第11讲 一元二次方程的解法（第4课时 公式法和根的判别式）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第11讲 一元二次方程的解法（第4课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：公式法求解一元二次方程 1.求根公式 对于一元二次方程，当时，它的两个根为。 这个公式叫作一元二次方程的求根公式。利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 2.一元二次方程求根公式的推导过程 一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程的过程，推导如下： 因为，所以方程的两边同除以a,得 移项，得： 配方，得： 即： 因为，所以a2>0,所以4a2>0, 所以当时，是非负数. 根据开平方的原则，得 所以。 3.用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)把一元二次方程化为一般形式，并确定a，b，c的值。 (2)求出的值。 (3)判断的符号：当时，把a，b及的值代入求根公式，求出方程的根；当<0时，原方程没有实数根。 注意：公式法是一种通用方法，适用干所有的一无二次方程，也称“万能法”,但要先转化为一元二次方程的一般式，再保证。 知识点2：根的判别式 1.根的判别式的概念 代数式（通常也用“◮”）叫作一元二次方程的根的判别式。 2.的值与一元二次方程的根的关系 对于一元二次方程, ①，方程有两个不相等的实数根； ②，方程有两个相等的实数根，即 ③，方程没有实数根。 【题型1 用公式法求解一元二次方程】 例1．用公式法解方程： (1)； (2)．． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）解一元二次方程时，以下是两位同学的解法： 甲同学： ， ， 或， ∴或． 乙同学： ，，， ， ， ∴此方程无实数根． (1)他们的解法正确吗？请直接写出判断结果． 甲同学的解法______  乙同学的解法______（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 变式1．用公式法解方程： （1）． （2） 变式2.下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程． 甲同学 解：……第一步 ……第二步 乙同学 解：∵                 ……第一步 ∴ ……第二步 ∴                        ……第三步 即         ……第四步 (1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第____步开始出现错误，乙同学是第______步开始出现错误； (2)从两个方程中任选一个进行正确解答． 【题型2 根的判别式的运用】 例3．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 变式1．（25-26八年级上·上海·期末）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 变式2.（25-26八年级上·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 【题型3 求解方程中字母参数的取值范围】 例6．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 例7．（25-26九年级上·天津南开·期中）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围 ． 变式2.（25-26九年级上·新疆·期中）方程无实数根，则点位于第 象限． 1．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南·期末）已知，为常数，且点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（25-26九年级上·河南周口·月考）用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 5．（25-26九年级上·云南·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．（25-26九年级上·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 8．（25-26九年级上·山西长治·月考）一元二次方程有实数根，则常数c的取值范围是 ． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）定义一种新运算：，例如：．若，则的值为 ． 10．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ． 11．（2021·黑龙江·二模）对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 12．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）解方程： (1)； （2）. 13．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个实数根为2，求的值． 14．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 15．（25-26九年级上·青海西宁·期中）阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 一元二次方程的解法（第4课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：公式法求解一元二次方程 1.求根公式 对于一元二次方程，当时，它的两个根为。 这个公式叫作一元二次方程的求根公式。利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 2.一元二次方程求根公式的推导过程 一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程的过程，推导如下： 因为，所以方程的两边同除以a,得 移项，得： 配方，得： 即： 因为，所以a2>0,所以4a2>0, 所以当时，是非负数. 根据开平方的原则，得 所以。 3.用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)把一元二次方程化为一般形式，并确定a，b，c的值。 (2)求出的值。 (3)判断的符号：当时，把a，b及的值代入求根公式，求出方程的根；当<0时，原方程没有实数根。 注意：公式法是一种通用方法，适用干所有的一无二次方程，也称“万能法”,但要先转化为一元二次方程的一般式，再保证。 知识点2：根的判别式 1.根的判别式的概念 代数式（通常也用“◮”）叫作一元二次方程的根的判别式。 2.的值与一元二次方程的根的关系 对于一元二次方程, ①，方程有两个不相等的实数根； ②，方程有两个相等的实数根，即 ③，方程没有实数根。 【题型1 用公式法求解一元二次方程】 例1．用公式法解方程： (1)； (2)．． 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵，， ∴， ∴，． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）解一元二次方程时，以下是两位同学的解法： 甲同学： ， ， 或， ∴或． 乙同学： ，，， ， ， ∴此方程无实数根． (1)他们的解法正确吗？请直接写出判断结果． 甲同学的解法______  乙同学的解法______（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确，不正确； (2)， 【详解】（1）解：甲同学的解法不正确，理由是用因式分解法时未将方程化为“右边为0”的形式（应为），直接拆分导致错误；乙同学的解法不正确，理由是未将方程化为一般式，错误确定的值（实际而非3），使判别式计算错误． 故答案为：不正确，不正确； （2）解：， 先将方程化为一般式：， 此方程中，，，， 计算判别式 ∵，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式 得： ∴方程的解为，． 变式1．用公式法解方程： （1）． （2） 【答案】(1)，． (2)， 【详解】(1)解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． (2)解：，，， ． ， 变式2.下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程． 甲同学 解：……第一步 ……第二步 乙同学 解：∵                 ……第一步 ∴ ……第二步 ∴                        ……第三步 即         ……第四步 (1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第____步开始出现错误，乙同学是第______步开始出现错误； (2)从两个方程中任选一个进行正确解答． 【答案】(1)一；一 (2)选甲：方程的解为/选乙：方程的解为． 【详解】（1）解：甲同学解时，第一步直接写，漏了的情况(未移项提取公因式)，故第一步错； 乙同学解时，第一步错误地取(未化为一般形式)，故第一步错； 故答案为：一，一； （2）解：选甲的方程： 移项得， 提取公因式得， 解得； 选乙的方程： 化为一般形式， ∵， ∴， ∴， 解得． 【题型2 根的判别式的运用】 例3．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、中，，，故，无实数根，不符合题意； B、中，，，故，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，故，无实数根，不符合题意； D、中，，，故，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 例4．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴． ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． ∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数， ∴或3． 变式1．（25-26八年级上·上海·期末）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，有实数根； 选项B：，有实数根； 选项C：，没有实数根； 选项D：，有实数根； 故选C． 变式2.（25-26八年级上·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当腰为5时，5为方程的解， 把代入，得， 得， ∴ 或 解得， ∴方程的另外一个解为， ∴此时三角形三边长为3，5，5 ∵，符合题意， 此时三角形的周长； 当底为5时， ∵另两边恰好是这个方程的两根， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴ 此时方程的解为， ∴此时三角形三边长为3，3，5 ∵，符合题意， ∴三角形的周长． 综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11． 【题型3 求解方程中字母参数的取值范围】 例6．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 故答案为：． 例7．（25-26九年级上·天津南开·期中）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 变式1．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：方程为一元二次方程，因此二次项系数，解得， 判别式， 对于二次式，其判别式为，且二次项系数开口向上，因此恒成立， 当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 变式2.（25-26九年级上·新疆·期中）方程无实数根，则点位于第 象限． 【答案】四 【详解】解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 1．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：∵原方程为，移项得， ∴，，． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意； ，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意； ，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意； ，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意； 故选C． 3．（25-26九年级上·河南·期末）已知，为常数，且点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．（25-26九年级上·河南周口·月考）用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【详解】解：∵方程为标准形式， ∴， ∴． 故选A． 5．（25-26九年级上·云南·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选：B． 6．（25-26九年级上·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 又∵， ∴，解得． 故选：C． 7．（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【详解】解：因为一元二次方程为（为常数）， 则， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 8．（25-26九年级上·山西长治·月考）一元二次方程有实数根，则常数c的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵方程有实数根， ∴ ，即 ， ∴解得 ． 故答案为 ． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）定义一种新运算：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 解得， 故答案为． 10．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：方程 为一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 且； 直线经过第一、二、三象限， ， 解得：， 且， 又 为整数， 为 ，，， 它们的和为 ． 故答案为： 11．（2021·黑龙江·二模）对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 【答案】①②④ 【详解】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 12．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）解方程： (1)； （2）. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， 解得：； 13．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个实数根为2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为或 【详解】（1）证明：由可知： ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵的一个实数根为2， ∴， 解得，； ∴m的值为或． 14．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)这个等腰三角形的周长为21或18 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 这里，，， ， 无论k取何值，这个方程总有实数根． （2）解：当等腰三角形的腰长为8时，则方程的一个根为8， 将代入方程，得， 解得， 将代入方程，得， 解得，， 所以这个等腰三角形的周长为：， 当等腰三角形的底长为8时，则方程有两个相等的实数根， 所以，即， 所以方程为，解得， 所以这个等腰三角形的周长为：， 综上所述，这个等腰三角形的周长为21或18． 15．（25-26九年级上·青海西宁·期中）阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 【答案】 【详解】解：， 设， ∴原方程化为 或 解得或， 当时， 或 ∴； 当时， ，此时，此时无实数根， ∴原方程的根为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $