专题5.3 利用导数研究函数的单调性（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

专题5.3 利用导数研究函数的单调性 教学目标 1.理解导数与函数的单调性的关系。 教学重难点 1.重点 （1）掌握利用导数判断函数单调性的方法； 2.难点 （1）能求简单的含参的函数的单调区间； （2）根据函数的单调性求参数的取值范围。 知识点01 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 【特别提醒】 (1)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件 (2)f′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f(x)为常函数 利用导数求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求出导数f′(x)的零点． (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间． 【即学即练】 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 知识点02 导数的符号与函数单调性的关系 (1)在某区间D上，若f′(x)＞0⇒函数f(x)在区间D上单调递增；在某区间D上，若f′(x)＜0⇒函数f(x)在区间D上单调递减． (2)若函数f(x)在区间D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在区间D上单调递减⇒f′(x)≤0．需要检验f′(x)＝0不能恒成立． (3)若函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒f′(x)＞0有解． 若函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒f′(x)＜0有解． 【特别提醒】 (1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间． (2)注意以下区别：若单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f′(x)＞0能成立． 【方法技巧】 利用函数的单调性求参数的常用方法 1 函数f(x)在区间D上单调递增⇒f′(x)≥0在区间D上恒成立 2 函数f(x)在区间D上单调递减⇒f′(x)≤0在区间D上恒成立 3 函数f(x)在区间D上不单调⇒f′(x)在区间D上存在变号零点 4 函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f′(x0)>0成立 5 函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f′(x0)<0成立 6 若已知f(x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围 知识点03 函数增长速度 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 【例】 对数函数 幂函数 指数函数 导数 导数绝对值变化 在上较大， 在上较小 在原点附近较小， 离原点越远越大 在上较大， 在上较小 图象变化 在上陡峭， 在上平缓 在原点附近平缓， 离原点越远越陡峭 在上陡峭， 在上平缓 图象 【即学即练】 1．已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 题型01 函数与导函数图象之间的关系 【典例1】 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【变式1-1】已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．  B．  C．  D．   【变式1-2】函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 题型02 求已知函数（不含参）的单调区间 【典例2】函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 【变式2-2】设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型03 已知函数在区间上单调，求参数 【典例3】已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 已知函数在区间上 ，求参数 【典例4】若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型05 已知函数在区间上不单调，求参数 【典例5】已知：，q：函数在区间上不单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型06 不含参问题函数的单调性 【典例6】函数，则函数的单调增区间为 ． 【变式6-1】已知函数在处的切线与y轴垂直. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间. 【变式6-2】已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求实数的值及在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【变式6-3】已知函数 ．当 时，求 的单调递增区间； 题型07 含参问题分类讨论函数的单调性（一次型） 【典例7】设函数. (1)若在点处的切线为，求，的值； (2)求的解集. 【变式7-1】已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【变式7-2】已知函数（） (1)讨论函数的单调性； (2)若直线为曲线的切线，求实数a的值； 【变式7-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； 题型08 含参问题分类讨论函数的单调性（二次型可因式分解） 【典例8】已知函数. (1) 讨论的单调性. 【变式8-1】已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【变式8-2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 【变式8-2】已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； 【变式8-3】已知函数． (1)讨论的单调性； 题型09 含参问题分类讨论函数的单调性（二次型不可因式分解） 【典例9】已知函数．讨论的单调区间. 【变式9-1】已知函数，当时，讨论函数的单调性. 【变式9-2】已知函数. (1) 讨论的单调性. 【变式9-3】已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 题型10 应用导数比大小 【典例10】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】设函数，令，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 2．若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 5．已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 11．已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 12．若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 13．已知函数，则的单调增区间为 三、解答题 14．已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； 15．设函数，且在处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； 16．已知函数. (1)讨论函数的单调性； 17．已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论函数的单调性. 19．已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 20．已知函数，设. (1)求证：是上的单调递减函数； 21．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 22．已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 利用导数研究函数的单调性 教学目标 1.理解导数与函数的单调性的关系。 教学重难点 1.重点 （1）掌握利用导数判断函数单调性的方法； 2.难点 （1）能求简单的含参的函数的单调区间； （2）根据函数的单调性求参数的取值范围。 知识点01 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 【特别提醒】 (1)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件 (2)f′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f(x)为常函数 利用导数求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域． (2)求出导数f′(x)的零点． (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间． 【即学即练】 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，即可求解. 【详解】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 知识点02 导数的符号与函数单调性的关系 (1)在某区间D上，若f′(x)＞0⇒函数f(x)在区间D上单调递增；在某区间D上，若f′(x)＜0⇒函数f(x)在区间D上单调递减． (2)若函数f(x)在区间D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在区间D上单调递减⇒f′(x)≤0．需要检验f′(x)＝0不能恒成立． (3)若函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒f′(x)＞0有解． 若函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒f′(x)＜0有解． 【特别提醒】 (1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间． (2)注意以下区别：若单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若存在单调递增区间，则f′(x)＞0能成立． 【方法技巧】 利用函数的单调性求参数的常用方法 1 函数f(x)在区间D上单调递增⇒f′(x)≥0在区间D上恒成立 2 函数f(x)在区间D上单调递减⇒f′(x)≤0在区间D上恒成立 3 函数f(x)在区间D上不单调⇒f′(x)在区间D上存在变号零点 4 函数f(x)在区间D上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f′(x0)>0成立 5 函数f(x)在区间D上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f′(x0)<0成立 6 若已知f(x)在区间D上的单调性，区间D上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围 知识点03 函数增长速度 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 【例】 对数函数 幂函数 指数函数 导数 导数绝对值变化 在上较大， 在上较小 在原点附近较小， 离原点越远越大 在上较大， 在上较小 图象变化 在上陡峭， 在上平缓 在原点附近平缓， 离原点越远越陡峭 在上陡峭， 在上平缓 图象 【即学即练】 1．已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性和导数正负的关系，可判断，，，再根据在该点处切线倾斜角的大小，可比较，即可得出最终答案. 【详解】由的单调性可知，，而，； 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此，所以； 故选：D． 题型01 函数与导函数图象之间的关系 【典例1】 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 【变式1-1】已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 【变式1-2】函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像判断的正负及通过的单调性判断的正负，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，当和时，； 当时，； 又由图可知当时，函数单调递增，则； 当时，函数单调递减，则， 所以的解集为． 故选：C. 【变式1-3】已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调性及单调性，进而确定其图象. 【详解】由函数的图象，得当或时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，选项ABC错误，D正确. 故选：D 题型02 求已知函数（不含参）的单调区间 【典例2】函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，令导数小于零求解． 【详解】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 【变式2-1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】求导得，再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】的定义域为， 由题得， 令，得， 因为， 所以函数的单调减区间为和， 故选：C. 【变式2-2】设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求，解不等式求单调区间. 【详解】定义域为，， 所以，解得， 所以，， 由解得， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 【变式2-3】函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再分析各项中的的符号，进而即可得到答案． 【详解】由，则， 对于选项A，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误； 对于选项D，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：B． 题型03 已知函数在区间上单调，求参数 【典例3】已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 【变式3-1】若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 【变式3-2】若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导，将问题转化成或在上恒成立的问题，然后分离参数处理. 【详解】由题知，，而在区间上是单调函数， 则或在时恒成立， 当在恒成立时，， 由幂函数性质可知在上递增，则， 故当在恒成立时，等价于，即； 当在恒成立时，， 此时，即. 综上，. 故选：A 【变式3-3】若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得在上恒成立，即在恒成立，据此可得答案. 【详解】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． 题型04 已知函数在区间上 ，求参数 【典例4】若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 【变式4-1】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与函数单调性的关系：函数的单调递增区间对应导数大于的区间，单调递减区间对应导数小于的区间. 【详解】对于函数，求导得：， 区间内存在单调递增区间，也就是在内有解，整理得在内有解， 令，其对称轴为，在区间内， 计算端点值：， 所以在上的最大值为， 因为在内有解，所以，即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式4-2】若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意有解，分离参数利用有解法则化为，结合，利用二次函数性质求得，即可得解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在存在单调减区间，所以有解， 即有解，则， 又，且， 当时，， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 故选：B 【变式4-3】已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导根据有单调递增区间，转化为不等式能成立即可求得结果. 【详解】易知的定义域为，又， 由题意可知在上有解，即在上有解， 可得，所以． 故选：C． 题型05 已知函数在区间上不单调，求参数 【典例5】已知：，q：函数在区间上不单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解分式不等式得，求，使其零点在内得出，最后根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】由，可化为， 得， 函数，则， 要使函数在区间上不单调，则有，解得， 所以是的必要不充分条件. 故选：B． 【变式5-1】若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在上不单调，意味着其导数在该区间内有正有负，即在内有零点，将分离参数为，通过构造函数，求与0的大小，得到的单调性，从而求出的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】，，在上不单调， 在上有变号零点， 即存在， 使得， 在上有解，在上有解， ，，， ，即，解得，在上是增函数； ，即，解得，在上是减函数. 又，，，， 在上有解，， 当时，，设，， 当，解得，得在上是增函数； 当，解得，得在上是减函数. 则在处取最小值为，在上恒成立，即在上恒成立，得到在是增函数，不满足题意，说明不满足题意，同理也不满足题意，综上可得. 故选：B 【变式5-2】已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性求出导函数列不等式计算求出参数. 【详解】当函数在上单调，或恒成立， 所以或恒成立， 所以或，因为函数在上不单调，所以. 故选：D. 【变式5-3】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在区间上有零点，求导确定的根，验证的单调性，即可得实数a的取值范围为. 【详解】函数在区间上不单调， 则在区间上有零点， 所以，得（舍）， 故，使得函数在上递减，在上递增， 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 题型06 不含参问题函数的单调性 【典例6】函数，则函数的单调增区间为 ． 【答案】和 【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可. 【详解】函数的定义域为. . 令，则. 解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 故答案为：和. 【变式6-1】已知函数在处的切线与y轴垂直. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1). (2)单调增区间为，单调减区间为. 【分析】（1）首先计算得，结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）由（1）得，由导函数小于求得函数的减区间，导函数大于求得函数的增区间即可. 【详解】（1）由题意得，令，得，解得， 又函数在处的切线与y轴垂直，， ，，则， 函数的解析式为. （2）由（1）可知， 则， 又函数的定义域为，， 故当时，，此时，函数在上单调递增； 当时，，此时，函数在上单调递减. 所以的单调增区间为，单调减区间为. 【变式6-2】已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求实数的值及在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1)， (2)递增区间为、，的递减区间为 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合直线垂直关系列方程求出实数，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数讨论函数的单调性，求出函数单调区间． 【详解】（1），， 求导得，， 在点处的切线与直线垂直， ， 解得， ，切点坐标为， 切线方程为：，即． （2），定义域， 求导得，， 令，解得，， 当时，， 当时，， 当时，， 的递增区间为、，的递减区间为． 【变式6-3】已知函数 ．当 时，求 的单调递增区间； 【答案】 【分析】对函数求导，利用三角恒等变换化简得到，再令 ，可得函数 的单调递增区间是 【详解】当时，，则， 令 ，得到 解得： ， 所以函数 的单调递增区间是 题型07 含参问题分类讨论函数的单调性（一次型） 【典例7】设函数. (1)若在点处的切线为，求，的值； (2)求的解集. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）含参讨论的正负解不等式即可. 【详解】（1）易知的定义域为，       因为，       因为在点处的切线为， 所以，所以，所以， 把点代入得：.       即，的值为：，. （2）.       ①当时，在上恒成立，所以的解集为；       ②当时，令，解得：.       综上所述：当时，的解集为； 当时，的解集为. 【变式7-1】已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由在点处的切线与直线平行，求出，再求出点处的斜率和坐标，利用点斜式得到切线方程. （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到函数的单调区间. 【详解】（1） 由题意，，即， 所以，所以处的切点为 所以在点处的切线方程为， （2）函数的定义域为， 当时，恒成立， 所以单调递增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得，令，解得， 所以单调递增区间为，单调减区间为. 【变式7-2】已知函数（） (1)讨论函数的单调性； (2)若直线为曲线的切线，求实数a的值； 【答案】(1)答案见详解 (2)2 【分析】（1）由解析式得到函数定义域.取或，得到函数解析式，直接判断函数在定义域上单调性.求函数导数，讨论的不同取值范围，由导数得到函数单调区间. （2）求导数，令解得切点横坐标，即可求得切点坐标，代入切线方程即可求得的值； 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，函数，函数在上单调递减； 当时，函数，函数在上单调递减； 当且时，， 令，即，则，则， 当，时，则， ∵， ∴函数在上单调递减，在上单调递增； 当，时，则， ∵， ∴函数在上单调递增，在上单调递减； 当，时，则恒成立， ∴函数在上单调递减； 综上所述， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2），令， 即，则，则， 则，∴. 【变式7-3】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； 【详解】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 题型08 含参问题分类讨论函数的单调性（二次型可因式分解） 【典例8】已知函数. (1)讨论的单调性. 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）先确定定义域，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，对进行讨论，即可求出结果； 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，解得或， 若，则当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，则当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 若，则恒成立，所以在上单调递减； 若，则当时，，当或时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 【变式8-1】已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 而，则， 所以函数在处的切线方程为. （2）由，， 则， 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，，此时， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【变式8-2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导得切线斜率，求得切点纵坐标，再根据点斜式得切线方程； （2）求导得，讨论与的大小，解在定义域内的解集从而得函数单调增区间. 【详解】（1）当时，函数， 所以， 所以， 所以所求切线方程为，即； （2）因为，其定义域为， 所以， 当时，由，解得或； 当时，恒成立且在时取等号； 当时，由，解得或. 综上，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. 【变式8-2】已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【分析】（1）根据零点的定义直接求解可得； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； 【详解】（1）若，则，得或（舍），所以. 所以的零点为. （2）若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式8-3】已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）对函数求导，利用导数分析函数单调性； 【详解】（1），定义域为， 求导得， ，令，解得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令，解得或，令，解得， 在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，令，解得或，令，解得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增． 题型09 含参问题分类讨论函数的单调性（二次型不可因式分解） 【典例9】已知函数．讨论的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，再按分类求解的单调区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 令，由，得，此时，在上单调递增； 当，即时，方程的两根为，， 当时，，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，当时，，当或时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增. 【变式9-1】已知函数，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，分情况讨论时函数的单调性，进而求出对应的单调区间. 【详解】对函数求导得， 当时，，此时在上单调递增. 当时，方程的判别式. ①当时，，恒成立，所以，此时在上单调递增； ②当时，令，解得，. 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 所以在和上单调递增，在上单调递减。 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【变式9-2】已知函数. (1)讨论的单调性. 【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 【详解】（1）由题意得， 令，则，判别式， ①当时，解得，则恒成立，即恒成立，在上单调递增； ②当时，解得，则方程有个实根，由求根公式可知方程的解为， 由二次函数的性质可知在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述，当时， 在上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 【变式9-3】已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 题型10 应用导数比大小 【典例10】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，， 即，，又，，即； 令，则， 令，则，在上单调递减， ，在上单调递减， ，即，； 综上所述：. 故选：C. 【变式10-1】已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据导数确定函数单调性，再根据单调性比较大小即可． 【详解】， 当时，，， 所以， 则在单调递减， ∵， 则， ∵，即， ∴，则，即， 同理可证：， 所以， 又在单调递减， 所以，即． 故选：A． 【变式10-2】已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、周期性化简，再由对数的性质比较大小，根据导数求出函数的单调性得解. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数， 又，所以是以为周期的周期函数， 所以， ， ， ，即， 因为，， 所以，综上可知， 因为， 所以当时，，则，单调递减. 所以，即. 故选：D 【变式10-3】设函数，令，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据指对数运算性质比较自变量的大小，利用函数的单调性，即可比较函数值大小， 【详解】，因为的定义域为， 且，所以是偶函数， 令，因在上单调递增， 又，当时，，即在上单调递增， 由复合函数的单调性知在上单调递增. 又，，， 因， 由，可得， 即，故可得，即． 故选：C． 一、单选题 1．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题可知：函数为单调递增，且在区间内为下凸函数， 所以，即. 故选：B 2．若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单增得在上恒成立，即，所以有，从而得解． 【详解】由题意可得.因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 所以，解得. 故选：B. 3．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，根据单调性列出不等式，进而求出结果. 【详解】，求导得在上恒成立， 则，因为，所以要使得不等式恒成立， 则. 故选：C． 4．函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】先由函数定义域和奇偶性排除AB； 【详解】由题可得函数定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除AB； 时，，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又当时，故排除C. 故选：D 5．已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，可得的大小. 【详解】， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 6．已知，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出函数的导数，将问题转化为在上恒成立，求出的范围，与进行比较判断即可. 【详解】函数在上单调递增的充要条件为在上恒成立. ，因此需要在上恒成立，即在上恒成立. 当时，，当且仅当，即时，等号成立. 所以. 所以“”是“在上单调递增”的充要条件， 故选：C. 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用切线放缩比较即可. 【详解】因为， 所以，所以． 故选：D． 8．函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解. 【详解】当时，，， 由题意可得在恒成立，即在恒成立，则； 当时，，， 由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，则，即； 又由在上递增，则，解得. 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 9．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，将原不等式转化为辅助函数的不等式，结合单调性求解自变量的范围. 【详解】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得. 故选：C 二、填空题 10．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对求导，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，求出函数的最小值即可求出答案. 【详解】由题意得， 因为在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 11．已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 12．若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得存在，使得，求解即可. 【详解】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．已知函数，则的单调增区间为 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调增区间. 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 三、解答题 14．已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）对求导并化简，令，则或，然后对进行分类讨论，从而得到的单调性； 【详解】（1）函数定义域为 ， 当时，=， 令，则或，因为，所以 ①当即时，在区间，内，在区间内； 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减. ②当即时，恒成立，在区间内单调递增； ③当即时，在区间，内，在区间内 ， 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减. 15．设函数，且在处的切线方程为． (1)求的值； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1)； (2)函数的单调递增区间是，；函数的单调递减区间是； 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，解方程即可求解； （2）由（1）得，通过判断导函数的正负区间，即可得函数的单调区间； 【详解】（1）由题意，函数，则，定义域为， 又函数在处的切线方程为， 所以，即，解得； （2）由（1）得，，， 令，即，解得或， 结合二次函数的图象性质，可得 当或时，恒成立，所以函数在区间，单调递增， 当时，恒成立，所以函数在区间单调递减， 综上所述，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是； 16．已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论判断的单调性即可； 【详解】（1）， ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增. 17．已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得在处切线的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，即可得答案. （2）求得的解析式，分别讨论、、和四种情况，判断的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）由题意，则， 又切线与直线垂直，所以，解得. （2）因为，故， 则， 当时，，令，解得， 故在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减； 当时，令有，且， 故在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减； 当时，恒成立，在单调递减； 当时，在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在单调递减，无单调递增区间； 当时， 在上单调递增，在，上单调递减. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出及，根据导数的几何意义即可求解； （2），令,得或，对与的大小分类讨论，即可判断的单调性. 【详解】（1）时，， 则. 又，则, 故曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为， ， 令,得或， 当，即时，， 故在上单调递增. 当，即时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当，即时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增; 当，在和上单调递增，在上单调递减; 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 19．已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1). (2)答案见解析 【分析】（1）依据题意求出切点，再利用导数的几何意义求出斜率，再得出切线方程即可. （2）利用导数含参讨论单调性即可. 【详解】（1）当时， ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：. （2）由得， 当时，恒成立，则在R上单调递减； 当时，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上所述， 当时， 在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 20．已知函数，设. (1)求证：是上的单调递减函数； 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）二次求导，得到在上单调递减，结合特殊点函数值，得到在上恒成立，故是上的单调递减函数； 【详解】（1）， ， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，其中， 故在上恒成立， 故是上的单调递减函数； 21．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出切点坐标及切线斜率即可求得切线方程； （2）求导，分，两种情况，根据导数与单调性的关系求解. 【详解】（1）若，则，， ，，则切线方程为； （2）函数的定义域为. . 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 单调递增 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 单调递增 综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 22．已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，因式分解得到，分和进行讨论，再细分为，和，求出函数单调区间. 【详解】（1）时，，， ，故， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）的定义域为R， ， 若，恒成立，令得，令得， 的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，令得或， 当，即时，令得或， 令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当，即时，恒成立， 所以的单调递增区间为R，无单调递减区间； 当，即时，令得或， 令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上：若，的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $