专题01 平面向量的概念及运算（竞赛培优专项训练,15大考点+竞赛强基）高一数学人教A版全国通用

专题01 平面向量的概念及运算 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 平面向量的概念 4 考点二 向量的线性运算 5 考点三 利用向量共线定理解决向量共线问题 6 考点四 利用向量共线定理解决三点共线问题 6 考点五 平面向量数量积的运算 7 考点六 平面向量的模长问题 7 考点七 平面向量的夹角问题 8 考点八 向量的投影问题 9 考点九 利用平面向量解决垂直问题 9 考点十 利用平面向量的运算求参 9 考点十一 极化恒等式的应用（拓展） 10 考点十二 等和线定理的应用（拓展） 11 考点十三 奔驰定理的应用(拓展) 12 考点十四 平面向量的综合应用 13 考点十五 创新题型 14 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道） 【归纳重点知识】 知识点01 平面向量的概念 1.定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． 2.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点02 向量的线性运算 1.向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 2、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 知识点03 平面向量的数量积 1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 2.平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 3.数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 4.数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 【熟记重要结论（二级结论）】 1．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. 2.三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 3.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋). 4.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝＋)； ③＝＋)＝＋). 5.向量模长不等式 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 6.平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. ③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 7.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b，则 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π. (3)向量a在向量b上的投影向量为·. 考点一 平面向量的概念 1．若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（   ）. A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③ 2．(多选)下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知非零向量与，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 4．（多选）下列说法错误的有（　　） A．如果非零向量与的方向相同或相反，且，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 考点二 向量的线性运算 5．如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（    ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 8．（1）化简； （2）若，求向量. 考点三 利用向量共线定理解决向量共线问题 9．如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 10．在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点四 利用向量共线定理解决三点共线问题 12．已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 13．在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时 ． 14．已知两个非零向量与不共线，且． (1)用表示； (2)猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论． 考点五 平面向量数量积的运算 15．(多选)已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若且，，则与垂直 16 ．（多选）设都是非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若的夹角为锐角，则 B．若，则的夹角为钝角 C．若，则与同向 D．若，则 17．如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 18．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 考点六 平面向量的模长问题 19．若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 21．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 22．已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 23．若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 24．已知实数满足，则的最大值为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 考点七 平面向量的夹角问题 25．已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 26．(多选)已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 27．如图，在中，已知，，，边上的中线，相交于点P． (1)求； (2)若，求的余弦值， 考点八 向量的投影问题 28．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 29．已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 30．已知中，，，，则在方向上的投影为 ． 考点九 利用平面向量解决垂直问题 31．已知，，，与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 32．非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 33．，的夹角为，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求. 考点十 利用平面向量的运算求参 34．在中，点在边上，，记，则分别是（    ） A． B．，4 C．4，3 D．3，4 35．如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则 .    36．设为的内心，，，，，则 . 37．如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 考点十一 极化恒等式的应用（拓展） 极化恒等式 一般形式：————极化恒等式 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点) 38．如图，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则·等于(　　) A.13 B.7 C.5 D.3 39．如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 40.平行四边形中，，点满足.则 . 考点十二 等和线定理的应用（拓展） 等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 41.如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 42.在中，，点为与的交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 43．（多选题）在中，点是线段上任意一点，点是线段的中点，若存在使，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 44.在平行四边形中，为的中点，在线段上，且．若，均为实数，则的值为 ． 考点十三 奔驰定理的应用(拓展) 奔驰定理 1.奔驰定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 2.奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 45.设为三角形内一点，且满足：，则（  ） A． B． C． D． 46．已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 47.已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______ 48.设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则的面积为___________． 考点十四 平面向量的综合应用 49．（多选）已知平面向量满足，且的最小值为，则下列选项正确的是（ ） A．的取值范围是 B． C． D．在上的投影向量的模长最大值为2 50．(多选)某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（   ）    A． B． C． D．设为内一点（含边界），的最小值为6 51．如图，设点为的重心，连接并延长，交线段于点，过点的直线与线段和分别交于点和点.设，，，. (1)用，表示，； (2)求函数的解析式，并写出其定义域； (3)判断并证明函数在其定义域上的单调性. 考点十五 创新题型 52．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 53．(多选)菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不在一条直线上，菲的分子结构图如图1所示（图中的三个正六边形在同一平面内），将菲的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，则（    ） A． B． C． D． 54．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 55．已知平面上有非零向量（n为不小于4的整数），定义为“联阶解”，当大于时，，即向量到的乘积；当小于时，. (1)若，且与、均不垂直，证明：； (2)若，有（其中），证明：对于所有偶数n，恒成立. 1．(2024·“加速杯”新高考竞赛)若平面向量满足，则（    ） A． B． C． D． 2．(2023·“加速杯”新高考竞赛)已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 3．(第九届“枫叶新希望杯”数学大赛)已知向量不共线，且实数满足，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．（2024湖南株洲“同济大学杯”竞赛）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·全国数学联赛吉林预赛）在四边形中，，设.若，则（  ） A． B． C． D． 6．（2023·海南衍林杯学科竞赛）是所在平面上一点，满足，则的面积与的面积的比值为 . 7．（2023全国高中数学联赛A卷）若平面上非零向量，，满足，，，则的最小值为 . 8．(2023·湖南湘西教师解题大赛)已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为 ． 9．(2023·湖南湘西教师解题大赛) “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心；②； ③；④ 10．(2024四川宜宾高中数学联赛初赛)点在圆上，若，，则的最大值为 . 11．(2024上海数学竞赛)已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为 . 12．（2024·湖南同济大学杯数理化竞赛）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的概念及运算 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 平面向量的概念 4 考点二 向量的线性运算 6 考点三 利用向量共线定理解决向量共线问题 7 考点四 利用向量共线定理解决三点共线问题 9 考点五 平面向量数量积的运算 11 考点六 平面向量的模长问题 13 考点七 平面向量的夹角问题 16 考点八 向量的投影问题 17 考点九 利用平面向量解决垂直问题 18 考点十 利用平面向量的运算求参 20 考点十一 极化恒等式的应用（拓展） 22 考点十二 等和线定理的应用（拓展） 23 考点十三 奔驰定理的应用(拓展) 25 考点十四 平面向量的综合应用 27 考点十五 创新题型 31 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道） 【归纳重点知识】 知识点01 平面向量的概念 1.定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． 2.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点02 向量的线性运算 1.向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 2、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 知识点03 平面向量的数量积 1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 2.平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 3.数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 4.数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 【熟记重要结论（二级结论）】 1．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. 2.三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 3.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋). 4.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝＋)； ③＝＋)＝＋). 5.向量模长不等式 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 6.平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. ③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 7.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b，则 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π. (3)向量a在向量b上的投影向量为·. 考点一 平面向量的概念 1．若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（   ）. A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【解析】在①中，的大小不能确定，故①错误， 在②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误， 在③中，为任一非零向量，则，故③正确， 在④中，由题意可知，故④正确. 故选：B. 2．(多选)下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【解析】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知非零向量与，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【解析】若与同向，但不一定与相等，，若，则与同向， 且有=，与同向是的必要不充分条件，故A正确. 若与共线，则有，故一定有三点在同一条直线上，故B正确. 若与同向，则与反向，故C正确. 当时，与不一定共线，故D错误. 故选：ABC 4．（多选）下列说法错误的有（　　） A．如果非零向量与的方向相同或相反，且，那么的方向必与或的方向相同 B．若向量，方向相反，且，则向量的方向与向量的方向相反 C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则 【答案】BCD 【解析】对于A，因为向量与的方向相同或相反且，所以的方向必与或的方向相同，故A正确； 对于B，因为，的方向相反，且，可知的方向与的方向相同，故B错误； 对于C，当A，B，C三点共线时，也可以满足，故C错误； 对于D，当，反向时，，等式不成立，故D错误. 故选：BCD. 考点二 向量的线性运算 5．如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设有，故， 由正六边形的性质可得四边形为平行四边形， 故，故， 故选：D. 6．在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题意知，因为，所以. 故选：D 7．在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G， 所以． 故选：D. 8．（1）化简； （2）若，求向量. 【解析】（1）； （2）因为，故. 考点三 利用向量共线定理解决向量共线问题 9．如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【解析】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为， 故选：D. 10．在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 11．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 考点四 利用向量共线定理解决三点共线问题 12．已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【解析】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B 13．在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，，点M为AB的中点．若M，N，C三点共线，则此时 ． 【答案】 【解析】, , 由于M，N，C三点共线，故, 因此，解得. 14．已知两个非零向量与不共线，且． (1)用表示； (2)猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论． 【解析】（1）由题意得， . （2）A，B，C三点共线． 理由如下：因为， ， 所以，则．又与有一个公共点A，所以A，B，C三点共线. 考点五 平面向量数量积的运算 15．(多选)已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若且，，则与垂直 【答案】CD 【解析】对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误； 对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 即，整理可得， 即，所以与垂直，故D正确； 故选：CD. 16．（多选）设都是非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若的夹角为锐角，则 B．若，则的夹角为钝角 C．若，则与同向 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对A，的夹角为锐角，则大于零，所以大于零，A对． 对B，当共线且方向相反时，有，所以B错． 对C，，所以与同向，C对． 对D，当时，以为邻边的平行四边形是矩形，所以，D对． 故选：ACD． 17．如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为圆 半径 ，， 所以， 因为，所以， 所以 因为， 所以 又因为 ， 代入得， 所以， 即， 又因为 ， 所以 故选：D. 18．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 考点六 平面向量的模长问题 19．若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】， 当与同向时取等号， 故选：B 20．已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 【答案】B 【解析】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式， 得，整理得， 解得或， 故选：B. 21．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【解析】， ， ，即， 在上的投影向量为， ，即， 整理得：，化简得：， ，， ，， ， ， 令，则，时，， ， 解得：. 故选：C 22．已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 23．若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若向量，共线，则由于，是非零向量，且，则必有， 代入可知只有A、C满足； 若向量，不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形， 使其满足；令，，则， 所以且， 又，所以，所以， 综上，. 故选：A 24．已知实数满足，则的最大值为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【解析】记，因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为19. 故选：C 考点七 平面向量的夹角问题 25．已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 26．(多选)已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AB 【解析】如图，在菱形中，且，则三角形为等边三角形， 记，则，，且能保证成立， 易得和及和的夹角为，和的夹角为，和的夹角为． 故选：AB． 27．如图，在中，已知，，，边上的中线，相交于点P． (1)求； (2)若，求的余弦值， 【解析】（1）因为为的中点，所以，又，，， . （2）由两边平方得 ， 又，，， 所以，即. 因为为的中点，所以， 所以 , ， 又为的夹角, 所以. 考点八 向量的投影问题 28．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选：B． 29．已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 【答案】 【解析】在向量上的投影向量为，则， 于是，所以. 30．已知中，，，，则在方向上的投影为 ． 【答案】 【解析】. 考点九 利用平面向量解决垂直问题 31．已知，，，与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为与垂直， 所以， 解得， 故选：A 32．非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 33．，的夹角为，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求. 【解析】（1），的夹角为，，， . 故. （2）若与互相垂直，则， 即. 所以，整理得， 即，解得. 考点十 利用平面向量的运算求参 34．在中，点在边上，，记，则分别是（    ） A． B．，4 C．4，3 D．3，4 【答案】B 【解析】如图，   ， ，则. 故选：B. 35．如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则 .    【答案】/ 【分析】利用向量的线性运算和中点公式的向量运算即可求解. 【解析】由是线段的中点，可得， 又由是线段的中点，可得， 所以 ， 即， 36．设为的内心，，，，，则 . 【答案】 【解析】插入分点，得， 即， 又，从而有，得， 所以， 37．如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 【答案】/0.4 【解析】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 考点十一 极化恒等式的应用（拓展） 极化恒等式 一般形式：————极化恒等式 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点) 38．如图，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则·等于(　　) A.13 B.7 C.5 D.3 【答案】C 【解析】连接PO(图略)，由向量极化恒等式知·=-=-=9-4=5. 故选：C 39．如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点， 则， ， 因此， 故选：B. 40.平行四边形中，，点满足.则 . 【答案】3 【解析】由题意可知： 考点十二 等和线定理的应用（拓展） 等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 41.如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，则． 故选：A． 42.在中，，点为与的交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以为中点， 三点共线，故可设，即， 整理得， 因为，所以，即， 三点共线， 可得， 所以，解得， 可得，则，. 故选：D. 43．（多选题）在中，点是线段上任意一点，点是线段的中点，若存在使，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】令且，而， 又，则， 所以，则，且， 故A、C满足，B、D不满足. 故选：AC. 44.在平行四边形中，为的中点，在线段上，且．若，均为实数，则的值为 ． 【答案】 【解析】设， ∵在平行四边形中，为的中点，在线段上，且， ∴， ∵，均为实数，， ∴， ∴，解得:， ∴． 考点十三 奔驰定理的应用(拓展) 奔驰定理 1.奔驰定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 2.奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 45.设为三角形内一点，且满足：，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为三角形内一点，且满足， ， ． ， 故选：D． 46．已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由奔驰定理得，解之得，故选C． 47.已知点是所在平面内一点，满足， ，则_______ 【答案】 【解析】（法1）：由结论推广可得，，所以 （法2）：由可得，设AB，BC中点分别是D,E，得，所以点P在中位线上，且，所以 48.设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则的面积为___________． 【答案】14 【解析】（法1）共线系数和＋分点恒等式+等积变形 ，设H为线段AC上一点，且， 则， ∵PD∥AB，∴ （法2）利用奔驰定理推论求解. ∵， ∴ 考点十四 平面向量的综合应用 49．（多选）已知平面向量满足，且的最小值为，则下列选项正确的是（ ） A．的取值范围是 B． C． D．在上的投影向量的模长最大值为2 【答案】AD 【解析】对于A，因为 所以 即，即. 则，故A正确； 对于B，因为， 所以令，， 又因为的最小值为，所以， 所以，则， 因为，所以或，故B错误； 对于 C ，因为， 其中或 所以 或，故C错误； 对于 D ，设，且，分别为在上的投影向量， 当时，结合图形（图1）可知，当同向共线时，有最大值； 当时，结合图形（图2）可知，当反向共线时，有最大值； 而；故D正确. 故选：AD 50．(多选)某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（   ）    A． B． C． D．设为内一点（含边界），的最小值为6 【答案】ABD 【解析】对于A，延长交于点， 由题意可得，，所以四边形为平行四边形， 而，为等边三角形，四边形为三个全等的等腰梯形， 则，， 所以，故A正确； 对于B，由于，则， 所以，故B正确；    对于C，由B知，，且为等边三角形，边长为4， 所以，故C错误； 对于D，由， 因为表示在的投影，显然，当位于点时，投影最小， 由于，，则， 所以， 则，即的最小值为6，故D正确. 故选：ABD 51．如图，设点为的重心，连接并延长，交线段于点，过点的直线与线段和分别交于点和点.设，，，. (1)用，表示，； (2)求函数的解析式，并写出其定义域； (3)判断并证明函数在其定义域上的单调性. 【解析】（1）因为点为的重心， 所以， 所以， . （2）因为三点共线，所以， 即， 又因为不共线，所以，消去得， 因为点分别是线段和线段上的点，由题意易知，，即，， 由解得，又由解得，即得 故函数的解析式为 ，其定义域为. （3）由（2）得，， 在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， 因，则，， ， 所以在上单调递减. 考点十五 创新题型 52．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则， 令与交于点，设，则， 由三点共线，得，则， 当在弧、弧上（不含端点）时，；当在弧上（不含端点）时， ；当与之一重合时，；当与重合时，， 因此最大，当且仅当在弧上（不含端点）且， 则，所以的最大值为. 故选：C 53．(多选)菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不在一条直线上，菲的分子结构图如图1所示（图中的三个正六边形在同一平面内），将菲的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由图可知，，A错误. 连接，，B正确. 分别取的中点，以正六边形的中心为坐标原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨设，则. 则， 则 C错误，D正确. 故选：BD 54．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】依题意得，，，， 所以， ， 所以 ． 故选：B． 55．已知平面上有非零向量（n为不小于4的整数），定义为“联阶解”，当大于时，，即向量到的乘积；当小于时，. (1)若，且与、均不垂直，证明：； (2)若，有（其中），证明：对于所有偶数n，恒成立. 【解析】（1）由定义得，， 因为，所以设，其中为非零常数， 所以， ， 所以. （2）当 为偶数时，由已知可得，， 因为，所以，，即， 所以，，，， 所以， 因为，所以， 所以对于偶数，恒成立. 1．(2024·“加速杯”新高考竞赛)若平面向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对两边平方得， 又，故，代入得． 因此， 故选：A． 2．(2023·“加速杯”新高考竞赛)已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知， 由二次函数的单调性可知时上式取得最小值， 即， 所以. 故选：C 3．(第九届“枫叶新希望杯”数学大赛)已知向量不共线，且实数满足，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 则，解得 则． 故选：C 4．（2024湖南株洲“同济大学杯”竞赛）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 5．（2024·全国数学联赛吉林预赛）在四边形中，，设.若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 过作，又． ∴四边形是平行四边形． ， 又． ， 又，则 ． 故选：B． 6．（2023·海南衍林杯学科竞赛）是所在平面上一点，满足，则的面积与的面积的比值为 . 【答案】 【解析】由得， ，，且， 设的边上的高为， 则，， 的面积与的面积的比值为. 7．（2023全国高中数学联赛A卷）若平面上非零向量，，满足，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由，不妨设，，其中，， 并设，则由得，由得. 所以. 取，，此时，取到最小值. 8．(2023·湖南湘西教师解题大赛)已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】， 因为均为单位向量，且夹角为， 所以有， ， 即，而， 所以有， 因此的最大值为， 故答案为： 9．(2023·湖南湘西教师解题大赛) “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心；②； ③；④ 【答案】②③④ 【解析】对①，因为 同理,故为的垂心，故①错误； 对②，因为，所以， 又因为，所以, 又因为，所以，故②正确； 对③，延长交于点， 如图， 则, 同理可得,所以，故③正确； 对④， , 同理可得,所以, 又因为，所以，故④正确， 故答案为：②③④ 10．(2024四川宜宾高中数学联赛初赛)点在圆上，若，，则的最大值为 . 【答案】4 【解析】由题意，则，且，所以为等边三角形. 则 . 显然，所以当时，有最大值4. 故答案为：4. 11．(2024上海数学竞赛)已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【解析】 如图,不妨设，则四点共圆. 由于，于是. 综上可知的最大值为. 12．（2024·湖南同济大学杯数理化竞赛）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值． 【解析】（1）因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因为，设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以． （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $