第3章 投影与视图（知识清单）数学湘教版九年级下册

该初中数学知识清单系统梳理了“投影与视图”单元内容，涵盖投影的分类与规律、几何体展开图及公式、三视图绘制与还原等核心范畴，搭建从概念定义到错误分析再到综合应用的递进式学习支架。 清单通过错误类型分类构建知识体系，如将三视图错误细化为观察方向混淆、虚实线漏画等，标注“特别提示”强调隐藏棱，培养空间观念和推理意识。设计“核心公式记忆”列表及典例解析，如圆锥侧面积公式πrl结合例题应用，帮助学生高效掌握，教师可据此设计针对性教学，辅助不同学生自主学习。

第三章 投影与视图 1. 投影：光线照射物体，在平面（投影面）留下的影子；照射光线叫投影线。 2. 平行投影：平行光线形成的投影（如太阳光），包含正投影（投影线⊥投影面）。 3. 中心投影：点光源发出的光线形成的投影（如灯光、手电筒光）。 4. 正投影规律：直线平行投影面→投影与原长相等；垂直→投影成一点；倾斜→投影变短；平面图形平行投影面→投影与原图全等；垂直→投影成线段；倾斜→投影变形 。 5. 直棱柱：侧面展开图是矩形；矩形的长=底面周长，宽=侧棱长；表面积=2×底面积+侧面积；体积=底面积×高。 6. 圆锥：侧面展开图是扇形；扇形半径=母线长l，弧长=底面圆周长；侧面积=rl；全面积=rl+ r2；体积=底面积×高。 7.应用：蚂蚁爬行最短路径→转化为展开图中两点间线段长度。 8. 视图：平行投影线正对着物体，用正投影法绘制的轮廓图。包含三视图：主视图（前→后）、俯视图（上→下）、左视图（左→右）。 9. 画图规则：长对正：主、俯视图长度一致且对正； 高平齐：主、左视图高度一致且平齐； 宽相等：俯、左视图宽度一致且相等。线条规范要求：看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线。 10. 常见几何体三视图- 正方体：三个视图均为正方形； 圆柱：主、左视图为矩形，俯视图为圆；圆锥：主、左视图为等腰三角形，俯视图为圆+圆心； 球：三个视图均为圆；直棱柱（如长方体）：主、左视图为矩形，俯视图为多边形。 11. 由三视图还原几何体- 步骤：先看主视图定高度与长，再看俯视图定长与宽，最后看左视图定宽与高；综合判断几何体形状并计算尺寸。 特别提示：注意虚线对应的隐藏棱，避免漏看结构。 12、核心公式记忆：1.直棱柱侧面积：2.圆锥侧面积：3.圆锥全面积：4.圆锥体积：5.直棱柱体积等. 备考方向及学习建议 结合实物观察投影与视图，培养空间想象力。 强化画图训练，熟练掌握三视图的画图规则与虚实线用法。 多做展开图与三视图的互化题，提升几何直观能力。 一、与三视图相关中的错误 错误1：混淆主/左/俯视图观察方向，左视图判断出错 注意：主视图（正面看）、左视图（左面看，对应几何体前后）、俯视图（上面看）；圆柱/圆锥左视图非圆，圆锥左视图无圆心点。 例题1.画圆锥左视图加圆心点，正确：单纯等腰三角形。 例题2.下列几何体的左视图为三角形的是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 正方体 答案：B 错误2：画三视图忽略“长对正、高平齐、宽相等”，尺寸错位 注意：三视图核心规律：主俯长对正、主左高平齐、左俯宽相等，无特殊说明时格数代表实际尺寸比例。 例题1.已知长方体的长5cm、宽3cm、高2cm，其俯视图的长和宽分别为（） A. 5cm、3cm B. 5cm、2cm C. 3cm、2cm D. 任意尺寸 答案：A 例题2.画如图所示正方体组合的三视图，需保证主视图与俯视图的（）一致 A. 高度 B. 长度 C. 宽度 D. 无要求 答案：B 错误3：判断组合体三视图，漏画被遮挡棱的虚线 注意：三视图中可见棱画实线，被遮挡棱画虚线，虚线是判断几何体结构的关键，不可省略。 例题1. 如图是由5个相同正方体搭成的几何体，其主视图中虚线的作用是（ ） A. 表示可见棱 B. 表示被遮挡棱 C. 装饰线条 D. 无意义 答案：B 例题2.画出下图几何体的主视图（要求标注实线、虚线） 答案：主视图为两列，左列两层（实线），右列一层，左列下层右侧加水平虚线（被遮挡棱）。 错误4：由三视图还原几何体，错判形状/尺寸或漏解 注意：还原几何体需结合三视图三大规律，格数对应层数/棱长，未明确位置时需考虑多种叠放可能。 例题1.已知某几何体的三视图均为正方形，则该几何体是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥 答案：B 例题2.由三视图（主视图两列左1右2、左视图一列两层、俯视图两列左1右2）还原正方体组合，最少需要（ ）个正方体 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案：A 二、投影中的相关错误 错误1：混淆平行投影与中心投影，错判投影类型 注意：平行投影（太阳光）：投影线平行，同一时刻影子方向/比例一致；中心投影（灯光/路灯）：投影线交于一点，影子方向随位置变化。 例题1.下列现象属于中心投影的是（） A. 太阳光下的树影 B. 月光下的人影 C. 路灯下的车影 D. 正午的日影 答案：C 例题2. 同一时刻，在校园内测得一根1m长的标杆影长0.8m，若一棵大树影长16m，则大树高度为（） A. 12.8m B. 20m C. 16.8m D. 8m 答案：B 错误2：平行投影中忽略“同一时刻”，错算物体高度 注意：平行投影的比例关系仅适合同一时刻、同一地点，时刻不同太阳高度角变化，比例失效。 例题1.已知上午9点，1.5m的小明影长2m，下午3点小明在同一地点的影长为3m，则下列说法正确的是（ ） A. 下午小明身高变高 B. 不同时刻比例不同，无法算身高 C. 小明身高不变，影长随时刻变化 D. 下午影长更短 答案：C 例题2.下列情况中，能利用平行投影比例计算物体高度的是（） A. 同一时刻，同一地点的标杆和大楼 B. 上午8点的标杆和下午4点的大楼 C. 不同地点，同一时刻的标杆和大树 D. 同一地点，不同时刻的两人影长 答案：A 错误3：中心投影中，错判点光源、物体、影子的位置关系 注意：中心投影的核心：点光源、物体顶端、影子顶端三点共线，找光源需连接影子顶端与物体顶端并延长，交点即为光源。 例题1.如图，小明在路灯O下的影子为AB，已知小明身高CD=1.6m，AB=2m，OB=5m，则路灯O的高度为（） A. 2.4m B. 3.2m C. 4m D. 4.8m 答案：C（利用相似三角形，△ABO∽△CDO） 例题2.请在图中画出物体CD在路灯O下的影子（要求保留作图痕迹） 答案：连接OC、OD并延长，与地面交于M、N，MN即为物体CD的影子。 错误4：混淆正投影与一般平行投影，认为平行投影均为正投影 注意：正投影是投影线垂直于投影面的平行投影（如正午直射）；投影线与投影面不垂直的为一般平行投影，易导致几何体投影变形。 例题1. 当长方形的一边与投影面平行，投影线垂直于投影面时，其正投影为（ ） A. 平行四边形 B. 长方形 C. 线段 D. 正方形 答案：B 例题2.下列关于正投影的说法，正确的是（ ） A. 正投影是中心投影 B. 正投影的投影线与投影面垂直 C. 所有平行投影都是正投影 D. 圆的正投影一定是圆 答案：B 三、视图与投影综合错误 错误：由三视图/投影还原几何体后，漏算面或错判尺寸，求表面积/体积出错 注意：计算组合体表面积时，被遮挡的面不计算（挖去小正方体类题型，表面积常不变）；体积按还原后的几何体实际尺寸计算，三视图格数直接对应棱长（无特殊说明）。 例题1.已知某几何体的三视图如图所示（每个小方格边长1cm），则该长方体的体积为（ ） A. 6cm³ B. 12cm³ C. 18cm³ D. 24cm³ （主视图长3、高2；俯视图长3、宽2；左视图宽2、高2） 答案：A（体积=3×2×1=6） 例题2.一个棱长为4cm的大正方体，在一个面的中心挖去一个棱长为2cm的小正方体，求该组合体的表面积（） A. 96cm² B. 104cm² C. 100cm² D. 112cm² 答案：B（大正方体表面积96 + 小正方体4个面的面积8 = 104） 例题3.由三视图还原的圆锥，已知俯视图半径3cm，主视图高4cm，则圆锥的体积为（） A. 12π cm³ B. 16π cm³ C. 20π cm³ D. 24π cm³ 答案：A 重难点01 组合体三视图的识别与绘制 观察方向判断、遮挡棱的虚线标注、“长对正、高平齐、宽相等”规律的应用 【典例1】如图所示几何体的左视图是（ ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都变现在左视图中． 【详解】解：从左视图看，易得到一个长方形，长方形中有一条横行的虚线， 故选：D． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． 【典例2】请画出此零件的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查立体图形的三视图，理解并掌握三视图的概念，及绘图方法是解题的关键．根据立体图形的三视图的特点，主视图：从正面观察立体图形，主视图的宽、高与立体图形的宽、高相等；左视图：从左面看立体图形，左视图的长、高与立体图形的长、高相等；俯视图：从上往下看立体图形，俯视图的宽、长与立体图形的宽、长相等；由此即可求解． 【详解】解：零件的三视图如图所示： 重难点02 由三视图还原几何体 【典例1】一几何体的三视图如图所示，则与其对应的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．观察主视图、左视图和俯视图，即可求解． 【详解】解：由三视图得：与其对应的几何体是 ． 故选：B 【典例2】如图，找出图中三视图所对应的物体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图确定几何体的形状，掌握常见规则几何体的三视图是解题的关键． 根据三视图是从三个方向看到的图形， 判断出几何体的形状，即可求解． 【详解】解：根据三视图，可知该几何体下面是一个长方体，上面是一个圆柱，且圆柱的直径等于长方体的宽， 选项C中的物体符合要求． 故选：C． 【典例3】下图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体．根据主视图和左视图的定义解答即可． 【详解】解：从主视图来看：从左向右，第一列可看到三个小正方形，第二列看到两个小正方形，第三列可看到一个小正方形； 从左视图来看：第一列有三个小正方形，第二列有一个小正方形． 故符合题意的图形为： 故选：C． 重难点03 平行投影的判断 【典例1】三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误； B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的长度应该相等，故本选项错误； C．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确； D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该互相平行，故本选项错误． 故选：C． 【典例2】凯歌楼是神木古城的标志性建筑，凯歌楼在太阳光下的影子属于 投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】平行 【详解】解：太阳光由于光源距离远，光线近似平行，属于平行投影， 故凯歌楼在太阳光下的影子属于平行投影； 故答案为：平行 【典例3】仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时必能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的是 投影．（填写“中心”或“平行”） 【答案】平行 【分析】本题重点考查平行投影和中心投影，掌握相关定义是解决本题的关键． 【详解】解：太阳光属于平行光线，在太阳光照射下，物体形成的投影是平行投影； 而中心投影是由点光源发出的光线形成的投影，与太阳光的光线特征不符． 故答案为：平行 ． 重难点04 中心投影的判断 【典例1】如图，不是中心投影的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心投影的定义，由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的定义逐一判断各选项，即可得答案． 【详解】解：A．影子在物体异侧，作投影线时相交于一点，是中心投影，不符合题意； B．影子在物体同侧，作投影线时相交于一点，是中心投影，不符合题意； C．影子在物体同侧，作投影线时相交于一点，是中心投影，不符合题意； D．影子在物体同侧，作投影线时互相平行，不是中心投影，符合题意． 故选：D． 【典例2】如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不是直角三角形 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 根据中心投影的特点，逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴，和的形状相同，均为直角三角形，故A、C选项错误，D选项正确； ∵当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大， ∴它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），越来越大，故B选项错误； 故选D． 【典例3】如图为达芬奇的《最后的晚餐》，该画作使用了透视画法，左右侧门的上底边和下底边所在的直线，顶上的天花板的一些边所在的直线等是交于一点的，在绘画领域它叫“消失点”．透视画法在数学上的类似变换是 消失点在该变换中的类似物是 ． 【答案】 中心投影 投影中心 【分析】本题考查了中心投影，根据中心投影的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：透视画法在数学上的类似变换是中心投影，消失点在该变换中的类似物是投影中心， 故答案为：中心投影，投影中心． 重难点05 正投影的实际应用 【典例1】如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，过A作于C，在中，根据余弦的定义求出，然后证明四边形是矩形，根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：过A作于C， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：B． 【典例2】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B作于点C，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【典例3】如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 【典例4】如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【分析】先根据求出投影的各个边长，再求面积 【详解】解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 重难点06 根据三视图求物体的面积、体积 【典例1】一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 【答案】三棱柱，图见解析； 【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱，其平面展开图如图①所示(画法不唯一)．由三视图，可知三棱柱的底面是等腰三角形，如图②，过点A作于点D． 由题意，得， ∴ ∴． 【典例2】已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 【答案】(1)此模型由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体 (2)这个模型的质量为 (3)需要的油漆 【详解】（1）解：∵模型的三视图图， ∴模型是由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体. （2）解：模型的体积（立方分米） 这个模型的质量为． （3）解：模型的表面积为， 需要的油漆． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出长方体的长、宽、高． 【典例3】（1）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，求出这个几何体的侧面积． （2）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，求出S俯． 【答案】（1）65π；（2）a2+a 【分析】（1）根据三视图知，原几何体是一个圆锥，且已知圆锥的底面直径和母线长，从而可求得侧面积； （2）根据主视图和左视图的面积，易得俯视图的长和宽，从而求得俯视图的面积． 【详解】（1）由三视图可知，原几何体为圆锥， S侧＝πr•l＝π×5×13＝65π．     答：这个几何体的侧面积是65π． （2）∵S主＝a2，S左＝a2+a=a（a+1）， ∴俯视图的长为a+1，宽为a，     ∴S俯＝a（a+1）=a2+a． 【点睛】本题考查了三视图，关键会由三视图还原几何体． 重难点07 投影与相似三角形性质的应用 【典例1】在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ (2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？ 【答案】(1)敏敏的影长为公分； (2)高圆柱的高度为公分． 【详解】（1）解：设敏敏的影长为公分， 由题意得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 答：敏敏的影长为公分； （2）解：如图，连接，作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴公分， 设公分，由题意落在地面上的影长为公分， ∴， ∴， ∴（公分）， 答：高圆柱的高度为公分． 【典例2】广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为，落在斜坡上的影长为，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，的标杆竖立在斜坡上的影长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【详解】解：过点C作，交于点P，过点P作于点Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 在中，，∵， ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 【典例3】综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． (1)请画出两竹竿在灯光下的影长； (2)经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 【答案】(1)见解析 (2)灯柱的高为米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的性质与判定； （1）连接 并延长交地面于，连接并延长交地面于则为竹竿的影长，为竹竿的影长； （2）依题意，，得出，根据相似三角形的性质列出比例式，进而解比例式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）依题意，，米， ∴， ∴，， 设米， ∴，， 解得， 答：灯柱的高为米． 【典例4】如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 【答案】(1)路灯的高度为9.6米 (2)的长是米 【分析】本题考查相似三角形的应用、列代数式，属于中档题． （1）由证△△，用相似比求高度； （2）由证△△，代入求长度． 【详解】（1）解：由题意，可知，米，米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为9.6米； （2）解：， 米， 米，米， 米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； 重难点08 与圆锥有关的计算 【典例1】如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，扇形的面积公式，圆锥的侧面积，熟练掌握相关公式是解题的关键． （1）设扇形的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式列方程求解即可； （2）根据圆锥的侧面积等底面周长的一半乘母线长，列式计算即可． 【详解】（1）解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； （2）解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 【典例2】如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不规则图形的面积，弧长公式，圆锥的侧面积，旋转的性质，三角形全等的性质，掌握扇形面积公式，弧长公式和圆锥侧面积公式是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，先求出长，再根据圆锥侧面积公式即可求解； （2）由旋转的性质得到，得到，根据图形可得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到， ∵， 的长为， ， ； （2）解：根据图形得， 是旋转得到的， ， ， ． 【典例3】如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 【答案】(1) (2)圆锥的高为 【分析】此题考查求圆锥的侧面积、底面半径，勾股定理，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）先求出圆锥的底面半径，然后可得圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形，再根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）解：扇形的弧长是， ∴底面半径为， ∵圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形， ∴圆锥的高， ∴该圆锥的高为． 【典例4】小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长 ， ∴侧面积为 ∴底面积为 ， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 重难点09 展开图中的有关计算 【典例1】如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． (2)如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【答案】(1)D (2)D (3) 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，即“相间、Z形是对面”进行判断即可； （2）根据各个面之间的相邻、相对关系进行判断即可； （3）根据长方体表面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由长方体表面展开图的“相间、Z形是对面”可知，“B”与“D”是对面，如果面B在长方体的上面，那么下面是D， 故答案为：D； （2）解：从上面看是面E，从前面看是C，那么右面是D； 故答案为：D； （3）解：由题意得，长方体的长为宽为，高为，所以这个长方体的表面积是， 答：这个长方体的表面积为． 【典例2】某数学学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)学习小组成员剪出下列图形中，不能折成无盖正方体纸盒的是__________； (2)如图，学习小组利用边长为的正方形纸板制作有盖的长方体纸盒，先在纸板左侧两角剪去两个同样大小边长为的小正方形，再在纸板右侧两角剪去两个同样大小的小长方形，最后沿虚线折叠成长方体纸盒，则该长方体纸盒的底面长为__________，宽为__________（用含的代数式表示）：若，求该长方体纸盒的底面周长； (3)若一个有盖长方体纸盒的长、宽、高分别为、、，则该纸盒表面展开图的最小外围周长为_____cm． 【答案】(1) (2)；； (3) 【分析】本题考查了几何体的展开图、代数式： （1）依次折叠后发现中有重合部分； （2）观察图形得到长和宽的代数式，先求出底面周长的代数式，再代入即可； （3）要使展开图的外围周长最小，就要让较长的边（）尽量少地出现在外围，而较短的边（）尽量多地出现在外围． 【详解】（1）解：依次折叠后发现中有重合部分，不能折叠为无盖的正方体； 故答案为：． （2）解：的正方形纸板左侧两角剪去两个同样大小边长为的小正方形，右侧两角剪去两个同样大小的小长方形， 底面长为，宽为， 底面周长为， 将代入，得． 故答案为：；；． （3）解：使展开图的外围周长最小， 让较长的边（）尽量少地出现在外围，而较短的边（）尽量多地出现在外围． 展开方式是将四个的面两两相连，再把两个的面分别接在两侧，如图所示， 展开后，外围的周长为． 故答案为：． 【典例3】综合与实践：制作有盖的长方体收纳盒 【所需材料】如图1所示的长方形硬纸板，，． 【制作方案】 第一小组：按照图2裁剪，得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． 第二小组：如图4，沿将长方形剪成两部分，将长方形折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面． 【问题解决】 (1)图3中收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______； (2)求图4中棱的长； (3)第三小组同学观察第一、二两个小组的设计，发现第一小组将长方形硬纸板材料经过裁剪之后制成长方体收纳盒，而第二小组利用整张长方形硬纸板制成长方体收纳盒，所以第三小组同学说：第一小组制作的长方体收纳盒比第二小组制作的长方体收纳盒的体积小，你认为这种说法是否正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20，40 (2)5 (3)第三小组的说法不正确，见解析 【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元一次方程的实际应用等知识． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设，则，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系， 列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （3）分别计算出两个小组制作的长方体收纳盒的体积，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：20；40； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得：， 即，． （3）解：第一小组制作的长方体收纳盒的体积为∶ 第二小组制作的长方体收纳盒的体积为∶ 所以第一小组制作的长方体收纳盒与第二小组制作的长方体收纳盒体积相同， 第三小组的说法不正确． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 投影与视图 1. 投影： 照射物体，在 留下的影子；照射光线叫 。 2. 平行投影： 形成的投影（如太阳光），包含 （投影线⊥投影面）。 3. 中心投影： 发出的光线形成的投影（如灯光、手电筒光）。 4. 正投影规律：直线 投影面→投影与原长 ；垂直→投影成 ；倾斜→投影 ；平面图形平行投影面→投影与原图 ；垂直→投影成 ；倾斜→投影 。 5. 直棱柱：侧面展开图是 ；矩形的长= ，宽= ；表面积= ；体积= 。 6. 圆锥：侧面展开图是 ；扇形半径= ，弧长=底面圆周长；侧面积=；全面积=rl+ r2；体积= 。 7.应用：蚂蚁爬行最短路径→转化为展开图中两点间线段长度。 8. 视图：平行投影线正对着物体，用正投影法绘制的轮廓图。包含三视图：主视图（前→后）、俯视图（上→下）、左视图（左→右）。 9. 画图规则：长 ：主、俯视图长度一致且对正； 高 ：主、左视图高度一致且平齐； 宽 ：俯、左视图宽度一致且相等。线条规范要求：看得见的轮廓线画 ，看不见的画 。 10. 常见几何体三视图- 正方体：三个视图 ； 圆柱：主、左视图为 ，俯视图为 ；圆锥：主、左视图为 ，俯视图为 ； 球：三个视图均为 ；直棱柱（如长方体）：主、左视图为 ，俯视图为 。 11. 由三视图还原几何体- 步骤：先看主视图定高度与长，再看俯视图定长与宽，最后看左视图定宽与高；综合判断几何体形状并计算尺寸。 特别提示：注意虚线对应的隐藏棱，避免漏看结构。 12、核心公式记忆：1.直棱柱侧面积：2.圆锥侧面积：3.圆锥全面积：4.圆锥体积：5.直棱柱体积等. 备考方向及学习建议 结合实物观察投影与视图，培养空间想象力。 强化画图训练，熟练掌握三视图的画图规则与虚实线用法。 多做展开图与三视图的互化题，提升几何直观能力。 一、与三视图相关中的错误 错误1：混淆主/左/俯视图观察方向，左视图判断出错 注意：主视图（正面看）、左视图（左面看，对应几何体前后）、俯视图（上面看）；圆柱/圆锥左视图非圆，圆锥左视图无圆心点。 例题1.画圆锥左视图加圆心点，正确：单纯等腰三角形。 例题2.下列几何体的左视图为三角形的是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 正方体 答案：B 错误2：画三视图忽略“长对正、高平齐、宽相等”，尺寸错位 注意：三视图核心规律：主俯长对正、主左高平齐、左俯宽相等，无特殊说明时格数代表实际尺寸比例。 例题1.已知长方体的长5cm、宽3cm、高2cm，其俯视图的长和宽分别为（） A. 5cm、3cm B. 5cm、2cm C. 3cm、2cm D. 任意尺寸 答案：A 例题2.画如图所示正方体组合的三视图，需保证主视图与俯视图的（）一致 A. 高度 B. 长度 C. 宽度 D. 无要求 答案：B 错误3：判断组合体三视图，漏画被遮挡棱的虚线 注意：三视图中可见棱画实线，被遮挡棱画虚线，虚线是判断几何体结构的关键，不可省略。 例题1. 如图是由5个相同正方体搭成的几何体，其主视图中虚线的作用是（ ） A. 表示可见棱 B. 表示被遮挡棱 C. 装饰线条 D. 无意义 答案：B 例题2.画出下图几何体的主视图（要求标注实线、虚线） 答案：主视图为两列，左列两层（实线），右列一层，左列下层右侧加水平虚线（被遮挡棱）。 错误4：由三视图还原几何体，错判形状/尺寸或漏解 注意：还原几何体需结合三视图三大规律，格数对应层数/棱长，未明确位置时需考虑多种叠放可能。 例题1.已知某几何体的三视图均为正方形，则该几何体是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥 答案：B 例题2.由三视图（主视图两列左1右2、左视图一列两层、俯视图两列左1右2）还原正方体组合，最少需要（ ）个正方体 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案：A 二、投影中的相关错误 错误1：混淆平行投影与中心投影，错判投影类型 注意：平行投影（太阳光）：投影线平行，同一时刻影子方向/比例一致；中心投影（灯光/路灯）：投影线交于一点，影子方向随位置变化。 例题1.下列现象属于中心投影的是（） A. 太阳光下的树影 B. 月光下的人影 C. 路灯下的车影 D. 正午的日影 答案：C 例题2. 同一时刻，在校园内测得一根1m长的标杆影长0.8m，若一棵大树影长16m，则大树高度为（） A. 12.8m B. 20m C. 16.8m D. 8m 答案：B 错误2：平行投影中忽略“同一时刻”，错算物体高度 注意：平行投影的比例关系仅适合同一时刻、同一地点，时刻不同太阳高度角变化，比例失效。 例题1.已知上午9点，1.5m的小明影长2m，下午3点小明在同一地点的影长为3m，则下列说法正确的是（ ） A. 下午小明身高变高 B. 不同时刻比例不同，无法算身高 C. 小明身高不变，影长随时刻变化 D. 下午影长更短 答案：C 例题2.下列情况中，能利用平行投影比例计算物体高度的是（） A. 同一时刻，同一地点的标杆和大楼 B. 上午8点的标杆和下午4点的大楼 C. 不同地点，同一时刻的标杆和大树 D. 同一地点，不同时刻的两人影长 答案：A 错误3：中心投影中，错判点光源、物体、影子的位置关系 注意：中心投影的核心：点光源、物体顶端、影子顶端三点共线，找光源需连接影子顶端与物体顶端并延长，交点即为光源。 例题1.如图，小明在路灯O下的影子为AB，已知小明身高CD=1.6m，AB=2m，OB=5m，则路灯O的高度为（） A. 2.4m B. 3.2m C. 4m D. 4.8m 答案：C（利用相似三角形，△ABO∽△CDO） 例题2.请在图中画出物体CD在路灯O下的影子（要求保留作图痕迹） 答案：连接OC、OD并延长，与地面交于M、N，MN即为物体CD的影子。 错误4：混淆正投影与一般平行投影，认为平行投影均为正投影 注意：正投影是投影线垂直于投影面的平行投影（如正午直射）；投影线与投影面不垂直的为一般平行投影，易导致几何体投影变形。 例题1. 当长方形的一边与投影面平行，投影线垂直于投影面时，其正投影为（ ） A. 平行四边形 B. 长方形 C. 线段 D. 正方形 答案：B 例题2.下列关于正投影的说法，正确的是（ ） A. 正投影是中心投影 B. 正投影的投影线与投影面垂直 C. 所有平行投影都是正投影 D. 圆的正投影一定是圆 答案：B 三、视图与投影综合错误 错误：由三视图/投影还原几何体后，漏算面或错判尺寸，求表面积/体积出错 注意：计算组合体表面积时，被遮挡的面不计算（挖去小正方体类题型，表面积常不变）；体积按还原后的几何体实际尺寸计算，三视图格数直接对应棱长（无特殊说明）。 例题1.已知某几何体的三视图如图所示（每个小方格边长1cm），则该长方体的体积为（ ） A. 6cm³ B. 12cm³ C. 18cm³ D. 24cm³ （主视图长3、高2；俯视图长3、宽2；左视图宽2、高2） 答案：A（体积=3×2×1=6） 例题2.一个棱长为4cm的大正方体，在一个面的中心挖去一个棱长为2cm的小正方体，求该组合体的表面积（） A. 96cm² B. 104cm² C. 100cm² D. 112cm² 答案：B（大正方体表面积96 + 小正方体4个面的面积8 = 104） 例题3.由三视图还原的圆锥，已知俯视图半径3cm，主视图高4cm，则圆锥的体积为（） A. 12π cm³ B. 16π cm³ C. 20π cm³ D. 24π cm³ 答案：A 重难点01 组合体三视图的识别与绘制 观察方向判断、遮挡棱的虚线标注、“长对正、高平齐、宽相等”规律的应用 【典例1】如图所示几何体的左视图是（ ） A．B． C． D． 【典例2】请画出此零件的三视图． 重难点02 由三视图还原几何体 【典例1】一几何体的三视图如图所示，则与其对应的几何体是（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，找出图中三视图所对应的物体（   ） A． B． C． D． A． B． C． D． 重难点03 平行投影的判断 【典例1】三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】凯歌楼是神木古城的标志性建筑，凯歌楼在太阳光下的影子属于 投影．（填“中心”或“平行”） 【典例3】仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时必能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的是 投影．（填写“中心”或“平行”） 重难点04 中心投影的判断 【典例1】如图，不是中心投影的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不是直角三角形 D． 【典例3】如图为达芬奇的《最后的晚餐》，该画作使用了透视画法，左右侧门的上底边和下底边所在的直线，顶上的天花板的一些边所在的直线等是交于一点的，在绘画领域它叫“消失点”．透视画法在数学上的类似变换是 消失点在该变换中的类似物是 ． 重难点05 正投影的实际应用 【典例1】如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【典例3】如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【典例4】如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 重难点06 根据三视图求物体的面积、体积 【典例1】一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 【典例2】已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 【典例3】（1）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，求出这个几何体的侧面积． （2）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，求出S俯． 重难点07 投影与相似三角形性质的应用 【典例1】在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ (2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？ 【典例2】广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为，落在斜坡上的影长为，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，的标杆竖立在斜坡上的影长为，求旗杆的高度． 【典例3】综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． (1)请画出两竹竿在灯光下的影长； (2)经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 【典例4】如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 重难点08 与圆锥有关的计算 【典例1】如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【典例2】如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 【典例3】如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 【典例4】小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 重难点09 展开图中的有关计算 【典例1】如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． (2)如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【典例2】某数学学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)学习小组成员剪出下列图形中，不能折成无盖正方体纸盒的是__________； (2)如图，学习小组利用边长为的正方形纸板制作有盖的长方体纸盒，先在纸板左侧两角剪去两个同样大小边长为的小正方形，再在纸板右侧两角剪去两个同样大小的小长方形，最后沿虚线折叠成长方体纸盒，则该长方体纸盒的底面长为__________，宽为__________（用含的代数式表示）：若，求该长方体纸盒的底面周长； (3)若一个有盖长方体纸盒的长、宽、高分别为、、，则该纸盒表面展开图的最小外围周长为_____cm． 【典例3】综合与实践：制作有盖的长方体收纳盒 【所需材料】如图1所示的长方形硬纸板，，． 【制作方案】 第一小组：按照图2裁剪，得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示． 第二小组：如图4，沿将长方形剪成两部分，将长方形折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面． 【问题解决】 (1)图3中收纳盒高是，则该收纳盒底面的边______，______； (2)求图4中棱的长； (3)第三小组同学观察第一、二两个小组的设计，发现第一小组将长方形硬纸板材料经过裁剪之后制成长方体收纳盒，而第二小组利用整张长方形硬纸板制成长方体收纳盒，所以第三小组同学说：第一小组制作的长方体收纳盒比第二小组制作的长方体收纳盒的体积小，你认为这种说法是否正确？请通过计算说明理由． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $