EF. 针对训练 5.如图,点B,D在线段AE上,且AD=BE,CD平分∠ACB. (1)尺规作图:在线段DE的上方作△DEF,使得∠DEF=∠BAC,EF=AC; (2)在(1)的条件下,若∠A=60°,∠FDE=40°,求∠BCD的度数. (2)∵∠DEF=∠A=60°,∠FDE=40°, ∴∠DFE=180°-60°-40°=80°. ∵AD=BE,∴AD+DB=BE+DB,∴AB=ED. 又∵∠A=∠DEF,AC=EF, ∴△CAB≌△FED(SAS),∴∠ACB=∠EFD=80°. ∵ CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ACB=40°. $